فهرست مطالب

فصل اول گروه ها

مفهوم گروه نخستین بار در اوایل سده ی 19 معرفی شد، ولی ریشه های آن را می توان در دوران بسیار گذشته جستجو کرد. در این فصل به مروری بر نظریه ی گروه های متناهی می پردازیم . در بخش اول مروری بر نظریه ی گروه های مقدماتی می پردازیم . در بخش دوم به نظریه ی گروه های متناهی پرداخته که در فصل های بعدی به آن نیاز داریم . در بخش بعدی مشبکه ی زیر گروه های یک گروه را معرفی کرده و روی آن بحث و بررسی می کنیم .

1-1    مروری بر نظریه ی گروه ها

در این بخش به مفاهیم و قضایای مقدماتی در مورد گروه ها می پردازیم . مفهوم گروه ها در جبر از اهمیتی اساسی برخوردار می باشد. گروه هایی که از حیث ساختاری جبری یکی هستند یکریخت می باشد . هدف نهایی در بررسی گروه ها رده بندی تمام گروها با تقریب یکریختی است ،که در عمل یعنی یافتن شرایط لازم و کافی برای آنکه دو گروه یکریخت باشند. در حال حاضر امید کمی برای رده بندی گروه ها ی دلخواه وجود دارد. لیکن می توان قضایای ساختاری کاملی را برای رده ی محدودی از گروه ها مثلا ، گروه های دوری گروه های متناهی از مرتبه کوچک گروه های آبلی با تولید متناهی گروه های صادق در شرایط زنجیری را به دست آورد. ابتدا به تعریف گروه می پردازیم .

تعریف 1-1-1 .  گروه    یک مجموعه ی ناتهی همراه با عمل دوتایی  است که دارای خواص زیر باشند :

(1) شرکت پذیری : برای تمام  داریم    .

(2) وجود عنصر همانی : عنصر به قسمی که   برای تمام  .

(3) وجود وارون ها : برای هر  ، عنصر  وجود داشته باشد به طوری که

 اگر  یک گروه باشد ،اغلب علامت  را نادیده می گیریم و به جای  می نویسیم .در این حالت به  جای از گروه  صحبت می کنیم .قضیه 1-1-1.  فرض کنید یک گروه باشد. در این صورت موارد زیر برقرار است :

  • عنصر همانی منحصر بفرد است .
  • هر عنصر دارای وارونی منحصر بفرد می باشد (به طور کلی وارون را با نشان می دهند ).
  • اگر باشند، آنگاه

برهان . در  می بینید .اگر  یک گروه باشد و  تعریف می کنیم  =  و برای   هر را به صورت        تعریف می کنیم و همچنین تعریف می کنیم . می توان نشان داد که برای تمام  و  داریم که :

اگر  یک گروه متناهی با  عضو باشند، گوییم که    گروهی متناهی از مرتبه ی    است ومی نویسیم که .تعریف 1-1-2.  گروه  را آبلی گویند ،هرگاه برای هر  داشته باشیم ،  اگر  گروه آبلی باشد اغلب از علامت جمعی    برای گروه استفاده می کنیم . در این صورت  را یک گروه جمعی گویند. علامت  را عنصر همانی و  را وارون  می باشد و  را به جای   به کار می بریم.

قضیه  1-1-2.   فرض کنیدکه   و   دو گروه باشند ، آنگاه حاصلضرب دکارتی  همراه با عمل زیر یک گروه می باشد ، که آن را حاصل ضرب مستقیم  و  می نامند.برای تمامی          و            ,      (       (

اگر   و   گروه های متناهی از مرتبه های به ترتیب  و   باشند آنگاه   گروهی متناهی از مرتبه ی    می باشد .

برهان  . در  می بینید .تعریف .1 .1 .3 . فرض کنید که   یک گروه باشد. زیر مجموعه ی  از  یک زیر گروه

می باشد هرگاه    نیز خود یک گروه باشد .در اینصورت می گوییم که،    را زیر گروه  گویند و با   نشان می دهیم.خود گروه  و زیر گروه بدیهی   همیشه زیر گروه های گروه دلخواه  می باشند. هر زیر گروه به غیر از زیر گروه  را زیر گروهی نابدیهی از می نامند. داریم که عنصر همانی زیر گروه یک گروه همان عنصر همانی گروه می باشد . قضایای زیر در مورد تعیین هویت زیر گروه های یک گروه دلخواه مفید می باشد.

قضیه 1-1-3.  فرض کنید که  یک گروه باشد و یک زیر مجموعه ی ناتهی باشد, آنگاه  یک زیر گروه  می باشد اگر و تنها اگر،       برای داشته باشیم

برهان. در   می بینید .

1-1    مروری بر نظریه ی گروه ها…………………………………………………….. 5.

1-2   گروه های متناهی………………………………………………………………. 16

1-3   گروه های جایگشتی.. ………………………………………………………….23

بخش 1-4  فضایای  سیلو…………………………………………………………….. 25

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم زیر گروه های فازی

نظریه ی مجموعه های فازی در سال 1965 توسط یک دانشمند ایرانی به نام پرفسور لطفی عسکرزاده معرفی گردید، که امروزه در جهان از توجه و اهمیت زیادی برخوردار گردیده است.یک زیر مجموعه ی    از   را می توان توسط تابع مشخصه ی    مشخص نمود، در حالی که یک زیر مجموعه ی فازی   از مجموعه ی   را توسط تابع عضویت      مشخص می کنیم.معمولا، یک زیر مجموعه ی فازی     را با تابع عضویت     یکی می گیریم ،و برای سادگی آن را با   نشان می دهیم.در این پایان نامه بازه واحد      با    نشان می دهیم. پرفسور عسکر زاده یک زیر مجموعه فازی را به صورت زیر تعریف نمود:تعریف 2-1-1.  یک زیر مجموعه ی فازی از    یک تابع از   به  می باشد. مجموعه ی تمام زیر مجموعه های فازی از   را می توان فازی از   بنامیم و با    نمایش می دهیم .تعریف 2-1-2 .  فرض کنید     باشد. آنگاه مجموعه ی   را تصویر   می نامیم و آن را با   یا    نشان می دهیم .مجموعه ی   تکیه گاه    نامیده و با     یا       نشان داده می شود. در حالت خاص ،   را زیر مجموعه ی فازی متناهی می نامیم ، اگر   مجموعه ی متناهی باشد، در غیر اینصورت آن را مجموعه ی فازی نا متناهی می نامیم.تعریف 2-1- 3. فرض کنید      باشد. اگر    آنگاه ، را مشمول در   گویند (یا  شامل  ) و می نویسیم که       (        .اگر      و      ، آنگاه     را به طور اکید مشمول در    یا   را به طور اکید شامل     می گوییم و می نویسیم

روزنلفند در[37]  در سال1971 مفهوم زیرگروه های فازی را برای توضیح نظریه ی زیرگروه های فازی به کار برد.تحقیقات و بررسی های اومنجر به فازی سازی ساختارهای جبری شد. و مورالی و ماکامبا[26] با در نظر گرفتن یک مشکل مشابهه به تعدادی از زیرگروه های فازی از گروه های آبلی با رتبه     را پیدا کردند که    ,  اعداد اول متمایزند وترناسیتا [45] و نسبتا برقراری رابطه تکراری را با تعدادی از زیرگروه های فازی در گروه های تناوبی مشخص اثبات کردند که نظریه آنها تحقیقات و بررسی های مورالی را بهبود بخشید.

2-1   زیر مجموعه فازی………………………………………………………………….. 28

2-2   زیرگروه های فازی………………………………………………………………… 33

2-3  هم ریختی های گروه های فازی………………………………………………… 35

2-4  زیر گروه های فازی روی مجموعه ها  و گروه های متناهی………………….. 36

فصل سوم تعداد زیر گروه های فازی از یک گروه آبلی متناهی

در این فصل ابتدا به شمارش تعداد زیر گروه های فازی مجزا از دو رده ی گروه های آبلی می پردازیم. برای یک رده یک فرمول دقیق از آن بدست آورده و در ادامه یک روش مشابه برای گام های بعدی را محاسبه می کنیم. و در بخش های بعدی ما  تعداد زیر گروه های فازی از برخی از گروه های دو وجهی را بدست آورده و در بخش آخر ما تعداد زیر گروه های فازی از برخی از گروه های متقارن متناهی را بدست می آوریم.در این فصل همواره  یک گروه متناهی می باشد .

3-1  مقدمه

اگر  یک زیر مجموعه ی فازی روی یک مجموعه ی متناهی باشد، آنگاه در فصل دوم دیدیم که یک تجزیه به صورت زیر دارد:که درآن    می باشد.با توجه به تجزیه فوق به اثبات یک قضیه که مارا در بدست آوردن تعداد زیر گروه های فازی مجزا کمک می کند می پردازیم.قضیه 3-1-1. اگر  و  دو زیر گروه فازی روی   باشد، آنگاه :    اگر و تنها اگر  و  زنجیری یکسان از زیر گروه های   که در  پایان می یابد، دارند .برهان. چون   یک گروه متناهی می باشد، پس می توان نوشت که   و فرض می کنیم که     . آنگاه زیر گروه های سطح  زنجیری از زیرگروه های   را که در  پایان می یابند به صورت زیر مشخص می کنند :فرض کنید که       و    که   . آنگاه زنجیری زیر گروه های  که در   پایان می یابند را به صورت زیر داریم :برای اثبات ادعایمان ابتدا نشان می دهیم که     . فرض می کنیم که     باشد . بدون آنکه از کلیت مسئله کم شود می توان فرض کنید که     . عناصر   چنان موجودند کهآنگاه  ( . بر طبق فرض چون که      می باشد لذا داریم که   . از این رو چون   تعداد عناصر کمتر از   دارد، این  یک تناقض است.

بنابراین داریم که      می باشد .حال باید ثابت کنیم که به ازای هر    داریم که     . با برهان خلف این کار را انجام می دهیم. فرض می کنیم که یک    مینیمال وجود دارد به طوری که      .اگر    وجود دارد  . بنابراین داریم که  و  ، و این تناقض است (با رابطه ی    ) .برای    ، دو حالت را در نظر می گیریم :(حالت اول) فرض می کنیم که   .فرض کنید که    (حالت دیگر مشابه می باشد ). داریم که    . چون که   می باشد،  لذا    و این مطابقت می کند با این که . برای یک عنصر دلخواه   داریم که  و  ، که این تناقض است.(حالت دوم) اگر    و  .دراین حالت وجود دارد یک     و     بنابراین داریم که   و  . و این تناقض با فرض     مسئله می باشد . لذا رابطه ی     ایجاب می کند که زیر گروه های زنجیر (1) با زیر گروه های زنجیر (2) یکسان می باشند.برعکس ، اگر زنجیر گروه های (1) و (2) یکسان باشند در این صورت، فرض می کنیم که برای هر داشته باشیم که   و   و     . برای هر  و   که       با تساوی    و   به آسانی بدست خواهد آمد که  . لذا داریم که     . لذا یک رده  هم ارزی از زیر گروه های فازی با رابطه ی      به طور منحصر به فرد توسط یک زنجیر از زیر گروه های     که در  پایان می یابند، تعیین خواهند شد.از قضیه ی فوق نتیجه ی مهم زیر را داریم :نتیجه3-1-1.  رده های هم ارزی مجزا از یک زیر گروه فازی از  با رابطه ی   (به عبارت دیگر: زیر گروه های فازی مجزا از  ) به طور یگانه توسط زنجیری از زیر گروه های  که در   پایان می یابند تعیین می شوند.

از نتیجه فوق برای تعداد زیر گروه های فازی مجزا استفاده می کنیم.

3-2   تعداد زیر گروه های فازی  از یک گروه دوری متناهی

در این بخش تعداد زیر گروه های فازی از یک گروه دوری متناهی  از مرتبه ی که   یک تجزیه از اعداد اول مجزا و   عدد طبیعی می باشد را تعیین می کنیم .فرض کنید که  گروه دوری متناهی باشد. آنگاه بر طبق قضیه اساسی گروه های آبلی متناهی داریم که  یک تجزیه مستقیم از نوع زیر دارد :که    اعداد اول مجزا و   اعداد طبیعی به ازای       . یادآوری می کنیم که ، تعداد زیر گروه های فازی مجزا از یک گروه متناهی     با تعداد زنجیرهایی از زیر گروه های گروه  که در   پایان می یابند، منطبق می شود. فرض می کنیم که برابر این تعداد باشند. به وضوح داریم که این تعداد وابسته به  و  و   و  می باشد و مستقل از انتخاب  و  و و   می باشد. فرض کنید که   مجموعه ی تمام زنجیرهای زیر گروه های از  که در    پایان می یابند، باشند و  ،  ،  ،  زیر گروه های مینیمال  باشند. برای هر        مجموعه ی تمام  زنجیرها از بازه ی مشبکه ای

3-1  مقدمه………………………………………………………………………………. 42

3-2   تعداد زیر گروه های فازی  از یک گروه دوری متناهی………………………… 45

3-3 تعداد زیر گروه های فازی از ……………………………………………………… 57

3-4  تعداد زیر گروه های فازی از برخی از گروه های دووجهی……………………. 66

3-5   تعداد زیر گروه های فازی ………………………………………………….   .. 68

3-6    تعداد زیر گروه های فازی  ……………………………………………………. 73

3-7  تعداد زیر گروه فازی گروه های متقارن متناهی……………………………… 79

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل چهارم تعداد زیر گروه های فازی از گروه های دوری متناهی

در این فصل ما تعداد زیر گروه های فازی  گروه دوری   که  اعداد اول متمایز را شمارش می کنیم و سپس نمودار مشبکه ای آن را رسم می کنیم و سپس با استفاده از نمودار مشبکه ای آن تعداد زیر گروه های فازی آن را مشخص می کنیم .ر این بخش ما تعدادی تعریف و نتیجه ی بدون اثبات را که در ادامه به آن نیاز داریم را بیان می کنیم در این بخش همواره  ک گروه متناهی است .تعریف 4-1-1.  فرض کنید که  یک مجموعه ناتهی باشد یک مجموعه فازی از یک تابع  از  به توی   است.

4-1.  مقدمه…………………………………………………………………………….. 89

نتایج اصلی……………………………………………………………………………… 90

کتاب نامه…………………………………………………………………………………. 96

 

 

Abstract

In chapter 1   of in thesis, we provide an introduction to groups theory which contains some basic facts necessary for dealing with the latter chapters. we discusses the important features of arbitrary finite abelian groups in classical case and we develop a new method to prove some classic theorems of abelian groups.In particular, we study the lattices of finite abelian groups.Chapter 2   deals with fuzzy groups, notions such as the definition of fuzzy subgroups and also some of their basic properties. We  define a level-subgroup and how it can be used to study the fuzzy subgroups of G. The concept of generated fuzzy algebra that has a structure of immediate importance for the construction  of  various types of lattices is given in detail. Finally, we discuss the subgroups of a finite set and group.In chapter 4  of in thesis , we determine an explicit formula for the number of fuzzy subgroups of a finite cyclic group. By using a similar method ,some important steps in counting the number of fuzzy subgroups of a finite elementary abelian p-group are also made.Chapter 3  The main goal of this paper is to classify the fuzzy subgroups of the finite symmetric group .Explicit formulas for the number of distinct fuzzy subgroups of  are obtained in the particular cases  = 3 and  = 4. Some inequalities satisfied by this number are also established for n ≥ 5.In this paper, we compute number of fuzzy subgroups of some dihedral groups such as  where p is a prime number and     where      ,  , …,  are distinct prime numbers. We use their chain diagram to determine the number of their fuzzy subgroups and present an explicit recursive formula to  and at the result in specially case and finally a formula to count number of fuzzy subgroups of dihedral group   .Chapter4   In this paper, we count the number of fuzzy subgroups of cyclic group   with , , ,  are distinct prime numbers. We define an equivalence relation on the fuzzy subgroups of any groups G and determine all of its subgroups. Then we draw the diagram of lattice subgroups of G. The number of fuzzy subgroups of G by observing the diagram then will be counted.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان