فهرست مطالب

  فصل اول: معیار نزدیکی پیتمن در مقابل میانگین توان دوم خطا

زمانیکه برای  یک  مسئله ی آماری ،  چند  برآوردگر متفاوت در اختیار  داریم  ، یافتن  «بهترین»  برآوردگر دارای اهمیت بوده و مسلم است که قضاوت باید بر اساس معیارهای معقول باشد. بعضی از این معیارها ،  مانند میانگین توان دوم خطا [1]در بین  پژوهشگران ،  بسیار معمول بوده ولی معیار نزدیکی پیتمن[2] به سبب  ناآشنایی باویژگی های آن ، کمتر مورد استفاده قرار گرفته است . در این فصل ضمن معرفی و بررسی  معیارنزدیکی پیتمن ،کوشش شده است تا  با برشمردن  نقاط ضعف MSE، به اهمیت به کارگیری معیارهایی نظیر معیارپیتمن به جای میانگین توان دوم خطا دربعضی مسائل اشاره گردد .

1-2-  تاریخچه وتعاریف

در این پایان نامه ،  یک معیار کیفی دیگر که  با نام  نزدیکی-پیتمن  شناخته شده  است  بررسی  و تحلیل می شود . معیار نزدیکی- پیتمن  در سال 1937 معرفی شد  و از  آغاز دهه ی 80 میلادی (به خصوص در کیتینگ و دیگران (1993)) مورد بحث و بررسی قرار گرفته است .در سال1930، یک  مباحثه ی گسترده  بین کارل پیرسن  و رونالد فیشر در ارتباط با دو  روش مینیمم کای اسکور و بیشترین راستنمایی رخ داد . در سال  1936، پیرسن در مقایسه خود در نشریه  Biometrika ،  ضمن  ارائه ی روش  مینیمم کای اسکور ،  مثالی  عرضه کرد که  در آن توزیعی را روی یک سری داده از دو راه جداگانه  برازش داده و پارامترها را از دو راه مینیمم کای – اسکور  و حداکثر راستنمایی ،  برآورد نمود . او  ادعا کرد که MLE  منسوب  به  فیشر نتایجی  بهتر از نتایج  حاصله  از روش خودش  ارائه نخواهد داد  .  این  مباحثه بین پیرسن   و فیشر ادامه داشت تا اینکه   پیتمن برای خاتمه دادن  به جدال  مذکور ، در صدد  ابداع  روشی برای  مقایسه ی این  دو برآورد  برآمد . این روش بدین ترتیب  بود که او PMC  را به  عنوان  معیاری که  هم  شهودی  بوده  و  هم به سادگی درک می گردد ، پیشنهاد کرد . واضح  است که بدون این مباحثات  ، ارائه ی  این پیشنهاد از سوی پیتمن ،  جلب توجه نمی کرد.چهل سال بعد، برکسون و رائو[3]  درگیر مباحثه ای موشکفانه و جدید شدند که درباره ی سودمندی روش کای اسکور بود . برکسون  ادعا کرد که با استفاده از هر معیار معمولی ،  روش مینیمم کای- اسکور، منجر به تولید یک برآوردگر بهتر از MLE خواهد  شد . دقیقا  مانند مباحثه ی پیرسن- فیشر که موجب معرفی PMC شد، مباحثه ی رائو- برکسون  نیز باعث بازنگری به PMC به عنوان معیاری مطلوب گردید .از دیدگاه  تاریخی ،  تحقیق  درنظریه ی   برآورد ،  با   بدست  آوردن   برآوردگرهایی   براساس خواص آماری  آنها   ( مانند  برآوردگری  با حداقل واریانس )  آمیخته است  . روشهای  متفاوتی  برای  برآورد  پارامترهای  مجهول  وجود  دارد که از آن جمله می توان  از  روش گشتاورها ، کمترین توانهای دوم،  درستنمایی  ماکسیمم،  نا اریبی با کمترین  واریانس و غیره نام برد.کار آرایی  هرروش  به آسان  بودن  و خواص آن  روش  بستگی دارد .  با  اینکه  وجود  روشهای مختلف   برای  برآورد  پارامتر  مجهول  یک  برتری  به حساب  می آید،  اما  پرسش  اساسی در این زمینه  این  است که  « از  بین روشهای موجود کدامیک را باید برگزید ؟ »یک  معیار  بسیار معمول  برای  به  دست  آوردن «  بهترین » برآوردگر ، که  در  بین  آماردانان  از مطلوبیت خاصی  برخوردار است ، میانگین توان دوم خطا  یا  به  اختصار MSE است . استفاده از MSE  برای  اولین  بار  را  به گاوس ریاضیدان  آلمانی  نسبت  می دهند.  بر اساس  این معیار،  برآوردگری که دارای کمترین  MSE باشد  انتخاب می شود .واضح است که  اگر تعداد  برآوردگرها  متناهی  باشد ، انتخاب بین آنها کار نسبتا ساده ای است . در صورتی که امکان  یافتن  یک  برآوردگرکه در یک رده ی نامتناهی  از برآوردگرها،  به طور یکنواخت دارای کمترین MSE باشد،  غالبا غیر ممکن است. مناسبات عملی،  عقاید  سنتی  و راحتی  محاسبات ریاضی باعث شده اند تا از MSE معیاری بسیار معمول و متداول ساخته شود .درصورتی که در نظریه ی برآورد اگر تنها  به استفاده ازMSE ( ودر حالت کلی تابع مخاطره)  به عنوان معیاری برای مقایسه ی برآوردگرها بسنده کنیم،  مشکلات وضعفهای ذاتی اجتناب ناپذیری بروز خواهد کرد .در این فصل سعی خواهیم کرد ضمن  برشمردن برخی از محدودیتها  و نقاط ضعف MSE  که درمسائل مختلف رخ می دهند ،  به معرفی و بررسی معیار نزدیکی پیتمن یا به اختصار PMC که نخستین بار آن را  پیتمن  برای  مقایسه ی دوبه دوی  برآوردگرهای آماری ، معرفی کرده است ،  بپردازیم  . این معیار  به صورت زیر تعریف شده است:

تعریف1-2-1-    فرض کنید و دو برآوردگر برای پارامتر  مجهول   باشند به طوریکه   فضای پارامترها باشد. معیارنزدیکی پیتمن(PMC) برای این دوبرآوردگر که آن را با نماد PMC  نشان خواهیم داد ،  به صورت زیر تعریف می شود :PMCدرساده ترین تعبیرPMC، می توان آن را به عنوان فراوانی نسبی اینکه،  نزدیکتر از رقیبش یعنی   به پارامتر واقعی ولی مجهول   باشد، تلقی کرد.معیار نزدیکی پیتمن سابقه ای درحدود هشتاد سال دارد . مسائلی نظیر عدم وابستگی  به گشتاورها (بر خلاف MSE ) ،  تعبیر ساده  و بدیهی که در این معیار  نهفته است  وجود  مواردی که  در آنها معیارهای دیگر غیر قابل استفاده  هستند ،  باعث شدند تا  از PMC یک معیار شهودی ساخته شود  .  البته این معیار به خاطر پیچیدگی ظاهری ساختارش کمتر مورد استفاده قرار گرفته است .

 

1-1- مقدمه………………………………………………………………………………………. 2

1-2- تاریخجه و تعاریف………………………………………………………………………….. 2

1-3-  پدیده ی رائو……………………………………………………………………………….. 7

1-3-1- پدیده ی رائو در مسائل مختلف……………………………………………………. 7

1-3-2- تعمیم پدیده ی رائو…………………………………………………………………. 10

1-4-  ضعف های MSE………………………………………………..ا………………………….. 11

1-4-1- زمانی که MSE قادر به تشخصی نیست…………………………………………. 11

1-4-2- زمانی که MSE وجود ندارد………………………………………………………….. 11

1-4-3- MSE و تاکیدات نامناسب…………………………………………………………….. 11

1-4-4- اطلاعات توام در مقابل اطلاعات کناری…………………………………………….. 13

1-5- یک راه حل کلی برای تعیین PMC………………………………………………ا………….. 15

1-6-  فقدان خاصیت تعدی PMC……………………………………………….ا………………… 20

1-6-1- نتیجه گیری…………………………………………………………………………… 22

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم: پیتمن-نزدیکی به عنوان معیاری برای ارزیابی کردن کیفیت پیش بینی ها.

در نظریه ی پیش بینی ،  معیارهای  زیادی  برای  ارزیابی  عملکرد  روش های  مختلف  پیش بینی  چه در حالت های تک متغیره مانند میانگین توان دوم خطا (MSE)، میانگین انحراف مطلق (MAD)  و چه در حالت  چند متغیره مانند ماتریس  توان دوم خطا ([1]MMSE)  وجود دارد.  میانگین توان دوم خطا  یکی  از  پرکاربردترین  معیار ها در بررسی های نظری و عملی است.همانگونه که در فصل اول بیان  شد  ، معیار نزدیکی- پیتمن معمولا  برای  مقایسه ی  دو برآوردگر پارامتر  مجهول  به کار می رود . در این فصل با چرخشی در نوع نگرش به این معیار، دو پیش بینی کننده ی مقادیر آتی را با  یکدیگر مقایسه می کنیم  . در راستای  مقایسه ی ترکیب های پیش بینی کننده های[2] مختلف  با  استفاده از معیار پیتمن،  خواهیم دیدکه در حالت  نرمال ،  ترکیب پیتمن نزدیکی با ترکیب بهینه ی MSE یکسان است.به علاوه  به  مقایسه ی پیش بینی های  چند متغیره می پردازیم   که در آن بر روی پیتمن نزدیکی مولفه به مولفه[3]  تمرکز می کنیم و وزن ها را  برای ترکیب های بهینه ی  پیش بینی های چند متغیره  محاسبه می کنیم . خواهیم دید که این وزن ها  نیز  همانند حالت MSE   به ساختار کواریانس خطاهای  پیش بینی  بستگی دارند  .  در حالت  نرمال  ، پیتمن- نزدیک ترین  ترکیب مولفه به مولفه با MMSE-بهینه ترکیبی[4] یکسان است .

فرض کنید که   پیش بینی های نا اریب   در  زمان   برای  متغیر   با  افق  پیش بینی   باشند .  بنابراین  خواهیم  داشت  که در آن   یک خطا  از – مین روش پیش بینی است . هدف،  به دست آوردن وزن های ترکیب   است که منجر به بدست آمدن ترکیب   می شود که در آن    و .  به  منظور  محدود  کردن پیش بینی های ترکیب شده به پیش بینی های نا اریب ، فقط وزن هایی را در نظرمی گیریم که مجموع آنها  یک  شود (یعنی ) . در عمل  شرایط  بسیاری  وجود دارد که در آن پیش بینی های تکی می توانند نا اریب باشند ،  هر چند که  شرایطی نیز وجود دارد که در آن پیش بینی های تکی اریب باشند . در این پایان نامه ، بررسی ها محدود به پیش بینی های نا اریب خواهد بود.

2-2-1- میانگین توان دوم خطا

میانگین توان دوم خطا  (MSE)  محبوب ترین معیار ارزیابی پیش بینی است که  به دلیل ویژگی های آماری آن ، به راحتی قابل استفاده است . میانگین توان دوم خطای یک ترکیب از پیش بینی های نا اریب را می توان تنها بر اساس واریانس های خطای پیش بینی تکی محاسبه کرد . بنابراین ، برای بررسی های نظری ، تنها  نیاز است که فرضیاتی در رابطه  با این  واریانس ها  در نظر بگیریم . تعریف زیر را درنظر بگیرید:

   2-1- مقدمه……………………………………………………………………………………… 24

2-2- حالت تک متغیره…………………………………………………………………………. 24

2-2-1- میانگین توان دوم خطا (MSE)…………………………………………………… 25

2-2-2- پیتمن-نزدیکی……………………………………………………………………… 26

2-3- حالت چند متغیره…………………………………………………………………………. 31

2-3-1- ماتریس میانگین توان دوم خطا (MMSE)……………………………………….. 31

2-4- پیتمن-نزدیکی…………………………………………………………………………….. 34

2-5- مثال عددی…………………………………………………………………………………… 38

2-5-1- نتیجه گیری………………………………………………………………………….. 40

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل سوم : مقایسه ی دو شیوه ی برآورد مقادیر گمشده با استفاده از معیار نزدیکی پیتمن

یک  مسئله ی مهم در سری های زمانی  برآورد مقادیر گمشده ی  است که به دلیلی  برای ما به طور کامل  قابل مشاهده نیستند.  به منظور رویارویی  با این مسئله ، چند  روش  جایگزینی مقادیر گمشده پیشنهاد شده است . پوراحمدی (1989) یک راه حل  کامل  برآورد  داده های گمشده یک سری زمانی ایستا را پیشنهاد کرد . این  راه حل از  طریق  تجزیه ی  سری زمانی  به مسئله ی پیش بینی و یک مسئله ی رگرسیونی کار می کند . او بهترین درون یاب خطی[1] از  داده ی گمشده را نسبت  به میانگین توان دوم خطا به دست آورد . در مدل AR(1) زیرکه در آن   دنباله ای از اغتشاش های  سفید است  ، بهترین درون یاب خطی از جایگزینی  یک مقدار گمشده   توسط  رابطه ی  معروف       (  براکول  و دیویس ، 1991 را  ببینید)  بدست می آید . روی  و چاکرابرتی (2006)  دو  روش پیش بینی  را در مدل (3-1-1)  در نظر گرفتند :  یکی روش جایگزینی میانگین که در آن میانگین حسابی مقادیر موجود یعنی  به جای  قرار می گیرد  و دیگری روش پیش بینی با جایگزینی[2].از سوی دیگر شیوه  ی پیش بینی با جایگزینی (FR)  از جایگزینی  با مقدار پیش بینی شده ی  بر روی   یعنی   حاصل می شود.در این  فصل دو  شیوه ی (LI)  و (FR) را نسبت  به معیار اندازه گیری  PMC یا  همان  معیار نزدیکی- پیتمن مقایسه می کنیم و در ارتباط با مدل خودبازگشتی مرتبه ی  اول،  برتری شیوه های درون یاب خطی را نسبت به شیوه ی پیش بینی با جایگزینی اثبات خواهیم کرد. به صورت دقیق تر نشان خواهیم داد که در این مدل ها درون یاب خطی مقدار گمشده پیتمن- نزدیک تر از پیش بین خطی است .

در  بیشتر مباحث آماری  با نمونه های تصادفی از مشاهدات مستقل سروکار داریم  در حالیکه  در سری های زمانی،  مشاهدات به ندرت از یکدیگر مستقل اند و در تجزیه و تحلیل ها بایستی ترتیب و توالی زمانی مشاهدات را نیز به حساب آورد. هرگاه مشاهدات مستقل نباشند می توان مقادیر آینده را با استفاده از مشاهدات گذشته پیش بینی کرد  هرچند پیش بینی دقیق  به جز در سری های زمانی تعیینی ( غیرتصادفی) غیرممکن است.سری های زمانی تعیینی[1]  بدون خطا قابل پیش بینی هستند ولی در حالت کلی مقادیر آینده دارای یک توزیع احتمالی هستند که به آگاهی و اطلاع از مقادیر گذشته وابسته اند . در سری های زمانی ناتعیینی (تصادفی) خطای پیش بینی هیچ گاه صفر نمی باشد.در ادامه ، مانند  فصل قبل،  ایده ی پیتمن نزدیکی را روی  برآوردگر مقدارگمشده  پیاده خواهیم کرد. توجه کنیدکه پارامتری را که  می خواهیم درتئوری برآورد بدست آوریم، پارامتری است نامشخص اما ثابت درحالیکه در برآوردکردن یک مقدار گمشده، میزان برآورد شده تصادفی است . در ارتباط  با مقدار گمشده ، علاقه مندیم که ببینیم که  یک  برآوردگر مشخص  از داده ی  گمشده از دیگری پیتمن نزدیک تر است یا خیر.

 

3-1- مقدمه………………………………………………………………………………….. 42

3-2- تعاریف و مفاهیم اولیه………………………………………………………………… 43

3-3- دو شیوه ی جایگذاری برای یک مقدار گمشده…………………………………….. 44

3-3-1- روش درون یاب جایگزین………………………………………………………… 45

3-3-2- روش پیش بینی جایگزین……………………………………………………… 46

3-4- مقایسه ی دو روش و نتیجه گیری…………………………………………………… 47

پیوست 1 ……………………………………………………………………………………. 49

پیوست 2 ………………………………………………………………………………….. 51

پیوست 3 …………………………………………………………………………………. 53

3-1-مقدمات…………………………………………………………………………….. 53

3-2- درون یاب یک مقدار گمشده…………………………………………………….. 55

پیوست4 :برنامه نویسی………………………………………………………………….. 60

به ترتیب حروف الفبای فارسی…………………………………………………………. 66

به ترتیب حروف الفبای انگلیسی……………………………………………………….. 69

فهرست منابع و مراجع……………………………………………………………………… 72

ABSTRACT

First  of  all , in  this  dissertation , we  introduce  Pitman’s  measure   of closeness which Pitman devised in 1937 and then we use it as a  criterion in order to choose the optimal estimator along with other criteria such  as unbiasedness , minimum variance , and least mean square error. We consider Pitman – closeness to evaluate the performance of univariate and multivariate forecasting methods. Optimal weights for the combination of forecasts are calculated with respect to this criterion. These weights depend on the assumption of the distribution of   the individual forecasts errors. In the normal case they are identical with the optimal weights with respect to the MSE – criterion (univariate case) and with    the   optimal   weights with respect to the     MMSE – criterion (multivariate case).  Then, we compare  the  LI  method  and  the  FR  method  with  respect  to  another quality  measure  which  is  known  as Pitman-closeness. In the particular case of an autoregressive process of order one, we prove the superiority of the interpolation replacement method over the forecast replacement method.

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان