انتخاب صفحه

فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه.

در جبرهای C* مفهومی به نام -C*محدب و -C*فرین وجود دارد  که تعریف -C* محدب را در قسمت تعاریف اصلی خواهیم آورد و تعریف نقاط – فرین را از مقاله ی لوئبل و پالسن (1981) می­اوریم. این نقاط برای زیر مجموعه­های  از جبر  C*،  ،همان  نقاط فرین در مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)هستند که عکس آن طبق مقاله­های هاپنواسر و مور (1981)و فارنیک و مورنز (1993)بر قرار نمی باشد. طبق مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)حالت دیگری از قضیه کراین میلمان برای مجموعه­های فشرده – محدب برقرار است و در واقع اخیراً برای زیر مجموعه­های Mn این چنین قضیه­ای توسط مورنز (1994) ثابت شده بود که از بعضی کارهای  قبلی فارنیک (1992) و فارنیک و مورنز استفاده شده.درفصل 3 این پایان نامه قضیه 3-2-2 را در حالت کلی برای عامل­های ابرمتناهی بیان کرده و اثبات آن را به کمک قضیه های زیرنشان خواهیم داد.قضیه: فرض کنید R یک عامل دلخواه باشد و وجود داشته باشد  به طوری که یک زیر عامل (شامل همانی R) ایزوموف با Mn باشد. آنگاه برای  هر  به طوری که Wn(x)به عنوان زیر مجموعه­ای از A در نظر گرفته  می­شود و A توسط Mn مشخص می­شود (با استفاده از یک C*-ایزومورفیسم دلخواه) به  علاوه  برای هر نگاشت کاملاً  مثبت یکانی  و هر زیر مجموعه محدب C* فشرده ی ضعیف ستاره ی  از R.      قضیه: فرض کنید R یک جبرC* یکانی و A یک زیر جبر C* شامل همانی R باشد  به طوری که برای هر  یک امید شرطی  وجود داشته باشد که . اگر  زیرمجموعه محدب C* از R باشد که  برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی ، آن گاه .هم چنین درفصل 3 لم زیر را برای اثبات قضیه3-1-3  استفاده کرده و لم 3-2-2 را نیز اثبات خواهیم کرد.  قضیه: فرض کنید A یک جبرC* یکانی باشد و am,…,a1 عناصر A و p یک حالت روی A در بستار ضعیف ستاره حالت­های محض باشد. آن گاه برای هر وجود دارد عنصر  به طوری که  و برای i=1,…,m.پس از آن در فصل 4، قضیه 3-1-3 را در حالت R=Mn توسط نتایجی از مقالات فارنیک (1992) و مورنز (1994) یا مقاله ی وبستر و وینکلر(1999 )  اثبات خواهیم کرد.خاطر نشان می­شویم که وجود نقاط  _ فرین از زیرمجموعه­های   _محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی K از یک جبر دلخواه فون نویمان در مقاله ماگاجنا اثبات شده اما نقاط فرین بدست آمده از مقاله ماگاجنا دلخواه است و برای تولید کردن K مناسب نیست.بنابراین برای جبرهای دلخواه فون نویمان این مسئله که هر زیر مجموعه -C*محدب فشرده ی ضعیف ستاره توسط نقاط -C*فرینش تولید می­شود، هنوز حل نشده است.

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم : قضایا و تعاریف اولیه

از ابتدای این بخش قرار داد می کنیم که  یک عملگر همانی روی فضای هیلبرت  است.

تعریف 1-3-1: اگر  یک فضای هیلبرت باشد توپولوژی عملگر ضعیف روی (مجموعه ی همه عملگرهای خطی کراندار از H به H )، توپولوژی موضعاً محدب تعریف شده توسط خانواده ای از نیم‌نرم‌های { } است به طوری که،  و برای هر عملگر   از  توپولوژی عملگر قوی روی  ، توپولوژی تعریف شده توسط خانواده ی نیم نرم‌های  است که . توپولوژی عملگرضعیف را با  و توپولوژی عملگر قوی را با    نمایش می دهند.

قابل ذکر است که توپولوژی موضعاً محدب یک توپولوژی روی فضای برداری چون  است به طوری که توسط این توپولوژی  یک فضای موضعاً محدب باشد یعنی این توپولوژی دارای پایه‌ای شامل مجموعه‌های محدب باشد.

گزاره 1-3-2: فرض کنیم  یک فضای هیلبرت و  یک نت در  باشد آن‌گاه :

1)  اگر و تنها اگر  برای هر  در .

2)   اگر و تنها اگر برای همه  های در ، .

اثبات: [16]، گزاره 5-1-3.

تعریف 1-3-3: اگر  یک *-زیرجبر قویاً (ضعیفاً) بسته ی  باشد. آن‌گاه  یک جبر  فون- نویمان است. به عبارتی اگر  یک جبر  باشد که روی فضای هیلبرت  عمل می‌کند به طوری که در توپولوژی عملگر قوی (ضعیف) بسته و شامل همانی  نیز باشد گوییم  یک جبر فون- نویمان است.تعریف 1-3-4: اگر  یک زیر مجموعه از جبر   باشد، جابجاگر  را مجموعه ی همه ی عناصر  جابجا شود تعریف می کنیم.  یک زیر جبر  نیز است.تعریف 1-3-5: یک عامل روی فضای هیلبرت ، یک جبر فون نویمان  روی  است به طوری که ‌که  جابجاگر  است.یاد اوری می کنیم که اگر  یک فضای هیلبرت باشد،  یک عامل است.تعریف 1-3-6: -جبر یکانی  را یک جبر ابر متناهی یکنواخت گوییم هرگاه  دارای دنباله صعودی  از – زیرجبرهای ساده متناهی البعدی باشد که هر کدام شامل یکه  هستند به طوری که  در  چگال و یکه آن  باشد.تعریف 1-3-7: جبر فون نویمان  روی فضای هیلبرت  را ابرمتناهی گوییم اگر دارای زیرجبر ضعیفاً چگال و ابر متناهی یکنواخت باشد.تعریف 1-3-8: اگر  یک عملگر در جبر فون‌نویمان  باشد محمل مرکزی  از عملگر ، تصویر  است به طوری که  اجتماع همه تصویر‌های مرکزی  از  است و (تصویر مرکزی  تصویری است که در مرکز  یعنی قرارگرفته باشد). بنابراین  در مرکز A قرار دارد و . پس می‌توان گفت  که Q یک تصویر مرکزی است به طوری که .گزاره 1-3-9: اگر  و  به ترتیب تصاویری از  به روی زیر فضاهای بسته ی  و  باشند، شرایط زیر هم ارز هستند

تعریف 1-3-11: فرض کنیم  و  دو تصویر باشند. گوییم  و  نسبت به جبر فون نویمان  هم ارز هستند و می نویسیم ، هر گاه  موجود باشد که  و .تعریف 1-3-12: اگر E و F دو تصویر در جبر فون نویمان A باشند گوییم E از F ضعیف‌تر است و می‌نویسیم   هر گاه  با یک زیر تصویر از  هم ارزباشد.حال اگر  و  گوییم .تعریف 1-3-13: تصویر  در جبر فون نویمان  را نا متناهی گوییم(نسبت به ) هر گاه تصویر  در  موجود باشد به طوری که ، در غیر این صورت  را نسبت به A  متناهی گوییم. اگر  نامتناهی باشد و برای هر تصویر مرکزی ،  یا نامتناهی باشد،  را نامتناهی محض گوییم. A را جبر فون نویمان متناهی یا نامتناهی محض گوییم هر گاه I به ترتیب متناهی یا نامتناهی محض باشد.یادآوری می‌کنیم که منظور از  این است که و .تعریف 1-3-14: تصویر  را یک تصویر مینیمال در  گوییم هر گاه برد  دارای بعد یک باشد و شامل هیچ تصویر غیر صفری در  نباشد.تعریف 1-3-15: تصویر  در جبر فون‌نویمان  را یک تصویر آبلی گوییم هر گاه  آبلی باشد. به عبارتی طبق قضیه 2-4-6 از [1]، تصویر  در جبر فون‌نویمان  آبلی است اگر و فقط اگر  در کلاس تصویر‌هایی در  با محمل مرکزی یکسان، مینمال باشد.نکته 1-3-16: هر تصویر آبلی در جبر فون‌نویمان A، متناهی است.تعریف 1-3-17: گوییم جبر فون نویمان  از نوع  است اگر  دارای یک تصویر آبلی با محمل مرکزی I باشد. از نوع  است اگر I مجموع  تصویر آبلی هم‌ارز باشد. اگر  هیچ تصویر آبلی غیرصفری نداشته باشد اما دارای یک تصویر متناهی با محمل مرکزی I باشد، آن‌گاه گوییم  از نوع  است- از نوع  است اگر I متناهی باشد- از نوع  است اگر I نامتناهی محض باشد. اگر  هیچ تصویر متناهی غیرصفری نداشت باشد، گوییم  از نوع  است.تعریف 1-3-18: طبق نکته 1-3-11 هر جایی یک تصویر آبلی با محمل مرکزی I داشتیم یعنی تصویر مینیمال است لذا همانند تعریف 1-3-12 می‌توان انواع عامل‌های  و I و  و  و  را نیز تعریف کرد و به جای تصویر آبلی با محمل مرکزی I، از تصویر مینیمال استفاده کرد.

تصویر و تصویر متعامد؛ زیر فضای پایا و تحویل پذیر……………………………………………………. 5

جبر ……………………………………………………………………………………………………….. 7

جبر های فون نویمان و عامل ها ……………………………………………………………………….. 9

نگاشت های کاملاً مثبت………………………………………………………………………………. 12

فصل سوم : ساختار مجموعه های محدب

مجموعه های محدب ………………………………………………………………………………….. 17

نقاط فرین  و -Rفرین ……………………………………………………………………………………. 19

فصل چهارم: نقاط فرین

در این بخش قصد داریم ارتباط بین برد ماتریسی یک عامل و بستار ضعیف ستاره ی غلاف محدب  آن را بیان کنیم. در واقع منظور از بستار ضعیف ستاره غلاف محدب  یک نقطه- ی  (R یک عامل است) بستار  در توپولوژی ضعیف ستاره است. ابتدا چند قضیه را که برای بررسی این ارتباط لازم است  مطرح می‌کنیم.قضیه 3-1-1 (قضیه تعدی کدیسون([1]: فرض کنیم  یک نمایش تحویل‌ناپذیر از – جبر A باشد و{ } یک مجموعه مستقل خطی در  و  آن‌گاه عنصر  موجود است به طوری که . اگر عنصر خود الحاق  موجود باشد به طوری که ،  را می‌توان خود الحاق در نظر گرفت. اگر عملگر یکانی V روی H موجود باشد که ،  را می‌توان یک عنصر یکانی از به شکل  که  خود الحاق است، در نظر گرفت.اثبات: [9] قضیه 1-2-10 .توجه داشته باشیم که در روند اثبات این قضیه این چنین نتیجه می‌شود که یکانی  عضو  به فرم  موجود است که  خود الحاق است و . پس عنصر خود الحاق  در  موجود است که  و  یک عملگر یکانی در  است به طوری که :در واقع در قسمت آخر قضیه اگر عملگر یکانی V روی H موجود باشد که ، آن‌گاه عملگر یکانی  درA موجود است که می‌توان  را به عنوان یک عملگر یکانی در نظر گرفت.لم3-1-2: فرض کنید A یک جبر  یکانی باشد و  عناصر A وP یک حالت روی A باشد که در بستار ضعیف ستاره ی حالت های محض است. آن‌گاه برای هر  عنصر  موجود است به طوری که  برای  .اثبات:] 9[، لم 2-2.قضیه 3-1-3 : فرض کنیم R یک عامل باشد و  یک زیر عامل از آن (شامل یکه R) به طوری که  ای موجود است که A با  ایزومورفیک است.آن‌گاه :جایی که توسط یکی کردن A با  (با استفاده از یک *- ایزومورفیسم)،  به عنوان یک زیر مجموعه از A در نظر گرفته می‌شود. حتی برای نگاشت کاملاً مثبت یکانی  و هر زیر مجموعه -محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی  از ، .اثبات:فرض کنیم  باید نشان دهیم  نیز است. چون  بنابراین نت  موجود است به طوری که . از طرفی نگاشت  با تعریف    یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی برای  های عضو R است که . این مطلب از قضیه 1-4-6 نیز نتیجه می شود اما به طور مستقیم نیز می توان ان را نشان داد. فرض کنیم  یک عنصر مثبت در  باشد پس . از آن جایی که هر عنصر عضو  مثل  به صورت یک ماتریس  ،  است لذا :

اما طبق تعریف1-2-6 چون  یک *-همومورفیسم است، لذا نیز یک *-همومورفیسم است و طبق مطلبی در ادامه تعریف 1-2-6 نگاشت  یک ایزمورفیسم است پس  (با تعریف  وقتی (. در واقع چون  یک نگاشت یکانی کا ملاً مثبت است طبق قضیه ی اشتاین اسپرینگ نمایش  و طولپای  موجودند که . همچنین . در نتیجه  یک نگاشت یکانی کاملاً مثبت است و توابع   نمایش‌های روی R هستند و توابع    و، طولپا می باشد. لذا طبق گزاره 1-4-5 تابع یکانی  وجود دارد که . یعنی  با هم ارز یکانی است و . بنابراین . (در این جا منظور از  همان  است).همچنین  برای هر  و این تعریف، خوش تعریف است. چون اگر فرض کنیم  به طوری که  آن‌گاه برای هر و   ای که به دلیل خوش تعریفی ،  در نتیجه  لذا :اکنون فرض کنیم برای ،  بردارهای پایه استاندارد در    باشند  و قرار می‌دهیم . فرض می‌کنیم  درایه‌های y باشند که  ان گاه 🙁 3-1)ابتدا فرض کنیم  نمایشی تحویل ناپذیر است در نتیجه  نیز تحویل ناپذیر است. چرا که اگر فرض کنیم  وجود دارد به طوریکه  چون  یک نمایش است و  در نتیجه  یک نمایش است و   یک نمایش تحویل پذیر یعنی :که این مطلب با تحویل ناپذیری  تناقض دارد. پس  تحویل ناپذیر است.همچنین اگر  یک بردار یکه باشد آن‌گاه طبق قضیه تعدی کدیسون (قضیه 3-1-1)، می‌توان گفت که عملگر یکانی u در  موجود است به طوری که :به طوری که  یک برداریکه است که مؤلفه j ام آن  و مولفه های دیگر آن  می‌باشند. اکنون رابطه( 3-1) را به صورت زیر می‌توان نوشت :

برد ماتریسی یک عملگر از یک عامل…………………………………………………………………….. 28

نقاط  فرین  مجموعه های محدب  فشرده ی ضعیف ستاره …………………………………………… 41

قضیه کرین میلمان برای مجموعه های محدب  فشرده ی ضعیف ستاره در عامل های ابر متناهی……………………………………………………………………………………………………….. 43

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل پنجم: نقاط فرین  در جبر فون نویمان متناهی البعد

 طبق تکنیک  از رابطه ی ( 4-3 ) نتیجه می­شود که اگر  معکوس­پذیر باشد، برای هر ،  وجود دارد به طوری که  به صورت ترکیب -محدب محض  و   است اما در حالتی که  معکوس­پذیر نباشد  معکوس­پذیر نیست وازرابطه ی (4-4) نتیجه می­شود که . پس  یا  معکوس­پذیر نیست. اگر  معکوس­پذیر نباشد  که با مثبت بودن  در تناقض است. اگر   معکوس­پذیر نباشد  . تعریف می­کنیم  بنابراین  زیرفضای خطی بسته  و . برای  تحویل­پذیر است و .  به عنوان عملگر خطی کراندار روی  دارای نمایش  است و و برای ،  پس از رابطه ی ( 4-4 ) نتیجه می شود که :

ملاحظه 4-2-5: اگر  یک زیرمجموعه محدب فشرده از  باشد و  یک نقطه فرین  از  آن گاه طبق قضیه 4-1-1 اگر  آن‌گاه یا  با بعضی از ها هم ارز است یا تحویل‌پذیر است. بنابراین ابتدا در نظر می‌گیریم که  یک نقطه فرین  و تحویل‌ناپذیر از  باشد آن‌گاه طبق نتیجه 4-2-4، نتیجه می‌گیریم که .فرض کنیم که  به طوری که  ها عضو ، مثبت و معکوس‌پذیرند و  و  . چون  ها مثبت هستند پس  و طبق نتیجه 4-2-4 اگر  آن‌گاه :

و  یکانی است        : که چون  یک نقطه فرین است، شرایط نتیجه 4-2-4 برقرار است و چون  تحویل نا‌پذیر است پس فقط با اسکالر‌ها جابجا می‌شود در نتیجه :

ستون‌های بعد از  ستون اول قرار می‌گیرند صفر هستند یعنی درایه‌هایی که در ستون‌های تا  و سطر 1 تا  قرار می‌گیرند صفر هستند و در ماتریس بلوکی  نیز یک سری درایه در سطرهای 1 تا  و ستون‌های و  قرار می‌گیرند که لزوماً صفر نیستند ولی حاصلضرب آنها با درایه‌های  واقع در همین سطر و ستون‌های ذکر شده،  صفر می‌شود.چون درایه‌های  واقع در این سطر و ستون‌ها صفر هستند. به طور مشابه برای =  این مطلب برقرار است و بقیه درایه‌های ماتریس بلوکی  که در  سطر اول و ستون‌های غیر از ستون‌های  تا  قرار می‌گیرند صفر هستند که  حاصل‌ضرب آنها در درایه‌های  واقع در همین موقعیتها صفر می‌شود و به طور مشابه برای  نیز برقرار است پس به طور کلی در  سطر اول که  حاصل‌ضرب  و  پس  و همین طور برای حالت‌های دیگری که این مطلب برقرار است. چون در موقعیت ،  و صفر نیز تحویل‌پذیر است در حالی که  تحویل‌ناپذیر است، لذا باید  باشد یعنی تنها در یک حالت است که  و تناقضی با تحویل‌ناپذیری  ندارد پس در  باید فقط یک حالت را داشته باشیم که  بنابراین  پس :در واقع چون  و  در نتیجه  و  یعنی  حاصلضرب اسکالری 1 هستند بنابراین به راحتی با  نیز جابجا می‌شوند. چون  تحویل‌ناپذیر است و تنها عناصری که با  جابجا می‌شوند هایی هستند که ، پس طبق تحویل‌ناپذیر بودن ، با جابجا می‌شوند.در حالت کلی ممکن است  هیچ نقطه ی فرین  و تحویل ناپذیر نداشته باشد و باید نقاط فرین  تحویل‌ناپذیر ممکن از تراکم  را همچنین در نظر گرفت.توجه داریم که اگر  یک نقطه ی فرین تحویل‌پذیر از    باشد به طوری که ، تراکم نقطه ی فرین تحویل‌ناپذیر از   به ازای وجود ای باشد، مثلاً    ( یک‌تصویرست) آن‌گاه  به عنوان ترکیب محدب   می‌تواند بیان شود و چون   پس   یعنی   که   که و .

 4-3: عناصر ساختاری:

تعریف 4-3-1: فرض کنیم   یک مجموعه‌ی فشرده و محدب  باشد و ،  را عنصر ساختاری  از اندازه  گوییم هر گاه  یک ترکیب محدب از عناصر  باشد آن‌گاه یکانی‌های  و اسکالرهای  موجود باشند به طوری که  و  و . عناصر ساختاری با اندازه  را با  نشان  می‌دهیم.

نقاط فرین  زیر مجموعه های محدب  نرم- بسته از جبر فون نویمان R……….ا……………………….. 51

تراکم  به  وقتی ………………………………………………………………………………………………. 58

عناصر ساختاری ……………………………………………………………………………………………. 74
قضیه 3-3-2 در حالت متناهی البعد………………………………………………………………………. 77

فهرست منابع………………………………………………………………………………………………… 88

واژه نامه انگلیسی به فارسی……………………………………………………………………………… 90

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان