فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه.

در این فصل به معرفی نمادها و توزیع­های آماری که در این پایان نامه مورد استفاده است، می­پردازیم. همچنین آماره آزمون، توزیع آن و مقدار بحرانی را تحت شرط معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس معرفی می­کنیم. اما به دلیل مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس در اکثر مواقع، آماره آزمون را با فرض مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس معرفی خواهیم کرد.

1-1- آشنایی با نمادها…………………………………………………………………. 2

1-2- توزیع ویشارت……………………………………………………………………… 3

1-3- آماره آزمون………………………………………………………………………… 5

1-3-1-آماره آزمون نسبت درستنمایی تحت فرض معلوم بودن ماتریس­های کوواریانس…………………………………………………………………………………. 5

1-3-2- آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس………………… 8

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم: مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال.

در این فصل به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم گفته شده در فصل اول، به بررسی آزمون­های مربوط به برابری بردارهای میانگین دو جامعه نرمال می­پردازیم.فرض کنید    یک نمونه تصادفی از توزیع نرمال p – متغیره با بردار میانگین   و ماتریس کوواریانس  باشد. همچنین فرض کنید  و  به ترتیب نشان دهنده بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونه­ای باشند. یعنی:  آزمون زیر را درنظر بگیرید:

 روند معمول برای آزمون برابری دو بردار میانگین نرمال چند متغیره بدین صورت است که در صورتیکه فرض برابری ماتریس­های کوواریانس قابل قبول باشد، از آزمون – هتلینگ و در غیر این صورت از یکی از آزمون­های تقریبی برای مسئله بهرنز فیشر استفاده می­کنیم. فرض کنید از آزمون MNV برای مسئله بهرنز فیشر استفاده کنیم. بنابراین روند انجام آزمون برای مجموعه داده­ها به صورت زیر می­باشد:ابتدا فرض برابری ماتریس­های کوواریانس را آزمون می­کنیم. در صورتیکه  رابطه ( 2-2-18 ) بزرگتر یا مساوی  باشد، از آزمون – هتلینگ و در غیر این صورت از آزمون MNV برای آزمون برابری بردارهای میانگین در سطح  استفاده می­کنیم. ( معمولا  و  را برابر در نظر می­گیرند.)

2-2- آزمون برابری ماتریس­های کوواریانس……………………………………….. 15

2-2-1- توزیع مجانبی آماره ……………………………………………………….. 19

2-3- آزمون MNV..ا…………………………………………………………………. 24

2-3-1- توزیع آماره ………………………………………………………………….. 25

2-4- روند معمول…………………………………………………………………….. 29

فصل سوم: معرفی آزمون­ها

در این فصل به معرفی آزمون­های تقریبی برای آزمون فرض  در مقابل  زمانیکه ماتریس­های کوواریانس مجهول هستند می­پردازیم. بنابراین این فصل شامل 3 بخش می­باشد که در هر بخش یکی از آزمون­های تقریبی مورد نظر معرفی خواهد شد.

3-1- آزمون جانسن ( Johansens’ Test )

  اولین آزمون تقریبی که در این فصل معرفی می­شود آزمون جانسن می­باشد. در حقیقت آزمون جانسن تعمیم یافته روش ولچ در حالت یک متغیره می­باشد. به همین دلیل ابتدا روش ولچ را به صورت مختصر توضیح می­دهیم. ( Welch, 1951, p.330-336 )

3-1-1- روش ولچ ( Welch’s Method )

فرض کنید  متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع مشترک نرمال با میانگین  و واریانس  باشند که در آن  ثابت و معلوم و  و  مجهول می­باشند. همچنین فرض کنید  برآورد  باشد به طوریکه  دارای توزیع کای اسکور با  درجه آزادی باشد. در یک حالت خاص فرض کنید  میانگین نمونه­ها از  مشاهده از  جامعه نرمال با میانگین  و واریانس  باشند.ولچ در سال 1951 آماره ، به گونه­ای که  و  معرفی کرد. وی با محاسبه تابع مولد گشتاور این آماره و مقایسه آن با تابع مولد گشتاور توزیع  به این نتیجه رسید که  تقریباً دارای توزیع  است به گونه­ای که  دارای توزیع  با درجات آزادی  و  است که  ،  و  به صورت زیر می­باشند:

    3-1-2- آزمون جانسن

در این قسمت به بررسی آزمون جانسن و معرفی آماره آزمون که در واقع آماره نسبت درستنمایی می­باشد می­پردازیم. در صورتیکه برای آزمون جانسن مشابه روش ولچ عمل کنیم به این نتیجه می­رسیم که آماره  معرفی شده در رابطه ( 1-3-

در این قسمت p- مقدار تعمیم یافته یک متغیره و شرایط مربوط به آماره آزمون را مورد بررسی قرار می­دهیم. ( Gamage, Mathew, Weerahandi, 2004, p.177-189 )فرض کنید  یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای  باشد به گونه­ای که  پارامتر مورد علاقه و  پارامتر مزاحم می­باشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر  وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)فرض کنید علاقه­مند به آزمون  در مقابل  هستیم به گونه­ای که  مقداری مشخص و معلوم می­باشد. همچنین فرض کنید  نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر  باشد. آماره تعمیم یافته  که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده  و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:

3-1- آزمون جانسن ( Johansens’ Test ) …………………………………………31

3-1-1- روش ولچ ( Welch’s Method ) …………………………………………….32

3-1-2- آزمون جانسن………………………………………………………………… 32

3-2- آزمون متغیر تعمیم یافته ( The Generalized Variable Test )……………..33

3-2-1-p – مقدار تعمیم یافته یک متغیره. ……………………………………………34

3-2-2-p – مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره……………. 35

3-2-3- آزمون متغیر تعمیم یافته……………………………………………………. 38

3-3- آزمون بوت استراپ پارامتری ( Parametric Bootstrap Test )…………….. 40

3-3-1- آزمون بوت استراپ پارامتری………………………………………………… 41

3-3-2- تجزیه چولسکی ( Cholesky Factor )…………………………………… 43

3-3-3- توزیع کمیت محوری بوت استراپ پارامتری………………………………… 45

فصل چهارم: شبیه سازی..

در این فصل با توجه به شبیه سازی مونت کارلو خطای نوع اول آزمون­های معرفی شده در فصل سوم را مقایسه و آزمون بهینه را با توجه به عملکرد خطای نوع اول مشخص می­کنیم. بدین منظور شبیه سازی برای 10 و 5 ،3  گروه انجام شده است. با توجه به اینکه کلیه آزمون­ها نسبت به پارامتر مکان پایا هستند، بردار مشترک میانگین تحت فرض  را بردار صفر در نظر گرفته و با توجه به ماتریس­های کوواریانس داده شده، در هر حالت نمونه­هایی از توزیع نرمال و ویشارت 10 و3 ،2  متغیره تولید شده است. فرم کلی ماتریس­ها به صورت ،  و  یک ماتریس معین مثبت دلخواه، می­باشد. در آزمون جانسن برای هر مجموعه از اندازه­های نمونه و پارامترهای داده شده، 10000 بار نمونه تصادفی تولید و در هر بار خطای نوع اول را محاسبه می­کنیم. آزمون­های متغیر تعمیم یافته و بوت استراپ پارامتری هر کدام شامل دو حلقه می­باشند که حلقه درونی 5000 بار به منظور محاسبه pمقدار و حلقه بیرونی 2500 بار به منظور محاسبه خطای نوع اول تکرار می­شود. نتایج در جداول 4-1، 4-2 و 4-3 به دست آمده است. همچنین مجدداً یادآوری می­کنیم که نمادهای GV و PB به ترتیب نشان دهنده آزمون­های متغیر تعمیم یافته و بوت استراپ می­باشند.با توجه به جدول 4-1، زمانیکه 5 و3  و 2  است، آزمون­های جانسن و GV برای اندازه­های نمونه کوچک خطای نوع اول بالایی دارند اما زمانیکه انداره­های نمونه افزایش می­یابد، تفاوت چندانی با یکدیگر ندارند. خطای نوع اول آزمون GV زمانیکه حجم نمونه­ها نابرابر هستند و تفاوت زیادی با هم دارند از 05/0 فاصله می­گیرد. ولی آزمون جانسن در این شرایط عملکرد بهتری نسبت به آزمون GV دارد. این در حالی است که آزمون PB در اکثر حالات نرخ خطای نوع اول را کنترل کرده و به سطح معنی داری 05/0 نزدیک است.در صورتیکه شبیه سازی برای 10  گروه انجام شود، آزمون جانسن برای اندازه­های نمونه­ای نسبتاً بزرگ ( 20   ) عملکرد رضایت­بخشی دارد در صورتیکه براساس جدول 4-1 نرخ خطای نوع اول آزمون GV مقادیر متفاوتی محاسبه می­شود. به ویژه برای اندازه­های نمونه­ای کوچک و مساوی نرخ خطای نوع اول این آزمون بزرگتر از 4/0 به دست می­آید. در این شرایط عملکرد آزمون PB به این صورت است که برای اندازه­های نمونه­ای کوچک و مساوی خطای نوع اول را کنترل کرده و در حالات دیگر تغییرات کمتری نسبت به دو آزمون دیگر دارد.در جدول 4-2 شبیه سازی مربوط به 3  برای 3 و 5 گروه انجام شده است. براساس این جدول آزمون PB تنها آزمونی است که خطای نوع اول نزدیک به 05/0 دارد. همچنین آزمون جانسن برای اندازه­های نمونه­ای نسبتاً بزرگ اما نزدیک به هم نرخ خطای نوع اول مناسبی دارد. در حالی که آزمون GV در این شرایط بدترین آزمون می­باشد.به منظور ارزیابی خطای نوع اول در بعدهای بالاتر، شبیه سازی را برای حالت 10  و 3  انجام و در جدول 4-3 نشان داده­ایم. همان طور که ملاحظه می­شود نتایج به دست آمده در این قسمت مانند نتایج جدول 4-2، به ویژه حالت 3 ، است و این یکسانی نتایج نشان می­دهد تعداد بردارهای میانگین که مقایسه می­شوند اهمیت دارند.بنابراین در نهایت می­توان آزمون PB را به عنوان آزمون بهینه از نظر نرخ خطای نوع اول معرفی کرد.

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل پنجم: مثال عددی و نتیجه­گیری..

5-1- مثال عددی…………………………………………………………………………… 62

5-2- نتیجه­گیری……………………………………………………………………………. 71

پیوست1: قضایای مورد نیاز………………………………………………………………… 73

پیوست 2: برنامه­نویسی………………………………………………………………….. 78

منابع و مراجع………………………………………………………………………………… 97

 

ABSTRACT

We consider the multivariate analysis of variance (MANOVA) problem of comparing the mean vectors of several multivariate normal populations, when the covariance matrices are not assumed to be known and equal. For this problem, classical methods (such as Hotelling ), which are based on the assumption of equality of covariance matrices,  can lead to misleading results. When the covariance matrices are unknown and unequal, Mathew, Gamage, and Weerahandi (2004) proposed a Generalized Variable (GV) approach for comparing the mean vectors of several multivariate normal populations. But their test does not adequately control Type I error rate; i.e., their test can be very liberal. In this thesis, we consider a test proposed by Krishnamoorthy and Lu (2010) using the parametric bootstrap approach. Our simulations show that this test effectively controls Type I error rate.

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان