چکیده

در دهه ی گذشته استفاده از ابزارها و تکنیکهای نظریه ی گرافها برای مطالعه ی ساختارهای جبری، مورد توجه بسیاری قرار گرفته است. در این راستا ما در این پایان نامه ابتدا گرافهای حاصل از اشتراک زیرمدول های ناتهی یک مدول، عدد خوشهای آنها و عدد رنگیشان را مورد مطالعه قرار دادیم. در ادامه گراف توانی گروهها را بررسی نمودیم و مشاهده کردیم که ممکن است گروههای متناهی غیریکریخت دارای گرافهای توانی یکریخت باشند، اما گروههای آبلی متناهی که گرافهای توانی یکریخت دارند، خود یکریخت می باشند. همچنین نشان داده شده است تنها گروه های متناهی که گروه خود ریختیهایشان یکسان با گروه خود ریختیهای گراف توانیشان است، گروه های کیلی از مرتبه ۴ میباشند. در ادامه به مطالعه گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی Fi که TF نشان داده میشود پرداختیم و ثابت کردیم اگر TR گراف جنگل با حداقل یک یال باشد انگاه یک گراف ستاره است. در انتهای این پایان نامه گرافهای یکه ی حلقه / را مورد مطالعه قرار دادیم و نشان دادیم که اگر R حلقه ای دلخواه (نه لزوماً جابجایی) باشد در این صورت گراف یکهای وابسته به آن یک گراف T- بخشی کامل است اگر و فقط اگر (R,m) یک حلقه موضعی باشد و به ازای یک عدد طبیعی.

کلمات کلیدی: عدد خوشه ای، عدد رنگی، حلقه موضعی، گراف کامل، جنگل

پیشگفتار

در سالهای اخیر مطالعات بسیاری جهت نسبت دادن گرافهای مختلف به ساختارهای جبری انجام شده است. در راستای این تحقیقات ما در این پایان نامه برخی از این گرافها را مورد مطالعه قرار دادیم. گراف اشتراکی ساختارهای جبری بوسیله محققان بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است. اولین بار بوساک در سال ۱۹۶۴ این گراف را برای نیم گروهها تعریف کرده است. به دنبال آن کیسکانی ” و پولاک ” در سال ۱۹۶۹ گراف اشتراکی زیرگروههای یک گروه متناهی را بررسی کردند. در سال ۲۰۰۹ چاکرابارتی “، قوش ، موخرجی و سن ” گراف اشتراکی ایدهآلهای یک حلقه را مطالعه نمودند. در  مطالعات بیشتری روی این گراف ها صورت گرفته است. برای مطالعه بیشتر روی گرافهای اشتراک ساختارهای جبری در این پایان نامه گراف اشتراکی زیرمدولهای یک مدول را مورد بررسی قرار می دهیم. هدف از این کار مطالعه ارتباط بین خواص جبری یک مدول و خواص گراف وابسته به آن از دیدگاه نظریه گراف است. تاکنون گرافهای بسیاری روی گروه ها و نیم گروهها تعریف شدهاند که به عنوان مثال میتوان گراف اشتراکی زیر نیم گروهها و زیرگروهها و البته کیلی گرافها که تاریخچه ی طولانی دارند را نام برد. اولین بار گراف توانی جهتدار نیم گروه S به وسیله ی کلارو ” و کویین تعریف شده است که با (G (S نشان میدهیم. (G (S گراف جهتداری با مجموعه رئوس S است و از رأس P. به رأس w یک یال جهتدار وجود دارد اگر و تنها اگر و  برای یک عدد صحیح و مثبت  متعاقبا چاکرابارتی ” گراف توانی (بی جهت) را به این صورت تعریف کرد که دو رأس P و g به هم وصل هستند اگر و تنها اگر یکی توانی از دیگری باشد.

از جمله گراف هایی که روی یک حلقه تعریف می شود گراف مقسومعلیه صفر  و گراف یکه ی آن حلقه را نیز میتوان برشمرد. مفهوم گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه برای اولین بار توسط بک ” بیان شد که غالبا به مسئله رنگ آمیزی روی حلقه ها میپرداخت. بعد از آن اندرسون” و لیوینگستون ” در سال ۱۹۹۹ تعریف زیر را از گراف مقسومعلیه صفر یک حلقه ارائه کردند. فرض کنیم R یک حلقه تعویض پذیر با عضو همانی غیر صفر باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه H، گرافی ساده و غیر جهت دار با مجموعه رئوس  است که در آن دو راس متمایز T و y مجاور هستند هرگاه در این پایان نامه ما در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی از جبر و گراف را آوردیم و در فصل دوم به مطالعه گراف اشتراکی زیر مدول های یک مدول پرداختیم و مشخص نمودیم چه مدول هایی دارای گراف اشتراکی همبند میباشند. بعد از آن به تعیین عدد رنگی، عدد خوشه ای، قطر و کمر این گراف ها پرداختیم. یکی از نتایج جالب به دست آمده این است که اگر گراف اشتراکی زیرمدولهای یک مدول دو بخشی باشد در این صورت گراف ستاره خواهد بود. در فصل سوم به بررسی دسته ای دیگر از گرافها که به گراف توانی موسوم اند پرداختیم. در این فصل نشان دادیم ممکن است گروههای غیر یکریخت دارای گرافهای توانی یکسان باشند اما گروههای آبلی متناهی که گراف توانی حاصل از آنها یکسان باشد، یکریخت میباشند. همچنین نشان داده شده است که گروه های با گراف توانی یکریخت، گراف توانی جهتدار یکریخت دارند. در فصل چهارم پس از تعریف گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه به معرفی گراف دوگان آن در یک حلقه تعویض پذیر میپردازیم. اخیراً ثابت شده بود برای هر حلقه جابجایی. ما در این فصل ثابت نمودیم این است که برای هر حلقه ی جابجایی  و نیز داریم  در آخر در فصل پنجم به مطالعه گرافهای یکه ی یک حلقه پرداختیم. قبلا ثابت شده بود که اگر H حلقهای جابجایی باشد در این صورت گراف یکه حاصل از آن “r-بخشی کامل است اگر و فقط اگر حلقه   موضعی باشد که  در این فصل، این مطلب به این شکل تعمیم داده شده است که اگر R حلقهای دلخواه (نه لزوماً جابجایی) باشد در این صورت گراف یکه حاصله از آن ۳- بخشی کامل است اگر و فقط اگر حلقه   موضعی باشد و عدد طبیعی n وجود داشته باشد

فهرست مطالب

فصل اول:مقدمه وتعاریف اولیه

1-1-نظریه گراف وترکیبات  1

1-2-جبر 2

فصل دوم:گراف اشتراکی زیرمدولهای یک مدول

برای مطالعه بیشتر روی گراف های اشتراکی ساختارهای جبری در این رساله گراف اشتراکی زیرمدول های یک مدول را مورد بررسی قرار می دهیم. هدف از این کار مطالعه ارتباط بین خواص جبری یک مدول و خواص گراف وابسته به آن از دیدگاه نظریه گراف است.در این بخش، همه حلقه ها یکدار و مدولی ها یکانی میباشند. برای حلقه ی دلخواه FA منظور از Fi-مدول، H-مدولی چپ، و یک زیرمدول غیر بدیهی از Fi-مدول Mزیرمدول چپ غیرصفر M است. گراف اشتراک زیرمدولهای R-مدول M که آن را با نماد (G(M نشان میدهیم، گرافی است ساده و بی جهت که رئوس آن در تناظر یک به یک با تمام زیر مدول های غیر بدیهی M است و دو رأس مختلف را به هم وصل می کنیم اگر و تنها اگر دو زیر مدول متناظر با آنها اشتراک غیر بدیهی داشته باشند. به همین ترتیب برای حلقه ی G(F) ،R قابل تعریف است (می توان R را یک -Rمدولی چپ  فرض کرد).

تذکر:واضح است که گراف کامل است اگر وتنها اگر M یک –R مدول یکنواخت باشد.برای مثال Z و Q برای هر عدد اول مدول های یکنواخت هستند،پس گراف اشتراکی زیرمدول های آنها کامل است.همچنین واضح است که شرط لازم وکافی برای این که –R مدول Mیکنواخت باشد این است که هر زیرمدول غیربدیهی M تجزیه ناپذیر باشد.پس مدول های نیم ساده ومدول های آزاد از مرتبه حداقل 2 روی یک حلقه جابجایی نمیتوانند گراف اشتراکی زیر مدولهای کامل داشته باشند.درقضیه های بعدی تعدادی ازمدول هایی را مورد مطالعه قرار میدهیم که گراف اشتراکی زیرمدول های آنها کامل است.

2-1-همبندی،قطر و کمر 4

2-2-عدد خوشه ای وعدد رنگی 8

فصل سوم:گراف توانی یک گروه متناهی

گراف توانی جهتدار نی گروه S که با (G (S نشان داده میشود، گرافی جهتدار با مجموعه رئوس S است که از رأس P به رأس J یک یال جهتدار وجود دارد اگر و تنها اگر U مح7 E، و برای یک عدد صحیح و مثبت y=xm,mبه همین ترتیب گراف توانی (بی جهت) را با g(s)نشان داده و به این صورت تعریف میشود که دو رأس a و y به هم وصل هستند اگر و تنها اگر یکی توانی از دیگری باشد. در این فصل به این سوال اساسی میپردازیم: گراف توانی در چه اطلاعاتی در مورد S به ما می دهد؟ ابتدا به اطلاعاتی که در گذشته در جواب این سوال بدست آمده مراجعه میکنیم. عضو C را خودتوان نامیم اگر e2=e. اگر نیم گروه S متناهی باشد آنگاه برای هر عضو C از S عدد طبیعی مثل m وجود دارد که “a) خودتوان باشد. رابطه ی دوتایی p با تعریف به ClOb برای یک عدد طبیعی Tri روی نیم گروه S را درنظر بگیرید. واضح است که p یک رابطه ی هم ارزی روی S است. در [۲۳] نشان داده شده است که برای هر S یک مسیر از 0 به را در (S) از وجود دارد اگر و تنها اگر (Opt. بنابراین هر رأس در (G(S با یک و فقط یک عضو خودتوان از S مجاور است و هیچ دو عضو خودتوانی به وسیله ی یک مسیر به هم مرتبط نمی شوند. این نشان میدهد که مولفه های همبندیلg(s)کلاس های هم ارزی p هستند و هر مولفه شامل یک عضو خودتوان منحصر به فرد است که با هر یک از رئوس دیگر آن مولفه مجاور است. به ویژه (G) از برای هر گروه متناهی G همبند است. علاوه بر این در [۲۳] نشان داده شده است که برای یک گروه متناهی G(G) ،G کامل است اگر و تنها اگر G یک گروه دوری از مرتبه ی یک یا توانی از یک عدد اول باشد.

برهان:بنابر آنچه گفته شد کاف است گراف هایی را بررسی کنیم که درآنها تنها عضو همانی به تمامی رئوس وصل است پس میتوان همه ی کلاس های را غیر همانی فرض کرد.چون تحدید گراف توانی به رئوس متعلق به یک کلاس گرافی کامل است میتوان گفت عناصر یک کلاس در یک گراف توانی بادقت یکریختی نامتمایز هستند میتوان آنهارا به وسیله یکریختی گرافی که سایر رئوس راثابت نگاه میدارد به صورت دلخواه جابجا کرد.میدانیم که میتوان کلاس های ازنوع ب را از روی گراف توانی تشخیص داد.چنین کلاسی از سایز را به زیرمجموعه از اندازه ی افراز میکنیم.در واقع با دقت یکریختی رئوس را به کلاس های هم ارزی افراز کرده ایم.درگراف توانی جهت دار رئوسی که دریک کلاس هستند با یال دوجهته به هم وصل هستند.بین دو کلاس متفاوت یا همه ی یال ها دریک جهت هستند یا هیچ یالی نیست،بنابراین کافی است جهت یک یال را مشخص کنیم.یک کلاس از سایز است که n مرتبه ی اعضایش میباشد .اگر ازفرمول اویلر واضح است که و تساوی برقرار است اگر وتنها اگر m=n یا m عددی فرد و n برابر 2m باشد.بنابراین اگر دوکلاس با سایز متفاوت به هم وصل باشند جهت یال را از کلاس بزرگتر به کلاس کوچکتر درنظرمیگیریم واگر دوکلاس هم سایز به هم وصل باشند تنها یکی از آنها به عضوی از مرتبه ی دو وصل است(کلاس تک عضوی غیرهمانی) جهت یال را ازاین کلاس به دیگری درنظرمیگیریم.

3-1-گراف توانی یک گروه    14

فصل چهارم:گراف دوگان مقسوم علیه صفر یک حلثه ی جابجایی

در این فصل پس از یادآوری گراف مقسوم علیه صفر به معرفی دوگان آن در یک حلقه ی جابجایی میپردازیم. نخستین بار افخمی و خشایارمنش گراف دوگان مقسوم علیه صفر را معرفی کرده و آن را مورد مطالعه قرار دادند . فرض کنید H یک حلقه ی جابجایی با عضو همانی غیرصفر باشد، گراف دوگان مقسومعلیه صفر حلقه I، گرافی ساده و بیجهت که رئوس آن تمام عناصر غیریکهای ناصفر R است و دو راس متمایز P و g مجاور هستند هرگاه ایدهآلهای اصلی تولید شده به وسیله ی 0، و J قابل مقایسه نباشند. این گراف را با TR نشان می دهیم. در این پایان نامه نشان می دهیم که گراف دوگان مقسوم علیه صفر یک حلقه ی یک دار جابجایی مانند F تنها در صورتی می تواند یک جنگل با حداقل یک یال باشد

4-1-گراف مقسوم علیه صفر وگراف دوگان آن 28

4-2-گراف دوگان مقسوم علیه صفر 29

4-2-1-ارتباط گرافها  37

4-3-حلقه هیا باگراف دوگان مقسوم علیه صفر جنگل 38

4-4-گراف دوگان مقسوم علیه صفر حلقه 44

4-5-گراف دوگان مقسوم علیه صفر حلقه ی چند جمله ای ها 50

4-6-گراف دوگان مقسوم علیه صفر حلقه ی سری های توانی 52

فصل پنجم:گراف یکه ی یک حلقه ی نابجایی

فرض کنید R یک حلقه (نه لزوماً جابجایی) با عضو خنثی ضربی غیرصفر باشد گراف یکه R که آن را با (G(R نشان می دهیم، گرافی است با مجموعه رئوس عناصر R، و دو رأس 0 و b به هم وصل میکنیم اگر و تنها اگر عنصری یکه | R باشد. چونگ و گریمالدی ” گراف یکهای Zn را معرفی کرده و مورد بررسی  قرار دادند  ثابت شده است که اگر در این فصل به عنوان تعمیم مطلب فوق نشان می دهیم برای حلقه ی دلخواه (نه لزوماً جابجایی)، (G (F گراف بخشی کامل است اگر و فقط اگر حلقهای موضعی باشد و برای بعضی .همچنین در این فصل نشان داده شده است که اگر عدد استقلال (G(R متناهی باشد آنگاه F یا متناهی یا یک حلقه ی تقسیم است. در نهایت تمام حلقه هایی که گراف یکه آنها دو بخشی است تعیین می کنیم.

5-1-عدد خوشه ای وعدد رنگی 60

5-2-حلقه های با گرافی یکهr-بخشی کامل 64

مراجع 67

واژه نامه فارسی به انگلیسی 70

واژه نامه انگلیسی به فارسی 73

چکیده انگلیسی 79


Abstract

One of the interesting and active area in the last decade is using graph theoretical tools to study the algebraic structures. In this thesis, first we study the intersection graphs of non-trivial submodules of a module, their clique number and their chromatic number. Next, we study the power graph of a group and observe that non-isomorphic finite groups may have isomorphic power graphs, but that finite abelian groups with isomorphic power graphs should be isomorphic. It also is shown that the only finite group whose automorphism group is the same as that of its power graph is the Klein group of order 4. We study the cozero-divisor graph of R denoted by T'(R) and we show that if T'(R) is a forest, then T'(R) is a union of isolated vertices or a star graph. Also, we prove that if T'(R) is a forest with at least one edge, then R a Z, X F, where F is a field. Finally, we study the unit graph of R, and it is shown that if R is a ring (not necessary commutative), then its unit graph is a complete r-partite graph if and only if (R, m) is a local ring and r = R/m = 2″, for some n e N.

Keywords: clique number, chromatic number, local ring, complete graph, forest


تعداد صفحات فایل : 80

مقطع : کارشناسی ارشد

بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

250,000RIAL – اضافه‌کردن به سبدخرید

خرید فایل pdf و سفارش فایل word

450,000RIAL – اضافه‌کردن به سبدخرید

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید