چکیده

( در پی دی اف انتهای مطلب فرمول نویسی ها هم به درستی رعایت شده است)

ریاضیات همواره در همه امور زندگی نقش بسزایی داشته است. زندگی بشـر بـا ریاضـیات عجـین شده و لزوم یادگیری این شاخه از علم را ضروری می کند. از طرفی یادگیری زمانی اتفاق خواهد افتـادکه یادگیرنده بتواند ارتباط بین مفاهیم هر مبحث را درک کرده و آن ها را برای حل مسـاله در دنیـایواقعی به کار بندد.
یکی از چالش های آموزش ریاضیات محدودیت های زمانی و مکانی می باشد که مانع از یادگیری معنادار آن می شود. این مشکل را می تـوان بـا اسـتفاده از فنـاوری و تولیـد محتواهـای الکترونیکـی مناسب تا حدی مرتفع ساخت. مسلما برای تولید محتوایی که یـادگیری معنـادار را بـه دنبـال داشـته باشد، طراحی دقیق آموزشی لازم است.
توجه به فرایندهای ذهنی یادگیرنده برای تولید محتـوای آموزشـی الکترونیکـی مـوثر، ضـروری است. از نقشه های شناختی برای نمایش نحوه تفکـر یادگیرنـده مـی تـوان اسـتفاده کـرد. بـا نقشـه شناختی فرایندهای پیچیده ذهنی ساده سازی شده و به صورت یک مدل نمایش داده می شود.
برای یافتن نقشه شناختی یادگیرنده در مبحث تبدیل لاپلاس، از یک آزمـون محقـق سـاخته بـه عنوان ابزار اندازه گیری استفاده شد. سوالات این آزمون با توجه به جدول هدف- محتـوای مربـوط بـه این مبحث که بر اساس سطوح یادگیری بلوم طبقه بندی شده بود، طراحی گردید. روایی و پایایی ایـنسوالات نیز قبل از اجرای اصلی، با توجه به ضریب تمیز، ضریب دشواری و روش لوپ مورد بررسی قرار گرفت. مقدار آلفای کرونباخ 817/0 به دست آمد.
با استفاده از نمونه گیری تصادفی خوشه ای 108 نفـر از دانشـجویان دانشـکده فنـی مهندسـی دانشگاه آزاد نجف آباد انتخاب و در این آزمون شرکت کردند. مدل ساختاری بـه دسـت آمـده در ایـنپژوهش نشانگر مفاهیم تشکیل دهنده مبحث تبدیل لاپلاس و روابط بین آن ها میباشد. نتایج تحلیـل مسیر حاکی از پذیرفته شدن فرضیه های تحقیق می باشد زیرا دانش تعاریف بـا دانـش قـوانین رابطـهمثبت و مستقیمی با مقدار 2/566t  دارد. بین تبدیل معکـوس لاپـلاس و مفهـوم قضـایای تکمیلـیرابطه مثبت و مستقیم معنادار با مقدار 2/323t  وجود دارد. رابطه معناداری نیز بین تبدیل معکـوسلاپلاس و کاربردهای آن به صورت مثبت و مستقیم به مقدار 2/516t  وجـود دارد . هـم چنـین اثـرکلی تبدیل معکوس لاپلاس بر کاربردهای آن با مقـدار26/3t  معنـادار مـی باشـد . رابطـه مثبـت ومستقیم معناداری بین قضایای تکمیلی و کاربردها با 2/151t  وجـود دارد . نتـایج حاصـل از تحلیـلرگرسیون مرحله ای نشان می دهد که متغیرهای پـیش بینـی کننـده مفهـوم کاربردهـا، سـه عامـل :
قضایای انتقال، قضایای تکمیلی و شرایط وجود میباشند. همبستگی این عوامل با مفهوم کاربردهـا بـهترتیب 7/47% ،5/54% و 8/56% به دست آمد که در سطح ( 05/0p) معنادار میباشد.
واژه های کلیدی: نقشه شناختی یادگیرنده، مدلیابی روابط ساختاری، یادگیری معنـادار، تبـدیل لاپلاس.

فصل اول: طرح مساله ——————————– 1
1- 1 مقدمه ———————————————————– 2
1- 2 عنوان تحقیق —————————————————— 3
1- 3 بیان مساله و پرسش های تحقیق ————————————– 3
1- 4 اهمیت و ضرورت تحقیق ——————————————— 4
1 – 5 اهداف تحقیق —————————————————- 5
1 – 5 – 1 اهداف کلی ———————————————– 5
1 – 5 – 2 اهداف جزئی ———————————————- 5
1 – 6 دامنه تحقیق —————————————————– 5
1 – 6 – 1 دامنه مکانی تحقیق —————————————- 5
1 – 6 – 2 دامنه زمانی تحقیق —————————————– 6
1 – 7 فرضیه های تحقیق ———————————————— 6
1 – 8 تعریف واژه ها، مفاهیم و متغیرها ————————————- 6
1 – 8 – 1 تعریف نظری ———————————————- 6
1 – 8 – 2 تعریف عملیاتی ——————————————– 8

فصل دوم: مروری بر ادبیات تحقیق ———————– 102– 1

مقدمه ———————————————————– 11
2 – 2 یادگیری الکترونیکی ———————————————– 11
2 – 3 طراحی آموزشی ————————————————— 13
2 – 3 – 1 طراحی محتوای آموزشی ———————————— 14
2 – 4 طرحواره ها و فهم و درک ریاضی ————————————- 16
2 – 5 یادگیری معنادار ————————————————– 17
2 – 6 نقشه شناختی —————————————————- 19
2 – 7 بازخورد و پیش خورد ———————————————- 20
2 – 8 بررسی پ ژوهش های انجام شده ————————————— 21
2 – 8 – 1 آموزش تبدیل لاپلاس ————————————– 21
2 – 8– 2 نرم افزار آموزشی ——————————————- 22
2 – 8 – 3 نقشه شناختی ——————————————— 22
2 – 9 مدل تحلیلی تحقیق ———————————————– 23
فصل سوم: روش شناسی تحقیق ————————- 27
3 – 1 مقدمه ———————————————————- 28
3 – 2 روش و طرح تحقیق ———————————————– 28
3 – 3 فرایند تحقیق —————————————————– 28
3 – 3 – 1 مطالعات کتابخانه ای ————————————— 28
3 – 3 – 2 مطالعات میدانی ——————————————- 29
3 – 4 جامعه آماری —————————————————– 29
3 – 5 نمونه، روش نمونه گیری و حجم نمونه ——————————— 29
3 – 6 ابزار گردآوری اطلاعات ——————————————— 29
3 – 6 – 1 فرایند تهیه پرسشنامه ————————————— 29
3 – 6 – 2 محتوای سوالات پرسشنامه ———————————– 30
3 – 6 – 3 روایی ( اعتبار ) ابزار جمع آوری داده ها ————————- 32
3 – 6 – 4 پایایی ( اعتماد ) ابزار جمع آوری داده ها ———————— 36
3 – 6 – 5 بررسی ابزار اندازه گیری و تحلیل سوالات آن ——————— 36
3 – 6 – 5 – 1 حذف سوالات نامناسب ——————————- 40
3 – 6 – 5 – 2 تشکیل مدل مفروض ——————————– 40
3 – 7 گردآوری داده ها ————————————————– 41
3 – 8 روش تجزیه و تحلیل داده ها —————————————- 42
3 – 8 – 1 شاخص های برازش و اصلاح مدل —————————– 43
فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده ها ———————– 464 – 1

مقدمه ———————————————————- 47
4 – 2 توصیف متغیرها ————————————————— 47
4 – 3 توصیف مدل —————————————————– 48
4 – 3 – 1 توصیف روابط موجود در مدل ——————————— 51
4 – 3 – 2 بررسی خطای ابزار اندازه گیری و خطای برآورد —————— 56
4 – 3 – 3 بررسی برازندگی مدل نهایی ———————————- 57
4 – 4 بررسی فرضیه های تحقیق و ارائه نتایج ——————————– 58
4 – 5 معادلات پیش بینی متغیرهای وابسته (درونزاد) در مدل نهایی ————- 60
4 – 6 تحلیل رگرسیون مرحله ای (گام به گام) ——————————- 61

فصل پنجم: نتیجه گیری، بحث و پیشنهادها —————— 64
5 – 1 مقدمه ———————————————————- 65
5– 2 تجزیه و تحلیل نتایج تحقیق —————————————– 65
5- 3 بحث و نتیجه گیری ———————————————— 67
5 – 3 – 1 سناریوی آموزشی اول ————————————— 67
5 – 3 – 2 سناریوی آموزشی دوم ————————————— 69
5 – 3 – 3 سناریوی آموزشی سوم ————————————— 70
5 – 4 محدودیت های پژوهش ——————————————– 72
5 – 5 پیشنهادات برگرفته از پژوهش برای تحقیقات بعدی ———————- 72
فهرست جدول ها

31 جدول 3-1 هدف های بخش محاسبه تبدیل لاپلاس انواع تابع ———————–
31 جدول 3-2 هدف های بخش تبدیل معکوس لاپلاس توابع ————————–

32 جدول 3-3 هدف های بخش حل معادلات دیفرانسیل و دسـتگاه هـا بـا اسـتفاده از تبـدیللاپلاس

32 جدول 3-4 هدف های بخش حل معادلات انتگرالی و انتگرالهای ناسره با اسـتفاده از تبـدیللاپلاس
33 جدول 3-5 اهداف، محتوا و مفاهیم تبدیل لاپلاس بر اساس سوالات پرسشنامه ———-
37 جدول 3-6 ضریب همبستگی سوالات آزمون با نمره کل —————————
38 جدول 3-7 ضریب دشواری سوالات آزمون ————————————–
39 جدول 3-8 مقدار پایایی سوالات آزمون پس از حذف هر سوال ———————-
48 جدول 4-1 شاخصه های آمار توصیفی متغیرها ———————————–
49 جدول 4-2 ماتریس همبستگی متغیرهای مورد پژوهش —————————-
53 جدول 4-3 ماتریس ضرایب همبستگی روابط مستقیم بین عوامل ——————–
54 جدول 4-4 مقادیر استاندارد روابط غیر مستقیم بین متغیرها ————————
55 جدول 4-5 مقادیر استاندارد روابط کلی بین متغیرها ——————————
56 جدول 4-6 مقدار خطای حاصل از تقریب در هر عامل —————————–
56 جدول 4-7 مقدار خطای حاصل از اندازه گیری ———————————-
58 جدول 4-8 شاخص های برازش مدل نهایی ————————————–
60 جدول 4-9 واریانس خطا،ضریب تبیین و معادله متغیرهای وابسته مدل نهایی ———-
61 جدول 4-10 نتایج تحلیل رگرسیون مرحله ای در متغیر وابسته کاربردها————–
62 جدول 4-11 نتایج تحلیل رگرسیون مرحله ای در متغیر وابسته تبدیل معکوس لاپلاس —
62 جدول 4-12 نتایج تحلیل رگرسیون مرحله ای در متغیر وابسته قوانین—————
63 جدول 4-13 نتایج تحلیل رگرسیون مرحله ای در متغیر وابسته قضایای تکمیلی——–

فهرست شکل ها

شکل 2 – 1 مدل نظری تبدیل لاپلاس —————————————– 24

شکل 3 – 1 مدل مفروض روابط ساختاری تبدیل لاپلاس ————————— 41

شکل 4 – 1 مدل تحلیل مسیر نهایی تبدیل لاپلاس بر اساس مقادیر استاندارد شده —— 50

شکل 5 – 1 مدل ساختاری بحث تبدیل لاپلاس در سناریو اول ———————- 68

شکل 5 – 2 مدل ساختاری بحث تبدیل لاپلاس در سناریو دوم ———————- 69

شکل 5 – 3 مدل ساختاری بحث تبدیل لاپلاس در سناریو سوم ——————— 71

فهرست پیوست ها

پیوست 1. جدول سلسله مراتب اهداف آموزشی تبدیل لاپلاس———————- 74

پیوست 2. سوالات آزمون تبدیل لاپلاس —————————————- 76

فصل اول

طرح مسأله
1-1 مقدمه
یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روانشناختی است و پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضـی به دست نمی آید مگر اینکه روشهای یادگیری ریاضیات شناخته شود (اسکمپ1، 1986).
فهم اینکه یادگیرندهها چگونه ریاضی را یاد میگیرند، مـی توانـد بـه معلمـان ریاضـی در انتخـابشیوههای تدریس کمک کند. در واقع این فهم درست و واقع گرایانه، معلمان را قـادر مـیسـازد تـا بـاداشتن تصویری شفاف از چگونگی بروز رفتار ریاضی افراد، تصمیم مناسب علمی در انتخاب عنوانهای درسی، تقدم و تاخر مطالب و اتخاذ شیوههـای آموزشـی را داشـته باشـند و در رفـع موانـع یـادگیری یادگیرندهها بکوشند (علم الهدایی، 1378).
برای طراحی و تدوین یک برنامه درسی موفق توجه به فراینـدهای ذهنـی و شـناختی یادگیرنـده بسیار حائز اهمیت است. توجه به اهداف آموزشی و اینکه یادگیرنده چگونه و با چه نظمی ایـن اهـدافرا یاد میگیرد، به طراحان و برنامه نویسان آموزشی کمک میکند تا محتوای آموزشـی را متناسـب بـاویژگیهای درونی یادگیرنده تدوین کنند.
چشم انداز ریاضـیات مدرسـه ای در سـند “اصـول و اسـتانداردها” بـر مبنـای یـادگیری معنـاداریادگیرندگان از ریاضی است. درک عمیق و توانایی به کـارگیری و بـه کـار بسـتن فراینـدها، مفـاهیم ،رویه ها و روش ها لازمه ی یادگیری ریاضیات است.
آموزش ریاضیات همواره با چالش محدودیت های زمانی و مکانی، روبـرو بـوده اسـت کـه مـانع از یادگیری معنادار این درس میشود. با اسـتفاده از فنـاوری و تولیـد محتـواهـای الکترونیکـی مناسـب میتوان این مشکل را تا حدی مرتفع ساخت.
برای تولید محتوایی که یادگیری معنادار را به دنبال داشـته باشـد، طراحـی دقیـق آموزشـی لازماست. در این پژوهش با بهره گرفتن از نقشه شناختی2 یادگیرنده، ضمن یافتن مفاهیم تشـکیل دهنـدهمبحث تبدیلات لاپلاس3، به کشف روابط بین آنها در یک مدل ساختاری پرداخته شد.

1- Skemp
2- Laplace Transforms
3- Cognitive Map

نتایج این پژوهش راهکاره ای مناسبی را در اختی ار طراح ان و تولید کنندگان محتواهای الکترونیکی قرار می دهد. همچنین با کمک الگوهای ارائه شده می توان محتـوای الکترونیکـی مبحـث تبدیلات لاپلاس را تولید و در اختیار دانشجویان قرار داد.
1-2 عنوان تحقیق
مدل نقشه شناختی یادگیرنده در بحث تبدیلات لاپلاس
1-3 بیان مساله و پرسش های تحقیق
بیش از 300 سال است که آنالیز تواناترین شاخه ریاضیات بـوده، و مبحـث معـادلات دیفرانسـیل بخش عمده آن است. این موضوع، هدف طبیعی حساب دیفرانسـیل و انتگـرال مقـدماتی و مهـمتـرین بخش ریاضیات در درک علوم طبیعی است.
بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزی ک، شیمی، زیست شناسی و ستاره شناسی ) طبیعیترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل مییابند. کاربردهای معادلات دیفرانسـیل همچنین در ریاضیات به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصـاد و بسـیاری از زمینـه هـای دیگـرعلوم فراوانند.
تبدیلات لاپلاس یکی از راه های حل معادلات دیفرانسیل می باشد که در مهندسی برق و کنتـرل و حتی در زمینه های اقتصاد و فناوری تولید و مدیریت کاربرد فراوانـی دارد . لـیکن بـا وجـود کـاربردفراوانش یادگیری آن برای دانشجویان به خصوص دانشجویان فنی-مهندسی بسـیار دشـوار اسـت و بـاوجود محدودیت زمانی موجود در دانشگاهها امکان اینکه سـاعات آموزشـی بیشـتری بـه ایـن مبحـث اختصاص داده شود غیر ممکن است.
با ظهور فناوری الکترونیکی و ابزاری که این فناوری در اختیار بشر گذاشته، می توان تا حـدی بـراین مشکلات فائق آمد. لذا به نظر می رسد طراحی یک نرم افزار آموزشی در این بحث لازم است. برای اینکه نرمافزاری کارا تولید شود، توجه به فرایندهای یادگیری یادگیرندگان الزامی است.
مساله ای که امروز باعث شده است که طراحی نرم افزارهای آموزشی بطور مـوثر صـورت نگیـرد وفناوری های نوین نتوانند اهداف متعالی آموزشی و پرورشی را پشتیبانی نمایند، این نکته است، کـه درحقیقت هنوز قوانین و مسیرهای روشنی برای طراحی وجود ندارد (هینسـتروزا و مـیلار1،2001). نـرمافزارهای آموزشی باید بتوانند شرایطی را به وجود آورند که یادگیری دانش آموزان را تضـمین نماینـد.

1- Hinostroza & Mellar
توجه به اهداف یادگیری، سبکهای یادگیری و استراتژی های تدریس می تواند به طور موثری از ایـنمساله پشتیبانی کند (رکو ،2002).
یافتن مدلی که طبق آن یادگیرنده مبحث تبدیلات لاپلاس را می آمـوزد گـام اول بـرای طراحـیمحتوای الکترونیکی آن است. بنابراین برای تهیه نرم افـزار آموزشـی مبحـث تبـدیلات لاپـلاس ابتـدااهداف آموزشی این درس را مشخص کـرده، سـپس مـدل شـناختی کـه منطبـق بـر نحـوه یـادگیرییادگیرندهها باشد ارائه شده است. این مدل باید همه اهداف آموزشی را پوشـش دهـد. در مرحلـه بعـدروابط ساختاری بین مفاهیم موجود در مدل مورد بررسی قرار گرفته شد. با کمک این مدل الگو هایی برای تدریس این مبحث پیشنهاد شد.

با توجه به مراحل بیان شده در بالا، در این پژوهش به سوالات زیر پاسخ داده خواهد شد:
– چه مفاهیمی در مدل دانش مبحث تبدیلات لاپلاس وجود دارد؟
– چه روابط ساختاری بین این مفاهیم وجود دارد؟
– چگونه می توان متناسب با مدل به دست آمده این مبحـث، چـارچوب یـک الگـوی آموزشـی راطراحی نمود؟
1-4 اهمیت و ضرورت تحقیق
ارزش یادگیری ریاضیات به عنوان علم پایه بـر کسـی پوشـیده نیسـت. هـم چنـین دشـواریهـا ومشکلاتی که یادگیری و یاددهی این شاخه از علم بـه همـرا ه داشـته بـه خـوبی شـناخته شـده اسـت. تبدیلات لاپلاس یکی از مباحث ریاضی است که اغلب دانشجویان در یادگیری معنادار آن دچار مشکل میشوند و این مشکل زمانی مشخص میشود که در موقعیتهای کاربردی و عملی به اسـتفاده از ایـنمبحث معادلات دیفرانسیل نیاز است.
آموزش عمیق ریاضیات به طوری که بتوان از آن در موقعیت های حل مساله اسـتفاده کـرد بـرایهمه یادگیرندگان یکسان نیست. هر فرد با توجه به تواناییهای ذهنی خود در زمانی متفاوت با دیگران به یادگیری مهارتی می رسد. و این امر محدودیتهایی را برای دانشگاهها و موسسـات آموزشـی ایجـادمی کند.
با گسترده شدن فناوری اطلاعات و نفـوذ وسـایل ارتبـاط از راه دور بـه عمـق جامعـه، ابـزار هـا و روشهای آموزش نیز دچار تحول شدند. تحول این ابزارها و روش ها در جهتی است که هر فرد در هـرزمان و هر مکان بتواند با امکانات خـودش و در بـازه زمـانی کـه خـودش مشـخص مـیکنـ د مشـغولیادگیری شود.

در این نوع یادگیری که بر اساس استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات اسـت . کیفیـت آمـوزشبسیار مهم است. چرا که برای افرادی که از طریق آموزش الکترونیکـی تحصـیل مـیکننـد ، ایـن نـوعآموزش جایگزین آموزش سنتی شده و باید بتواند بازدهی مشابه با آموزش های سنتی داشـته باشـد. از طرفی در این نوع آموزش باید به تئوریهای یادگیری توجه زیادی شود و این کـار بـا طراحـی مـنظمآموزشی امکان پذیر است. بنابراین طراحی یک محتوای الکترونیکی موثرکه موجـب یـادگیری معنـاداردر دانشجو شود، ضرورت پیدا میکند.
1-5 اهداف تحقیق
1-5-1 اهداف کلی
یافتن مدل نقشه شناختی یادگیرنده در بحث تبدیلات لاپلاس
1-5-2 اهداف جزئی
 مدل یابی ساختاری روابط موجود در نقشه شناختی مربوط به مبحث تبدیلات لاپلاس.
 طراحی الگوی آموزشی مناسب برای رسیدن به سطح یادگیری معنادار.
1-6 دامنه تحقیق
1-6- 1 دامنه مکانی تحقیق
مبانی نظری و پژوهش های کتابخانه ای و میدانی این تحقیق قبل از مراحل اجرایـی در دانشـگاهشهید رجایی تهران صورت گرفته است. جامعه آماری این تحقیق دانشجویان فنی- مهندسـی دانشـگاهآزاد نجف آباد میباشند.
1- 6-2 دامنه زمانی تحقیق
مبانی نظری و تنظیم ابزار گردآوری اطلاعات از مهرماه تـا بهمـن مـاه سـال 1388 انجـام یافـت.
مرحله اجرایی تحقیق در خرداد ماه 1389 انجام یافته است و زمان تجزیه و تحلیل نتـایج و نگـارش وویرایش آن از تیر ماه 1389 تا زمان دفاعیه پایان نامه بود.
1-7 فرضیه های تحقیق
 در مبحث تبدیلات لاپلاس دانش تعاریف بر مفهوم قوانین تاثیر گذار است.
 در مبحث تبدیلات لاپلاس دانش تبدیل معکوس لاپلاس بر مفهوم قضایای انتقـال تـاثیرگذار است.
 در مبحث تبدیلات لاپلاس دانش تبدیل معکوس لاپلاس بر مفهوم کاربردهـا تـاثیر گـذاراست.
 در مبحث تبدیلات لاپلاس دانش قضایای تکمیلی بر مفهوم کاربردها تاثیر گذار است.
1-8 تعریف واژه ها، مفاهیم و متغیرها
دانش تعاریف، قوانین ،تبدیل معکوس لاپلاس ، شرایط وجود، قضایای انتقال، قضـایای تکمیلـی، وکاربردها واژههای به کار رفته در تحقیق می باشند که تعـاریف نظـری و عملیـاتی آنهـا در ارتبـاط بـامبحث تبدیلات لاپلاس ارائه میشود.
1-8-1 تعریف نظری
دانش تعاریف
تعریف ریاضی و ویژگی خطی بودن تبدیلات لاپلاس به عنوان دانش تعاریف در نظر گرفته میشود.

دانش قوانین
فرمولهایی که برای محاسبه تبدیل لاپلاس توابع مقدماتی با استفاده از تعریف تبدیل لاپـلاس بـهدست میآیند، دانش قوانین نامگذاری شده است.
دانش تبدیل معکوس لاپلاس به دست آوردن تبدیل معکوس با استفاده از قضایا و قوانین مربوط بـه آن، دانـش تبـدیل معکـوسلاپلاس، نامگذاری شده است.

دانش شرایط وجود
برای این که برای یک تابع تبدیل لاپلاس موجود باشد، داشتن شرایط زیر الزامی است. این دانـشبه تعیین این شرایط می پردازد:
اگر تابع(f (t دارای شرایط زیر باشد، آنگاه تبدیل لاپـلاس تـابع(f (t بـرای تمـامs a موجـودمیباشد.
الف) در هر فاصله محدود  t T 0 پیوسته قطعهای باشد.
ب) برای t T، از مرتبه نماییeat باشد (بویس و دیپرما ،1997).

دانش قضایای انتقال
با استفاده از دانش قضایای انتقال تبدیل لاپـلاس تـوابعی بـه فـرم (eat f (t و تبـدیل معکـوسلاپلاس برخی توابع خاص را می توان محاسبه نمود. در زیر به بیـان نمونـه ای از ایـن قضـایا پرداختـهشده است:


مقطع : کارشناسی ارشد

تعداد صفحات فایل : 100

دانلود بخشی از پایان نامه بررسی رفتار جواب معادله انتگرال همرشتاین در بازه نامتناهی با استفاده از قضایای نقطه ثابت

بلا فاصله (اتوماتیک) بعد از پرداخت وجه فایل به ایمیلی که در مرحله بعد وارد می کنید ارسال می شود


خرید فایل پی دی اف یا اسکن شده


قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید