چکیده

به سبب کاربردهای فراوان معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق در علومی چون فیزیک، مکانیک، نظریهکنترل، زیست شناسی، اقتصاد، نظریه راکتور های هسته ای و بسیاری از رشته های مهندسی و علوم طبیعی، تلاشمی کنیم تا این معادله را در این پایان نامه بررسی کنیم.

با استفاده از اندازه نافشرده و قضیه نقطه ثابت شادر، روی وجود جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان

مشتق به صورت

,+x(t) = f(t,x(H(t)),x(h(t))), t ∈Rبا شرط آغازی 0 =(0)x بحث می کنیم.

لازم به ذکر است که معادله ی فوق با تغییر متغیری مناسب می تواند با معادله ی انتگرال تابعی زیر

y(t) = f(t,y(s)ds,y(h(t))),          t R+ H(t)

0

جایگزین شود.

علاوه بر این، یک روش عددی بر پایه ی تقریب سینک و قضیه نقطه ثابت برای تقریب جواب معادله انتگرالبالا ارائه می کنیم. همچنین همگرایی و یکتایی جواب معادله ی مذکور را مورد بررسی قرار می دهیم.

معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتقی که در این پایان نامه بررسی می شود، نوعی معادله دیفرانسیلتاخیری است. بنابراین به منظور روشن کردن کاربرد این معادلات در دیگر علوم تعدادی مدل را مطرح می کنیم.

در انتهای این پایان نامه، برای نمایش نتایج تحلیلی، کارایی بالا و دقت روش ارائه شده تعدادی مثال مطرح وبررسی می شود.

کلمات کلیدی :    معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق، اندازه نافشرده، قضیه نقطه ثابت، تقریب سینک

فهرست مطالب

فهرست مطالب                                                                                                  ث

لیست تصاویر                                                                                                    ح

لیست جداول                                                                                                    خ

  • مقدمه ای بر نظریه معادلات انتگرال 1
    • تاریخچه معادلات انتگرال 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 دسته بندی معادلات انتگرال 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1          معادلات انتگرال ولترا 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1          معادلات انتگرال منفرد 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 معادلات انتگرال نامنفرد 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1          معادلات انتگرال پیچشی 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 هسته های خاص 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1      مسائل خوش خیم و بدخیم 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • تعاریف و مفاهیم اولیه 12

1.2 فضاهای نرم دار و عملگرها 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2         فضای باناخ 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2         عملگرها 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • اندازه نافشرده 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2          اندازه نافشرده در فضای باناخ 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2          اندازه نافشرده کاراتوسکی 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 اندازه نافشرده هاسدورف 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 برخی ویژگی های اندازه های نافشرده کاراتوسکی و هاسدورف 20 . . . . . . . . . .

5.2.2 مثال هایی مقدماتی از اندازه نافشرده 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2          اندازه نافشرده ضعیف 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2          اندازه نافشردهβ      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      25

3.2 کاربرد اندازه نافشرده در مطالعه ی پایداری مجانبی 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 قضایای نقطه ثابت 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • بررسی وجود جواب معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق 35

1.3       معرفی مدل مورد بررسی 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3       وجود جواب معادله 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • حل عددی معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق و همگرایی جواب آن 58

1.4        تقریب سینک رویΓ      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       60

2.4        درونیابی و کوادراتور رویΓ  .    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       64

3.4         پیاده سازی روش سینک برای حل معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق 70 . . . . . . .

4.4        یکتایی جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق و همگرایی آن 73 . . . . . . . . . .

  • کاربردهای معادلات دیفرانسیل تاخیری 75

1.5        مدل تاخیری خنثی 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5       مدل بیماری ایدز 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5         مدل اپیدمیSIRS  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       79

4.5        سیستم های لوتکا − ولترا با برداشت منطقه ای 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • محاسبات و نتایج عددی 84

مراجع                                                                                                           98

واژهنامه فارسی به انگلیسی                                                                              107

چ

لیست تصاویر

1.4        : نوار نامتناهیDd  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       61

2.4       ناحیهD  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       61

3.4         تبدیل ناحیهD  بهDd  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       62

4.4        شکل تبدیل ناحیه یD  به ناحیه یDd  تحت نگاشتϕ       .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       71

1.6               7y برای مثال 2……………………………….98

2.6             7E برای مثال 2………………………………98

3.6    (y3(t برای مثال 3……………………………..19

4.6           (E5(t برای مثال 3…………………………….19

5.6         جواب دقیق و عددی برای معادله انتگرال بدست آمده از مثال 4 بعد 4 تکرار 93 . . . . . . .

6.6        جواب عددی برای مثال 5 بعد 5 تکرار 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6         قدر مطلق تفاضل جواب دقیق و عددی برای مثال 5 بعد 5 تکرار 96 . . . . . . . . . . . . .

 

لیست جداول

1.6                                                                              نتایج عددی برای مثال 4…………………………..49

2.6                                                                              نتایج عددی برای مثال 5…………………………..79

مقدمه

یکی از مهم ترین مباحث در علم ریاضیات، معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال می باشد که از نظر کاربردیجایگاه خاصی را در علوم مختلف به خود اختصاص داده است. با توجه به این که حل تحلیلی دسته هایی از اینمعادلات مقدور نمی باشد و یا به آسانی حل نمی شوند، لذا برای بدست آوردن جواب برای این دسته از معادلاتاز روش های تقریبی استفاده می کنیم. در عصر ارتباطات روشی که در مدت زمان کمتر، تقریب بهتری (خطایکمتر) را برای این دسته از مسائل در برداشته باشد، دارای ارزش و اعتبار خواهد بود.

در این پایان نامه روی وجود، یکتایی و همگرایی جواب معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق بحثخواهیم کرد، همچنین روش تقریبی بر اساس تقریب سینک برای حل معادلات مذکور که به معادلات انتگرال غیرخطی تبدیل می شوند ارائه می کنیم. شایان ذکر است خطای تقریب سینک برای یک تقریبn  نقطه ای، همگرا

به (2/1O(ecn می شود (برایc  ثابت و مثبت.)

در فصل اول مقدمه ای بر نظریه معادلات انتگرال ارائه می کنیم.

در فصل دوم به معرفی فضاهای نرم دار چون فضای باناخ و عملگرها می پردازیم، سپس اندازه نافشرده که یکیاز مهم ترین ابزارهای اثبات قضایای وجود و یکتایی می باشد را روی فضای باناخ معرفی می کنیم و به بیانویژگی های آن می پردازیم، همچنین کاربردی از آن را در مطالعه ی پایداری مجانبی بیان می کنیم، در ادامهقضیه نقطه ثابت شادر را معرفی می کنیم که ابزار مناسبی در اثبات قضایای وجود و یکتایی به شمار می رود.

در فصل سوم با استفاده از اندازه نافشرده و قضیه نقطه ثابت شادر به بحث و بررسی روی جواب معادلاتدیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق تحت دو سری فرضیات متفاوت می پردازیم. لازم به ذکر است که این معادلاتدر علومی چون فیزیک، مکانیک، نظریه کنترل، زیست شناسی، نظریه راکتور های هسته ای و … کاربرد دارد.

در فصل چهارم به معرفی تقریب سینک می پردازیم و در نهایت این روش را برای حل معادلات انتگرال حاصل

د

شده از معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق بکار می گیریم و با ارائه یک روش تکراری برای به دست آوردننقطه ی ثابت، در مورد یکتایی و همگرایی جواب معادله مذکور بحث می کنیم.

در فصل پنجم به بیان برخی مدل های کاربردی از معادلات و سیستم معادلات دیفرانسیل تاخیری می پردازیم.قابل ذکر است معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتقی که در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد،نوعی از معادلات دیفرانسیل تاخیری است که در بسیاری از فرآیندهای زیستی از قبیل بررسی روی جمعیت جوامعزیستی ظاهر می شود.

در فصل ششم به بیان برخی مثال ها می پردازیم، همچنین برقراری شرایط را در مورد آن ها بررسی می کنیمو در نهایت به حل عددی آنها می پردازیم و نتایج را به کمک اشکال و جداول بیان می کنیم.

فصل1

مقدمه ای بر نظریه معادلات انتگرال

 

1.1  تاریخچه معادلات انتگرال

معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات با مشتقات جزئی به دلیل کاربردهای فراوان در علوم مهندسی از اهمیتویژه ای برخوردارند و به همین دلیل روشهای حل آنها مورد توجه دانشمندان مربوط بوده است. لیکن حل بخش

عمده ای از این معادلات منجر به معادلاتی می شود که در آن ها تابع مجهول در زیر علامت انتگرال ظاهر می شود.اولین بار در سال 1888 بویس ریموند[1] نام معادلات انتگرال را برای این نوع معادلات مطرح نمود، ولی عملاتاریخچه معادلات انتگرال اولیه به لاپلاس[2] در سال 1782 برمی گردد. وی اولین کسی بود که برای حل معادلاتدیفرانسیل، با معرفی معادله

بحث درباره نظریه معادلات انتگرال را آغاز کرد. به دنبال لاپلاس، فوریه[3] در معادلات خود به نوعی از این معادلاتبرخورد کرد و آبل[4] نیز در مسائل مکانیکی خود، با این نوع معادلات روبرو شد. در سال 1826 پواسن[5] در نظریهمغناطیس خود، انواع مختلف معادلات انتگرال را مورد بحث قرار داد.

در سال 1832 لیوویل[6] حل برخی از معادلات دیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال و بعد از وی در سال0781نیومن[7] با تبدیل مسئله دیریکله[8] به یک معادله انتگرالی از دیگر کسانی بودند که نقش موثری در تکامل نظریهمعادلات انتگرال داشتند. در سال 1896 پوانکاره[9] معادله انتگرالی را در رابطه با یک معادله دیفرانسیل جزئی مطرحکرد. در همان سال دانشمندی از ایتالیا به نام ولترا[10] برای اولین بار نظریه عمومی معادلات انتگرال را مطرح کرد.

صورت کلی معادلات ولترا به شکل زیر است:

در حدود سال های 1900 تا 1903 ریاضیدانی سوئدی به نام فردهلم [11] دسته ای از معادلات انتگرال خطی بهصورت:

که حالت خاصی از معادلات ولترا می باشد را مطرح کرد و کار وی را تکمیل نمود.

در ادامه هیلبرت[12] نیز تحقیقاتی در مورد معادلات انتگرال انجام داد و مسائل معادلات دیفرانسیل را به صورتمعادلات انتگرال تنظیم نمود.

معادلات انتگرال در علومی چون فیزیک-مکانیک، ارتباطات، پتروشیمی، ساختمان و پل سازی، اشعه لیزر،نیروگاه های هسته ای، راکتورها و نیز نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی کاربردهای فراوان دارد.

به طور کلی یک معادله انتگرال، معادله ای است که در آن یک تابع مجهول تحت یک یا بیشتر از یک علامتانتگرال ظاهر می شود. به طور طبیعی چنین معادلاتی می توانند به صورت های مختلف ظاهر شوند. به طور مثال(1.1)

(2.1)

(3.1)

حالات مختلف معادلات انتگرالی هستند که در آن ها (f(s تابع مجهول و بقیه توابع، توابعی معلوم می باشند. تابعدو متغیرهk  را هسته ی معادله انتگرال می نامیم وk  می تواند حقیقی یا مختلط باشد وλ  می تواند حقیقی یامختلط باشد.

این معادلات به عنوان یک فرمول برای حل معادلات دیفرانسیل به کار می روند. در حقیقت یک معادلهدیفرانسیل می تواند با یک معادله انتگرال که شرایط مرزی را تلفیق می کند تعویض شود، به طوری که جوابمعادله انتگرال به طور اتوماتیک در شرایط مرزی صدق می کند.

یک معادله انتگرال، خطی است اگر تنها عملگرهای خطی بر روی تابع مجهول آن اعمال شود.

معادلات (1.1) و (1.2) خطی اند در حالی که معادله (1.3) غیر خطی است. در واقع معادلات (1.1) و )2.1(

می توانند به صورت (L[f(s)] = g(s نوشته شوند کهL  یک عملگر انتگرالی مناسب است. پس برای هر مقدارثابت 1c و 2c داریم:

L[c1f1(s) + c2f2(s)] = c1L[f1(s)] + c2L[f2(s)],

که این یک ضابطه کلی برای عملگرهای خطی است.

عمومی ترین نوع معادلات انتگرال خطی به صورت زیر است:

(4.1)

که حد بالایی انتگرال ممکن است ثابت یا متغیر باشد. توابعg  وh  وk  توابعی معلوم هستند.λ  یک پارامتر حقیقییا مختلط غیر صفر است. تابعf  تابع مجهول مسئله است.

2.1  دسته بندی معادلات انتگرال

معادلات انتگرال را به دسته های زیر تقسیم می کنیم:

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم

در تمام این معادلات، انتگرال گیری بر بازه [a,b] انجام می شود، یعنی حدود بالایی و پایینی انتگرال به ترتیبa وb  می باشد و باید در نظر داشت کهb  ثابت است و شکل کلی آن به صورت زیر است:

(5.1)

که به آن معادله انتگرال فردهلم نوع سوم می گوییم.

اما اگر 0 =(h(s باشد در این صورت معادله انتگرال فردهلم نوع اول را داریم:

(6.1)

اگر 1 =(h(s باشد در این صورت معادله انتگرال فردهلم نوع دوم را داریم:

(7.1)

و اگر 1 =(h(s و 0 =(g(s باشد، معادله انتگرال فردهلم همگن را خواهیم داشت:

(8.1)

2.2.1  معادلات انتگرال ولترا

در این گروه از معادلات، انتگرال گیری بر بازه [a,s] انجام می شود. به عبارتی حد بالای انتگرال به جای مقدارثابتb ، متغیرs  است .

صورت کلی معادلات انتگرال ولترای نوع اول و دوم و سوم و همگن مانند بالا تعریف می شود با این تفاوت که بهجای حد بالایb ، متغیرs  را خواهیم داشت، یعنی:

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از بررسی جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید