فهرست مطالب

چکیده ……………………………………………………………………………………………………………………   6

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل اول تعاریف ، مفاهیم و قضایای مقدماتی

در این فصل به معرفی مفاهیم ابتدایی که در سرتاسر این پایان نامه مورد استفاده قرار می گیرند، می پردازیم. ابتدا معادلات دیفرانسیل جزیی و برخی کاربردهای آن را معرفی می کنیم، و مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت،  و سوبولف و قضایای مرتبط به آنها خواهیم داشت و سپس عملگر بیضوی را تعریف می نماییم.

 1: تعاریف و مفاهیم مقدماتی

تعریف 1. 1. 1 (معادله دیفرانسیل ) :هر معادله شامل یک متغیر وابسته و مشتقاتش نسبت به یک متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل گویند. معادلات دیفرانسیل کاربرد زیادی در ریاضیات، فیزیک، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر علوم دارند.

تعریف 1. 1. 2 (معادله دیفرانسیل جزیی ) :  هر رابطه بین متغیرهای مستقل  و متغیر تابع  و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل جزئی گویند. اگر  یک تابع چند متغیره باشد، مشتق مرتبه  نسبت به مولفه ی  را به صورت  نشان می دهیم.هرگاه بزرگترین مرتبه مشتق ظاهر شده  باشد ، معادله دیفرانسیل از مرتبه  است. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی را با علامت اختصاری PDE  نشان می دهند.

تعریف 1. 1. 3 (دامنه ) :فرض کنیم  فضای اقلیدسی – بعدی  با نقاط  که  باشد. در این صورت  را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.

تعریف 1. 1. 4 [24] :مجموعه همه توابع پیوسته روی  را با  نشان می دهیم. برای  ،  مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه ام آنها روی  پیوسته است.  کلاس همه توابعی هست که برای هر عدد طبیعی  متعلق به  باشد.

تعریف 1. 1. 5 [24] :محمل یک تابع  روی  به صورت زیر تعریف می شود :پس برای هر  ، اگر  ، آن گاه  ، همانطور که می دانیم (طبق قضیه هاینه برل ) مجموعه های بسته و کراندار در  فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل  کراندار باشد می گوییم  دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته  که محمل فشرده دارند را با  نمایش می دهیم. به طور مشابه  مجموعه توابع پیوسته روی  می باشند که محمل آنها یک زیر مجموعه فشرده از  است. همچنین  مجموعه توابعی هستند که هم مشتقات تا مرتبه ام آنها روی  پیوسته بوده و محمل آنها زیر مجموعه فشرده از  می باشند.

تعریف 1. 1. 6 (تابع آزمون) :تابع  تعریف شده روی مجموعه باز غیر تهی  را یک تابع آزمون نامند هرگاه  و با محمل فشرده باشد.

تعریف 1. 1. 7 (مجموعه های اندازه پذیر و توابع اندازه پذیر) :فرض کنیم  یک دامنه در  و  اندازه لبگ در  باشد. مجموعه هایی که روی آنها  خوش تعریف است را مجموعه های اندازه پذیر گویند. تابع  را که برای آن مجموعه  برای هر ی حقیقی یک مجموعه اندازه پذیر باشد تابع اندازه پذیر می نامیم.

تعریف 1. 1. 8 (توابع کاراتئودوری)[14] :فرض کنید  یک دامنه باشد. تابعرا یک تابع کاراتئودوری نامند هرگاه

  1. نگاشت برای تقریباٌ همه  ها در  روی  پیوسته باشد.
  2. نگاشت برای هر  در  اندازه پذیر باشد.

تعریف 1. 1. 9 (فضاهای ) [24]:فرض کنید  یک دامنه ی کراندار و  یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین  یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی  باشد. تعریف می کنیم:در این صورت:  را نرم  تابع  می نامیم. در  توابعی را یکی می گیریم که به طور تقریبا همه جا با هم برابر باشند یعنی اندازه ی نقاطی که با هم برابر نیستند برابر صفر باشد. می گوییم  در  اگر  برای تقریبا هر . می توان نشان داد که  یک فضای برداری است.

قضیه 1. 1. 10 [24]:اگر  و  در ، آنگاه زیر دنباله ای از دنباله  مانند  موجود است به طوریکه:

قضیه 1. 1. 11 (نامساوی هولدر) [24]:اگر  و  و  و  آنگاه  و نیز :

تعریف 1. 1. 12(انتگرال پذیری موضعی تابع   روی دامنه ):مجموعه همه ی توابع اندازه پذیر تعریف شده روی قلمرو  که انتگرالشان تعریف شده و متناهی باشد را توابع انتگرال پذیر می نامیم. اغلب اوقات با توابعی که روی هر زیر مجموعه فشرده  انتگرال پذیر هستند رو به رو می شویم و لزومی ندارد که روی خود  انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه چنین توابعی را با  نشان می دهیم. چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه خود را می گیرند، بنابراین می توان نتیجه گرفت که :

لم 1. 1. 13(فاتو)[24]:رگاه   به ازای هر عدد صحیح مثبت  اندازه پذیر باشد، آنگاه:

 تعریف 1. 1. 14(سوپریمم اساسی):فرض کنید  یک تابع اندازه پذیر روی  باشد. می گوییم  به طور اساسی کراندار است، اگر یک ثابت  وجود داشته باشد به طوری که رابطه  به طور تقریبا همه جا در  برقرار باشد. به بزرگترین کران پایین (اینفیمم) چنین  هایی سوپریمم اساسی می گوییم و آن را با نماد زیر نشان می دهیم:

تعریف 1. 1. 15(فضای ):فرض کنیم  فضای برداری متشکل از همه ی توابعی باشد که سوپریمم اساسی آنها کراندار است. نرم در این فضا به صورت زیر تعریف میشود:

  1. 1 تعریف و مفاهیم مقدماتی ……………………………………………………………………………………… 8
  2. 2 فضاهای باناخ و هیلبرت ……………………………………………………………………………………….. 15
  3. 3 قضایا و تعاریفی از آنالیز غیرخطی و فضاهای سوبولف……………………………………………………… 26

فصل دوم بررسی شرطهای وجود جواب برای دستگاههای بیضوی تکین

در این پایان نامه با یک کلاس از دستگاههای بیضوی تکین و تباهیده به فرم (2. 1)             سر و کار داریم که در آن   برای2  یک دامنه ی کرانداری با مرز هموار بوده و نیز داریم .در حالت  مساله اخیر به طور فراگیری مورد مطالعه قرار گرفته است؛ که از آن جمله می توان به [29,28,27,15,5,3,1] اشاره کرد.در [27,5,3,1] دستگاه (2. 1) با  های  ثابت مثبت و غیر خطی های محدب-مقعر مورد مطالعه قرار گرفته است.در حالتی که قسمت غیر خطی  در برخی شرطهای کلی به ازای هر  و  صدق کند برخی نتایج در مورد وجود و چند گانگی جواب در دستگاه (2. 1) بدست آمده است.به عنوان مثال یکی از شرطهای کلی روی  عبارت است از:(2. 2)   وو  در [29,28] مساله (2. 1) را در حالتی که  ها  توابع وزن داری که می توانند تغییر علامت دهند را مطالعه کرد.در یک مقاله جدید توسط کالدیرولی و دیگران مساله بیضوی دیریکله: (2. 3)

مورد بررسی قرار گرفت.در این مساله  صرفا یک دامنه در     است که می تواند کراندار یا بی کران باشد. همچنین  یک تابع وزن دار اندازه پذیری است که می تواند حداکثر یک تعداد متناهی صفر در  داشته باشد.به طور صریح تر نویسندگان مقاله فرض کردند :

(شرط ) تابع   متعلق به   بوده و همچنین ثابت  وجود دارد به قسمیکه :(2. 4)  لذا تابع  نزدیک نقطه ی   خیلی آهسته تر از  کاهش می یابد (نزول می کند)یک مثال از چنین تابعی عبارت است از    [17 ,18].حالت همگن متناظر با عملگر لاپلاسین با   پوشش داده می شود.کالدیرولی و دیگران[7] ثابت کردند اگر تابع  در شرط() صدق کند، آنگاه مجموعه ی متناهی                و ثابتهای  یافت می شود که :1)    که در آن    ),واین یعنی عملگرهای بیضوی موجود در دستگاه (2. 1) می توانند تباهیده و تکین باشند. چنین مسایلی از مطالعه امواج ایستا در دستگاههای شرودینگر[1] غیر همگن ناشی شد،که در شاخه های مختلفی از فیزیک از جمله فیزیک هسته ای، نظریه میدان، موج های جامد و مسایلی از خلاء کاذب دیده می شود.این مسایل برای مدلسازی چند پدیده ی فیزیکی مربوط به تعادل محیط پیوسته ای که کاملاً عایق شده اند معرفی گردید[13 صفحه ی 79]. در [20 ,26] به طور دقیق تری به این مساله پرداخته شد.کالدیرولی و دیگران با در نظر گرفتن قسمت غیر خطی  فرض کردند

  یک تابع کاراتئودوری است که در شرایط زیر صدق می کند(شرط )

     (2. 5)   (به طور یکنواخت)که در آن       (شرط )(2. 6)              (به طور یکنواخت)

(شرط ) وجود دارد بطوریکه:و  با استفاده از قضیه مسیر کوهی [2] و معرفی برخی مسایل جالب ، کالدیرولی و دیگران [7 قضیه 4.4] وجود یک جواب غیر بدیهی برای مساُله (2. 1) را در یک فضای تابعی مناسب با شرط:(2. 7)

ثابت کرده اند.نتایج در [7] توسط زاگرافوپولوس[2] [31] و ژانگ[3] [30] وچانگ[4] [8 ،10] برای وجود جوابهای رده ای از دستگاههای بیضوی تباهیده مورد مطالعه قرار گرفت.زاگرافوپولوس [31] دستگاه بیضوی نیم خطی تباهیده ی :

(2. 8)      را بررسی کرد که در آن  در برخی نقاط  می توانند صفرهای اساسی داشته باشند و  می تواند روی  تغییر علامت دهد و  یک پارامتر مثبت است و ثابتهای نا منفی  در شرایط زیر صدق می کنند

با استفاده از محاسبات قضیه مسیر کوهی [2] نویسنده وجود یک جواب غیر بدیهی از (2. 2)را در حالت:

(2. 9)   در حالت   وجود یک مقدار ویژه اساسی مثبت  برای (2. 1) و برخی از اختلالاتش توسط نویسنده ثابت شد.

تحت شرایط رشد زیر بحرانی و وابستگی قوی  به اولین مقدار ویژه متناظر با دستگاه خطی و با الهام از نتایج [6،7،12،25،31] ، چانگ [10] و ژانگ [30] برخی نتایج در مورد وجود جواب دستگاه (2. 1)را ثابت کرد و نهایتا در حالت کرانداری دامنه  با مرز هموار ، چانگ [8] عدم وجود و چند گانگی جوابهای دستگاه (2. 1) را با استفاده از قضیه مسیر کوهی و اصل می نی مم ثابت کرد.در این پایان نامه دستگاه (2. 1) را همانند [7،8،10،30،31] با پتانسیلهای تباهیده در نظر می گیریم بدین معنی که   ،  می توانند در برخی نقاط  صفرهای اساسی داشته باشند. مساله را در حالت  و توابع وزن  که بتوانند  تغییر علامت دهند بررسی می کنیم.با الهام از ایــده های جالـــب در [15،27] در اینــجا نیـــازی نیــست قســـمت غیــر خطی  همانــند    [ 7،8،10،28،29،30] در هیچ شرط کلی صدق کند. لذا نتایج معرفی شده در اینجا توسیع کاملا طبیعی از نتایج قبل است.برای بر طرف کردن برخی پیچیده گی های احتمالی از تکنیکهای تغییراتی که در اصل به گونه ای از نامساوی کافارلی-کوهن-نیرنبرگ [7] و یک اصل تغییراتی در [11] تکیه دارد استفاده می کنیم.ثابت می کنیم مساله در یک فضای سوبولف وزن دار تعداد نامتناهی جواب دارد.

همانطوریکه در بالا اشاره شد در سرتاسر این پایان نامه فرض می کنیمو  در شرطهای :

Chung

  1. 1 مقدمات …………………………………………………………………………………………………………… 36
  2. 2 لم های کمکی  …………………………………………………………………………………………………   44

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل سوم بررسی وجود بی نهایت جواب برای دستگاههای بیضوی تکین

 

قضیه اصلی ………………………………………………………………………………………………………..   94

منابع ………………………………………………………………………………………………………………….    100

واژه نامه فارسی به انگلیسی …………………………………………………………………………………   105

چکیده انگلیسی …………………………………………………………………………………………………….  113

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان