چکیده

به سبب کاربردهاي فراوان معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق در علومی چون فیزیک، مکانیک، نظریهکنترل، زیست شناسی، اقتصاد، نظریه راکتور هاي هسته اي و بسیاري از رشته هاي مهندسی و علوم طبیعی، تلاشمی کنیم تا این معادله را در این پایان نامه بررسی کنیم.

با استفاده از اندازه نافشرده و قضیه نقطه ثابت شادر، روي وجود جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان

مشتق به صورت

,+x(t) = f(t,x(H(t)),x(h(t))), t ∈Rبا شرط آغازي 0 =(0)x بحث می کنیم.

لازم به ذکر است که معادله ي فوق با تغییر متغیري مناسب می تواند با معادله ي انتگرال تابعی زیر

y(t) = f(t,y(s)ds,y(h(t))),          t R+ H(t)

0

جایگزین شود.

علاوه بر این، یک روش عددي بر پایه ي تقریب سینک و قضیه نقطه ثابت براي تقریب جواب معادله انتگرالبالا ارائه می کنیم. همچنین همگرایی و یکتایی جواب معادله ي مذکور را مورد بررسی قرار می دهیم.

معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتقی که در این پایان نامه بررسی می شود، نوعی معادله دیفرانسیلتاخیري است. بنابراین به منظور روشن کردن کاربرد این معادلات در دیگر علوم تعدادي مدل را مطرح می کنیم.

در انتهاي این پایان نامه، براي نمایش نتایج تحلیلی، کارایی بالا و دقت روش ارائه شده تعدادي مثال مطرح وبررسی می شود.

کلمات کلیدي :    معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق، اندازه نافشرده، قضیه نقطه ثابت، تقریب سینک

فهرست مطالب

فهرست مطالب                                                                                                  ث

لیست تصاویر                                                                                                    ح

لیست جداول                                                                                                    خ

  • مقدمه اي بر نظریه معادلات انتگرال 1
    • تاریخچه معادلات انتگرال 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 دسته بندي معادلات انتگرال 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1          معادلات انتگرال ولترا 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1          معادلات انتگرال منفرد 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 معادلات انتگرال نامنفرد 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1          معادلات انتگرال پیچشی 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 هسته هاي خاص 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1      مسائل خوش خیم و بدخیم 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • تعاریف و مفاهیم اولیه 12

1.2 فضاهاي نرم دار و عملگرها 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2         فضاي باناخ 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2         عملگرها 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • اندازه نافشرده 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2          اندازه نافشرده در فضاي باناخ 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2          اندازه نافشرده کاراتوسکی 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 اندازه نافشرده هاسدورف 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 برخی ویژگی هاي اندازه هاي نافشرده کاراتوسکی و هاسدورف 20 . . . . . . . . . .

5.2.2 مثال هایی مقدماتی از اندازه نافشرده 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2          اندازه نافشرده ضعیف 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2          اندازه نافشردهβ      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      25

3.2 کاربرد اندازه نافشرده در مطالعه ي پایداري مجانبی 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 قضایاي نقطه ثابت 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • بررسی وجود جواب معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق 35

1.3       معرفی مدل مورد بررسی 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3       وجود جواب معادله 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • حل عددي معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق و همگرایی جواب آن 58

1.4        تقریب سینک رويΓ      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       60

2.4        درونیابی و کوادراتور رويΓ  .    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       64

3.4         پیاده سازي روش سینک براي حل معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق 70 . . . . . . .

4.4        یکتایی جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق و همگرایی آن 73 . . . . . . . . . .

  • کاربردهاي معادلات دیفرانسیل تاخیري 75

1.5        مدل تاخیري خنثی 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5       مدل بیماري ایدز 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5         مدل اپیدمیSIRS  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       79

4.5        سیستم هاي لوتکا − ولترا با برداشت منطقه اي 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • محاسبات و نتایج عددي 84

مراجع                                                                                                           98

واژهنامه فارسی به انگلیسی                                                                              107

چ

لیست تصاویر

1.4        : نوار نامتناهیDd  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       61

2.4       ناحیهD  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       61

3.4         تبدیل ناحیهD  بهDd  .     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       62

4.4        شکل تبدیل ناحیه يD  به ناحیه يDd  تحت نگاشتϕ       .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       71

1.6               7y براي مثال 2……………………………….98

2.6             7E براي مثال 2………………………………98

3.6    (y3(t براي مثال 3……………………………..19

4.6           (E5(t براي مثال 3…………………………….19

5.6         جواب دقیق و عددي براي معادله انتگرال بدست آمده از مثال 4 بعد 4 تکرار 93 . . . . . . .

6.6        جواب عددي براي مثال 5 بعد 5 تکرار 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6         قدر مطلق تفاضل جواب دقیق و عددي براي مثال 5 بعد 5 تکرار 96 . . . . . . . . . . . . .

 

لیست جداول

1.6                                                                              نتایج عددي براي مثال 4…………………………..49

2.6                                                                              نتایج عددي براي مثال 5…………………………..79

مقدمه

یکی از مهم ترین مباحث در علم ریاضیات، معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال می باشد که از نظر کاربرديجایگاه خاصی را در علوم مختلف به خود اختصاص داده است. با توجه به این که حل تحلیلی دسته هایی از اینمعادلات مقدور نمی باشد و یا به آسانی حل نمی شوند، لذا براي بدست آوردن جواب براي این دسته از معادلاتاز روش هاي تقریبی استفاده می کنیم. در عصر ارتباطات روشی که در مدت زمان کمتر، تقریب بهتري (خطايکمتر) را براي این دسته از مسائل در برداشته باشد، داراي ارزش و اعتبار خواهد بود.

در این پایان نامه روي وجود، یکتایی و همگرایی جواب معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق بحثخواهیم کرد، همچنین روش تقریبی بر اساس تقریب سینک براي حل معادلات مذکور که به معادلات انتگرال غیرخطی تبدیل می شوند ارائه می کنیم. شایان ذکر است خطاي تقریب سینک براي یک تقریبn  نقطه اي، همگرا

به (2/1O(ecn می شود (برايc  ثابت و مثبت.)

در فصل اول مقدمه اي بر نظریه معادلات انتگرال ارائه می کنیم.

در فصل دوم به معرفی فضاهاي نرم دار چون فضاي باناخ و عملگرها می پردازیم، سپس اندازه نافشرده که یکیاز مهم ترین ابزارهاي اثبات قضایاي وجود و یکتایی می باشد را روي فضاي باناخ معرفی می کنیم و به بیانویژگی هاي آن می پردازیم، همچنین کاربردي از آن را در مطالعه ي پایداري مجانبی بیان می کنیم، در ادامهقضیه نقطه ثابت شادر را معرفی می کنیم که ابزار مناسبی در اثبات قضایاي وجود و یکتایی به شمار می رود.

در فصل سوم با استفاده از اندازه نافشرده و قضیه نقطه ثابت شادر به بحث و بررسی روي جواب معادلاتدیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق تحت دو سري فرضیات متفاوت می پردازیم. لازم به ذکر است که این معادلاتدر علومی چون فیزیک، مکانیک، نظریه کنترل، زیست شناسی، نظریه راکتور هاي هسته اي و … کاربرد دارد.

در فصل چهارم به معرفی تقریب سینک می پردازیم و در نهایت این روش را براي حل معادلات انتگرال حاصل

د

شده از معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق بکار می گیریم و با ارائه یک روش تکراري براي به دست آوردننقطه ي ثابت، در مورد یکتایی و همگرایی جواب معادله مذکور بحث می کنیم.

در فصل پنجم به بیان برخی مدل هاي کاربردي از معادلات و سیستم معادلات دیفرانسیل تاخیري می پردازیم.قابل ذکر است معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتقی که در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد،نوعی از معادلات دیفرانسیل تاخیري است که در بسیاري از فرآیندهاي زیستی از قبیل بررسی روي جمعیت جوامعزیستی ظاهر می شود.

در فصل ششم به بیان برخی مثال ها می پردازیم، همچنین برقراري شرایط را در مورد آن ها بررسی می کنیمو در نهایت به حل عددي آنها می پردازیم و نتایج را به کمک اشکال و جداول بیان می کنیم.

فصل1

مقدمه اي بر نظریه معادلات انتگرال

 

1.1  تاریخچه معادلات انتگرال

معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات با مشتقات جزئی به دلیل کاربردهاي فراوان در علوم مهندسی از اهمیتویژه اي برخوردارند و به همین دلیل روشهاي حل آنها مورد توجه دانشمندان مربوط بوده است. لیکن حل بخش

عمده اي از این معادلات منجر به معادلاتی می شود که در آن ها تابع مجهول در زیر علامت انتگرال ظاهر می شود.اولین بار در سال 1888 بویس ریموند[1] نام معادلات انتگرال را براي این نوع معادلات مطرح نمود، ولی عملاتاریخچه معادلات انتگرال اولیه به لاپلاس[2] در سال 1782 برمی گردد. وي اولین کسی بود که براي حل معادلاتدیفرانسیل، با معرفی معادله

بحث درباره نظریه معادلات انتگرال را آغاز کرد. به دنبال لاپلاس، فوریه[3] در معادلات خود به نوعی از این معادلاتبرخورد کرد و آبل[4] نیز در مسائل مکانیکی خود، با این نوع معادلات روبرو شد. در سال 1826 پواسن[5] در نظریهمغناطیس خود، انواع مختلف معادلات انتگرال را مورد بحث قرار داد.

در سال 1832 لیوویل[6] حل برخی از معادلات دیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال و بعد از وي در سال0781نیومن[7] با تبدیل مسئله دیریکله[8] به یک معادله انتگرالی از دیگر کسانی بودند که نقش موثري در تکامل نظریهمعادلات انتگرال داشتند. در سال 1896 پوانکاره[9] معادله انتگرالی را در رابطه با یک معادله دیفرانسیل جزئی مطرحکرد. در همان سال دانشمندي از ایتالیا به نام ولترا[10] براي اولین بار نظریه عمومی معادلات انتگرال را مطرح کرد.

صورت کلی معادلات ولترا به شکل زیر است:

در حدود سال هاي 1900 تا 1903 ریاضیدانی سوئدي به نام فردهلم [11] دسته اي از معادلات انتگرال خطی بهصورت:

که حالت خاصی از معادلات ولترا می باشد را مطرح کرد و کار وي را تکمیل نمود.

در ادامه هیلبرت[12] نیز تحقیقاتی در مورد معادلات انتگرال انجام داد و مسائل معادلات دیفرانسیل را به صورتمعادلات انتگرال تنظیم نمود.

معادلات انتگرال در علومی چون فیزیک-مکانیک، ارتباطات، پتروشیمی، ساختمان و پل سازي، اشعه لیزر،نیروگاه هاي هسته اي، راکتورها و نیز نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی کاربردهاي فراوان دارد.

به طور کلی یک معادله انتگرال، معادله اي است که در آن یک تابع مجهول تحت یک یا بیشتر از یک علامتانتگرال ظاهر می شود. به طور طبیعی چنین معادلاتی می توانند به صورت هاي مختلف ظاهر شوند. به طور مثال(1.1)

(2.1)

(3.1)

حالات مختلف معادلات انتگرالی هستند که در آن ها (f(s تابع مجهول و بقیه توابع، توابعی معلوم می باشند. تابعدو متغیرهk  را هسته ي معادله انتگرال می نامیم وk  می تواند حقیقی یا مختلط باشد وλ  می تواند حقیقی یامختلط باشد.

این معادلات به عنوان یک فرمول براي حل معادلات دیفرانسیل به کار می روند. در حقیقت یک معادلهدیفرانسیل می تواند با یک معادله انتگرال که شرایط مرزي را تلفیق می کند تعویض شود، به طوري که جوابمعادله انتگرال به طور اتوماتیک در شرایط مرزي صدق می کند.

یک معادله انتگرال، خطی است اگر تنها عملگرهاي خطی بر روي تابع مجهول آن اعمال شود.

معادلات (1.1) و (1.2) خطی اند در حالی که معادله (1.3) غیر خطی است. در واقع معادلات (1.1) و )2.1(

می توانند به صورت (L[f(s)] = g(s نوشته شوند کهL  یک عملگر انتگرالی مناسب است. پس براي هر مقدارثابت 1c و 2c داریم:

L[c1f1(s) + c2f2(s)] = c1L[f1(s)] + c2L[f2(s)],

که این یک ضابطه کلی براي عملگرهاي خطی است.

عمومی ترین نوع معادلات انتگرال خطی به صورت زیر است:

(4.1)

که حد بالایی انتگرال ممکن است ثابت یا متغیر باشد. توابعg  وh  وk  توابعی معلوم هستند.λ  یک پارامتر حقیقییا مختلط غیر صفر است. تابعf  تابع مجهول مسئله است.

2.1  دسته بندي معادلات انتگرال

معادلات انتگرال را به دسته هاي زیر تقسیم می کنیم:

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم

در تمام این معادلات، انتگرال گیري بر بازه [a,b] انجام می شود، یعنی حدود بالایی و پایینی انتگرال به ترتیبa وb  می باشد و باید در نظر داشت کهb  ثابت است و شکل کلی آن به صورت زیر است:

(5.1)

که به آن معادله انتگرال فردهلم نوع سوم می گوییم.

اما اگر 0 =(h(s باشد در این صورت معادله انتگرال فردهلم نوع اول را داریم:

(6.1)

اگر 1 =(h(s باشد در این صورت معادله انتگرال فردهلم نوع دوم را داریم:

(7.1)

و اگر 1 =(h(s و 0 =(g(s باشد، معادله انتگرال فردهلم همگن را خواهیم داشت:

(8.1)

2.2.1  معادلات انتگرال ولترا

در این گروه از معادلات، انتگرال گیري بر بازه [a,s] انجام می شود. به عبارتی حد بالاي انتگرال به جاي مقدارثابتb ، متغیرs  است .

صورت کلی معادلات انتگرال ولتراي نوع اول و دوم و سوم و همگن مانند بالا تعریف می شود با این تفاوت که بهجاي حد بالايb ، متغیرs  را خواهیم داشت، یعنی:

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از بررسی جواب معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید