فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه.

در جبرهای C* مفهومی به نام -C*محدب و -C*فرین وجود دارد  که تعریف -C* محدب را در قسمت تعاریف اصلی خواهیم آورد و تعریف نقاط – فرین را از مقاله ی لوئبل و پالسن (1981) می­اوریم. این نقاط برای زیر مجموعه­های  از جبر  C*،  ،همان  نقاط فرین در مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)هستند که عکس آن طبق مقاله­های هاپنواسر و مور (1981)و فارنیک و مورنز (1993)بر قرار نمی باشد. طبق مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)حالت دیگری از قضیه کراین میلمان برای مجموعه­های فشرده – محدب برقرار است و در واقع اخیراً برای زیر مجموعه­های Mn این چنین قضیه­ای توسط مورنز (1994) ثابت شده بود که از بعضی کارهای  قبلی فارنیک (1992) و فارنیک و مورنز استفاده شده.درفصل 3 این پایان نامه قضیه 3-2-2 را در حالت کلی برای عامل­های ابرمتناهی بیان کرده و اثبات آن را به کمک قضیه های زیرنشان خواهیم داد.قضیه: فرض کنید R یک عامل دلخواه باشد و وجود داشته باشد  به طوری که یک زیر عامل (شامل همانی R) ایزوموف با Mn باشد. آنگاه برای  هر  به طوری که Wn(x)به عنوان زیر مجموعه­ای از A در نظر گرفته  می­شود و A توسط Mn مشخص می­شود (با استفاده از یک C*-ایزومورفیسم دلخواه) به  علاوه  برای هر نگاشت کاملاً  مثبت یکانی  و هر زیر مجموعه محدب C* فشرده ی ضعیف ستاره ی  از R.      قضیه: فرض کنید R یک جبرC* یکانی و A یک زیر جبر C* شامل همانی R باشد  به طوری که برای هر  یک امید شرطی  وجود داشته باشد که . اگر  زیرمجموعه محدب C* از R باشد که  برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی ، آن گاه .هم چنین درفصل 3 لم زیر را برای اثبات قضیه3-1-3  استفاده کرده و لم 3-2-2 را نیز اثبات خواهیم کرد.  قضیه: فرض کنید A یک جبرC* یکانی باشد و am,…,a1 عناصر A و p یک حالت روی A در بستار ضعیف ستاره حالت­های محض باشد. آن گاه برای هر وجود دارد عنصر  به طوری که  و برای i=1,…,m.پس از آن در فصل 4، قضیه 3-1-3 را در حالت R=Mn توسط نتایجی از مقالات فارنیک (1992) و مورنز (1994) یا مقاله ی وبستر و وینکلر(1999 )  اثبات خواهیم کرد.خاطر نشان می­شویم که وجود نقاط  _ فرین از زیرمجموعه­های   _محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی K از یک جبر دلخواه فون نویمان در مقاله ماگاجنا اثبات شده اما نقاط فرین بدست آمده از مقاله ماگاجنا دلخواه است و برای تولید کردن K مناسب نیست.بنابراین برای جبرهای دلخواه فون نویمان این مسئله که هر زیر مجموعه -C*محدب فشرده ی ضعیف ستاره توسط نقاط -C*فرینش تولید می­شود، هنوز حل نشده است.

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم : قضایا و تعاریف اولیه

از ابتدای این بخش قرار داد می کنیم که  یک عملگر همانی روی فضای هیلبرت  است.

تعريف 1-3-1: اگر  يك فضاي هيلبرت باشد توپولوژی عملگر ضعیف روی (مجموعه ی همه عملگرهای خطی کراندار از H به H )، توپولوژي موضعاً محدب تعريف شده توسط خانواده اي از نيم‌نرم‌هاي { } است به طوري كه،  و براي هر عملگر   از  توپولوژی عملگر قوی روی  ، توپولوژی تعریف شده توسط خانواده ی نیم نرم‌های  است که . توپولوژي عملگرضعيف را با  و توپولوژی عملگر قوی را با    نمایش می دهند.

قابل ذکر است که توپولوژی موضعاً محدب یک توپولوژي روي فضاي برداري چون  است به طوري كه توسط اين توپولوژي  يك فضاي موضعاً محدب باشد يعني اين توپولوژي داراي پايه‌ای شامل مجموعه‌هاي محدب باشد.

گزاره 1-3-2: فرض كنيم  يك فضاي هيلبرت و  يك نت در  باشد آن‌گاه :

1)  اگر و تنها اگر  براي هر  در .

2)   اگر و تنها اگر براي همه  هاي در ، .

اثبات: [16]، گزارة 5-1-3.

تعريف 1-3-3: اگر  يك *-زیرجبر قوياً (ضعيفاً) بسته ی  باشد. آن‌گاه  يك جبر  فون- نويمان است. به عبارتي اگر  يك جبر  باشد كه روي فضاي هيلبرت  عمل مي‌كند به طوري كه در توپولوژي عملگر قوي (ضعيف) بسته و شامل هماني  نيز باشد گوييم  يك جبر فون- نويمان است.تعریف 1-3-4: اگر  یک زیر مجموعه از جبر   باشد، جابجاگر  را مجموعه ی همه ی عناصر  جابجا شود تعریف می کنیم.  یک زیر جبر  نیز است.تعريف 1-3-5: يك عامل روي فضاي هيلبرت ، يك جبر فون نويمان  روي  است به طوري كه ‌كه  جابجاگر  است.یاد اوری می کنیم که اگر  یک فضای هیلبرت باشد،  یک عامل است.تعريف 1-3-6: -جبر يكاني  را يك جبر ابر متناهي يكنواخت گوييم هرگاه  داراي دنباله صعودي  از – زيرجبرهاي ساده متناهي البعدي باشد كه هر كدام شامل يكه  هستند به طوري كه  در  چگال و يكه آن  باشد.تعريف 1-3-7: جبر فون نويمان  روي فضاي هيلبرت  را ابرمتناهي گوييم اگر داراي زيرجبر ضعيفاً چگال و ابر متناهي يكنواخت باشد.تعريف 1-3-8: اگر  يك عملگر در جبر فون‌نويمان  باشد محمل مركزي  از عملگر ، تصوير  است به طوری که  اجتماع همه تصوير‌هاي مركزي  از  است و (تصوير مركزي  تصويري است كه در مركز  يعني قرارگرفته باشد). بنابراين  در مركز A قرار دارد و . پس مي‌توان گفت  كه Q يك تصوير مركزي است به طوري كه .گزاره 1-3-9: اگر  و  به ترتیب تصاویری از  به روی زیر فضاهای بسته ی  و  باشند، شرایط زیر هم ارز هستند

تعریف 1-3-11: فرض کنیم  و  دو تصویر باشند. گوییم  و  نسبت به جبر فون نویمان  هم ارز هستند و می نویسیم ، هر گاه  موجود باشد که  و .تعريف 1-3-12: اگر E و F دو تصوير در جبر فون نويمان A باشند گوييم E از F ضعيف‌تر است و مي‌نويسيم   هر گاه  با يك زير تصوير از  هم ارزباشد.حال اگر  و  گوييم .تعريف 1-3-13: تصوير  در جبر فون نويمان  را نا متناهي گوييم(نسبت به ) هر گاه تصوير  در  موجود باشد به طوري كه ، در غير اين صورت  را نسبت به A  متناهي گوييم. اگر  نامتناهي باشد و براي هر تصوير مركزي ،  يا نامتناهي باشد،  را نامتناهي محض گوييم. A را جبر فون نويمان متناهي يا نامتناهي محض گوييم هر گاه I به ترتيب متناهي يا نامتناهي محض باشد.يادآوري مي‌كنيم كه منظور از  اين است که و .تعریف 1-3-14: تصویر  را یک تصویر مینیمال در  گوییم هر گاه برد  دارای بعد یک باشد و شامل هیچ تصویر غیر صفری در  نباشد.تعريف 1-3-15: تصوير  در جبر فون‌نويمان  را يك تصوير آبلي گوييم هر گاه  آبلي باشد. به عبارتي طبق قضيه 2-4-6 از [1]، تصوير  در جبر فون‌نويمان  آبلي است اگر و فقط اگر  در كلاس تصوير‌هايي در  با محمل مركزي يكسان، مينمال باشد.نكته 1-3-16: هر تصوير آبلي در جبر فون‌نويمان A، متناهي است.تعريف 1-3-17: گوييم جبر فون نويمان  از نوع  است اگر  داراي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I باشد. از نوع  است اگر I مجموع  تصوير آبلي هم‌ارز باشد. اگر  هيچ تصوير آبلي غيرصفري نداشته باشد اما داراي يك تصوير متناهي با محمل مركزي I باشد، آن‌گاه گوييم  از نوع  است- از نوع  است اگر I متناهي باشد- از نوع  است اگر I نامتناهي محض باشد. اگر  هيچ تصوير متناهي غيرصفري نداشت باشد، گوييم  از نوع  است.تعريف 1-3-18: طبق نکته 1-3-11 هر جايي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I داشتيم يعني تصوير مينيمال است لذا همانند تعريف 1-3-12 مي‌توان انواع عامل‌هاي  و I و  و  و  را نيز تعريف كرد و به جاي تصوير آبلي با محمل مركزي I، از تصوير مينيمال استفاده كرد.

تصویر و تصویر متعامد؛ زیر فضای پایا و تحویل پذیر……………………………………………………. 5

جبر ……………………………………………………………………………………………………….. 7

جبر های فون نویمان و عامل ها ……………………………………………………………………….. 9

نگاشت های کاملاً مثبت………………………………………………………………………………. 12

فصل سوم : ساختار مجموعه های محدب

مجموعه های محدب ………………………………………………………………………………….. 17

نقاط فرین  و -Rفرین ……………………………………………………………………………………. 19

فصل چهارم: نقاط فرین

در اين بخش قصد داريم ارتباط بين برد ماتريسي يك عامل و بستار ضعيف ستاره ی غلاف محدب  آن را بيان كنيم. در واقع منظور از بستار ضعيف ستاره غلاف محدب  يك نقطه- ی  (R يك عامل است) بستار  در توپولوژي ضعيف ستاره است. ابتدا چند قضيه را كه براي بررسي اين ارتباط لازم است  مطرح مي‌كنيم.قضيه 3-1-1 (قضيه تعدي كديسون([1]: فرض کنیم  يك نمايش تحويل‌ناپذير از – جبر A باشد و{ } يك مجموعه مستقل خطي در  و  آن‌گاه عنصر  موجود است به طوري كه . اگر عنصر خود الحاق  موجود باشد به طوري كه ،  را مي‌توان خود الحاق در نظر گرفت. اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه ،  را مي‌توان يك عنصر يكاني از به شکل  كه  خود الحاق است، در نظر گرفت.اثبات: [9] قضيه 1-2-10 .توجه داشته باشيم كه در روند اثبات اين قضيه اين چنين نتيجه مي‌شود كه يكاني  عضو  به فرم  موجود است كه  خود الحاق است و . پس عنصر خود الحاق  در  موجود است كه  و  يك عملگر يكاني در  است به طوري كه :در واقع در قسمت آخر قضيه اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه ، آن‌گاه عملگر يكاني  درA موجود است كه مي‌توان  را به عنوان يك عملگر يكاني در نظر گرفت.لم3-1-2: فرض كنيد A يك جبر  يكاني باشد و  عناصر A وP يك حالت روي A باشد كه در بستار ضعيف ستاره ی حالت هاي محض است. آن‌گاه براي هر  عنصر  موجود است به طوري كه  براي  .اثبات:] 9[، لم 2-2.قضيه 3-1-3 : فرض كنيم R يك عامل باشد و  يك زير عامل از آن (شامل يكه R) به طوري كه  اي موجود است كه A با  ايزومورفيك است.آن‌گاه :جايي كه توسط يكي كردن A با  (با استفاده از يك *- ايزومورفيسم)،  به عنوان يك زير مجموعه از A در نظر گرفته مي‌شود. حتي براي نگاشت كاملاً مثبت يكاني  و هر زير مجموعه -محدب فشرده ی ضعيف ستاره ی  از ، .اثبات:فرض كنيم  باید نشان دهيم  نيز است. چون  بنابراين نت  موجود است به طوري كه . از طرفي نگاشت  با تعریف    يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني براي  هاي عضو R است كه . این مطلب از قضیه 1-4-6 نیز نتیجه می شود اما به طور مستقیم نیز می توان ان را نشان داد. فرض كنيم  يك عنصر مثبت در  باشد پس . از آن جايي كه هر عنصر عضو  مثل  به صورت یک ماتریس  ،  است لذا :

اما طبق تعريف1-2-6 چون  يك *-همومورفيسم است، لذا نيز يك *-همومورفيسم است و طبق مطلبي در ادامه تعريف 1-2-6 نگاشت  يك ايزمورفيسم است پس  (با تعريف  وقتي (. در واقع چون  یک نگاشت یکانی کا ملاً مثبت است طبق قضیه ی اشتاین اسپرینگ نمایش  و طولپای  موجودند که . همچنین . در نتیجه  یك نگاشت يكاني كاملاً مثبت است و توابع   نمايش‌هاي روي R هستند و توابع    و، طولپا می باشد. لذا طبق گزاره 1-4-5 تابع يكاني  وجود دارد كه . يعني  با هم ارز يكاني است و . بنابراين . (در اين جا منظور از  همان  است).همچنين  براي هر  و اين تعريف، خوش تعريف است. چون اگر فرض كنيم  به طوري كه  آن‌گاه براي هر و   ای که به دلیل خوش تعریفی ،  در نتیجه  لذا :اکنون فرض كنيم برای ،  بردارهاي پايه استاندارد در    باشند  و قرار مي‌دهيم . فرض مي‌كنيم  درايه‌هاي y باشند كه  ان گاه 🙁 3-1)ابتدا فرض كنيم  نمايشي تحويل ناپذير است در نتيجه  نيز تحويل ناپذير است. چرا كه اگر فرض كنيم  وجود دارد به طوريكه  چون  يك نمايش است و  در نتیجه  يك نمايش است و   يك نمايش تحويل پذير يعني :که این مطلب با تحويل ناپذيري  تناقض دارد. پس  تحويل ناپذير است.همچنين اگر  يك بردار يكه باشد آن‌گاه طبق قضيه تعدي كدیسون (قضيه 3-1-1)، مي‌توان گفت كه عملگر يكاني u در  موجود است به طوري كه :به طوری كه  يك برداريكه است كه مؤلفه j ام آن  و مولفه های ديگر آن  مي‌باشند. اکنون رابطه( 3-1) را به صورت زير مي‌توان نوشت :

برد ماتریسی یک عملگر از یک عامل…………………………………………………………………….. 28

نقاط  فرین  مجموعه های محدب  فشرده ی ضعیف ستاره …………………………………………… 41

قضیه کرین میلمان برای مجموعه های محدب  فشرده ی ضعیف ستاره در عامل های ابر متناهی……………………………………………………………………………………………………….. 43

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل پنجم: نقاط فرین  در جبر فون نویمان متناهی البعد

 طبق تکنیک  از رابطه ی ( 4-3 ) نتیجه می­شود که اگر  معکوس­پذیر باشد، برای هر ،  وجود دارد به طوری که  به صورت ترکیب -محدب محض  و   است اما در حالتی که  معکوس­پذیر نباشد  معکوس­پذیر نیست وازرابطه ی (4-4) نتیجه می­شود که . پس  یا  معکوس­پذیر نیست. اگر  معکوس­پذیر نباشد  که با مثبت بودن  در تناقض است. اگر   معکوس­پذیر نباشد  . تعریف می­کنیم  بنابراین  زیرفضای خطی بسته  و . برای  تحویل­پذیر است و .  به عنوان عملگر خطی کراندار روی  دارای نمایش  است و و برای ،  پس از رابطه ی ( 4-4 ) نتیجه می شود که :

ملاحظه 4-2-5: اگر  يك زيرمجموعه محدب فشرده از  باشد و  يك نقطه فرين  از  آن گاه طبق قضيه 4-1-1 اگر  آن‌گاه يا  با بعضي از ها هم ارز است يا تحويل‌پذير است. بنابراين ابتدا در نظر مي‌گيريم كه  يك نقطه فرين  و تحويل‌ناپذير از  باشد آن‌گاه طبق نتيجه 4-2-4، نتيجه مي‌گيريم كه .فرض كنيم كه  به طوري كه  ها عضو ، مثبت و معكوس‌پذيرند و  و  . چون  ها مثبت هستند پس  و طبق نتيجه 4-2-4 اگر  آن‌گاه :

و  يكاني است        : كه چون  يك نقطه فرين است، شرايط نتيجه 4-2-4 برقرار است و چون  تحويل نا‌پذير است پس فقط با اسكالر‌ها جابجا مي‌شود در نتيجه :

ستون‌های بعد از  ستون اول قرار مي‌گيرند صفر هستند یعنی درايه‌هايی که در ستون‌هاي تا  و سطر 1 تا  قرار مي‌گيرند صفر هستند و در ماتريس بلوكي  نيز يك سري درايه در سطرهاي 1 تا  و ستون‌هاي و  قرار مي‌گيرند كه لزوماً صفر نيستند ولي حاصلضرب آنها با درايه‌هاي  واقع در همين سطر و ستون‌هاي ذكر شده،  صفر مي‌شود.چون درايه‌هاي  واقع در اين سطر و ستون‌ها صفر هستند. به طور مشابه براي =  این مطلب برقرار است و بقيه درايه‌هاي ماتريس بلوكي  كه در  سطر اول و ستون‌هاي غير از ستون‌هاي  تا  قرار مي‌گيرند صفر هستند كه  حاصل‌ضرب آنها در درايه‌هاي  واقع در همين موقعيتها صفر مي‌شود و به طور مشابه براي  نيز برقرار است پس به طور كلي در  سطر اول كه  حاصل‌ضرب  و  پس  و همين طور براي حالت‌هاي ديگري كه این مطلب برقرار است. چون در موقعيت ،  و صفر نيز تحويل‌پذير است در حالي كه  تحويل‌ناپذير است، لذا بايد  باشد يعني تنها در يك حالت است كه  و تناقضي با تحويل‌ناپذيري  ندارد پس در  بايد فقط يك حالت را داشته باشيم كه  بنابراين  پس :در واقع چون  و  در نتيجه  و  يعني  حاصلضرب اسكالري 1 هستند بنابراين به راحتي با  نيز جابجا مي‌شوند. چون  تحويل‌ناپذير است و تنها عناصري كه با  جابجا مي‌شوند هايي هستند كه ، پس طبق تحويل‌ناپذير بودن ، با جابجا مي‌شوند.در حالت كلي ممكن است  هيچ نقطه ی فرين  و تحويل ناپذير نداشته باشد و بايد نقاط فرين  تحويل‌ناپذير ممكن از تراكم  را همچنين در نظر گرفت.توجه داريم كه اگر  يك نقطه ی فرين تحويل‌پذير از    باشد به طوري كه ، تراكم نقطه ی فرين تحويل‌ناپذير از   به ازاي وجود اي باشد، مثلاً    ( يك‌تصويرست) آن‌گاه  به عنوان تركيب محدب   مي‌تواند بيان شود و چون   پس   يعني   كه   كه و .

 4-3: عناصر ساختاري:

تعريف 4-3-1: فرض كنيم   يك مجموعه‌ي فشرده و محدب  باشد و ،  را عنصر ساختاري  از اندازه  گوييم هر گاه  يك تركيب محدب از عناصر  باشد آن‌گاه يكاني‌هاي  و اسكالرهاي  موجود باشند به طوري كه  و  و . عناصر ساختاري با اندازه  را با  نشان  مي‌دهيم.

نقاط فرین  زیر مجموعه های محدب  نرم- بسته از جبر فون نویمان R……….ا……………………….. 51

تراکم  به  وقتی ………………………………………………………………………………………………. 58

عناصر ساختاری ……………………………………………………………………………………………. 74
قضیه 3-3-2 در حالت متناهی البعد………………………………………………………………………. 77

فهرست منابع………………………………………………………………………………………………… 88

واژه نامه انگليسي به فارسي……………………………………………………………………………… 90

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان