فهرست مطالب

فصل 1: مقدمه………………………………………………..1

در سراسر این پایان‌نامه، تمامی حلقه ها شرکت‌پذیر هستند و عنصر همانی دارند و تمامی مدول‌ها یکانی راست هستند، مگر اینکه غیر از آن بیان شود.یک – مدول راست  اول نامیده می شود هرگاه  ، و  برای هر زیرمدول غیر صفر  از .منظور از زیرمدول اول از – مدول راست ، زیرمدولی مانند  است به طوری که  اول باشد.مدول‌های اول و زیرمدول‌های اول مدول‌ها در سی سال اخیر به طور فراوان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. مطالعه مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم مدول‌ها موضوع جدیدتری است. حال به مفهوم دوگان مدول اول، یعنی مدول‌ دوم می‌پردازیم.یک – مدول راست ، دوم نامیده می شود هرگاه  و  برای هر زیرمدول محض  از . توجه شود که در بعضی موارد، مدول دوم را هم‌اول نیز می‌نامند.همچنین دوگان زیرمدول اول، یعنی زیرمدول دوم را تعریف می‌کنیم.منظور از زیرمدول دوم یک مدول، زیرمدولی است که خود، مدول دوم باشد.

مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم، اولین بار توسط دکتر یاسمی روی حلقه‌های جابجایی در منبع  در سال 2001 معرفی شده است.فرض کنید یک حلقه جابجایی و  یک  مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود. به سادگی می‌توان دید که  اول است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم  یا اینکه  یک تکریختی باشد. به عبارت دیگر ، اول است اگر و تنها اگر برای هر  در حلقه و به ازای هر  عضو ، اگر داشته باشیم آنگاه  یا .همچنین به سادگی می‌توان مشاهده کرد – مدول  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  داشته باشیم  یا  یک بروریختی  باشد.به بیان دیگر،  دوم است اگر و تنها اگر برای هر   عضو ،  یا .هدف از این پایان‌نامه، مطالعه مدول‌های دوم در سایه مدول‌های اول است.

توجه داشته باشید اگر یک حلقه و  یک – مدول راست دوم باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول است. در این حالت برای راحتی کار  را یک مدول – دوم می خوانیم.توجه داشته باشید که مدول‌های ساده، اول و دوم هستند. در حالت کلی تر،  ما مدول  را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد. به سادگی می‌توان دید که مدول‌های نیم ساده همگن، اول و دوم هستند.علاوه بر آن، اگر یک حلقه ساده باشد آنگاه هر مدول غیر صفر روی  اول و دوم است. بالعکس، هر حلقه که خودش – مدول راست دوم باشد، ساده است. به وضوح، هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.همچنین هر تصویر همریخت غیر صفر از یک مدول دوم، دوم است.در این پایان‌نامه مثال های بیشتری آورده شده است.

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل 2: تعاریف و قضایای پیش‌نی……………………….. 4

یادآوری2-1: فرض کنید – مدول راست  داده شده است. پوچ‌ساز  در  را با   نشان می‌دهیم، به عبارت دیگر  مجموعه تمام عنصرهای  در  است به طوری که . توجه کنید که  یک ایده‌آل از حلقه  است.یادآوری2-2: اگر  یک حلقه جابجایی و یکدار باشد و یک ایده‌آل ماکسیمال آن باشد، آنگاه  میدان است.یادآوری2-3: اگر  یک میدان و یک – مدول باشد،  را یک فضای برداری روی  می‌نامند، در این حالت برای یک مجموعه اندیس‌گذار .یادآوری2-4: هر میدان، یک مدول ساده روی خودش است.قضیه2-5: اگر  یک – مدول نیم‌ساده باشد به طوری که ، که  ها ساده هستند، آنگاه اگر  یک دنباله دقیق – مدولی باشد. آنگاه  وجود دارد به طوری که  و .اثبات: برای اثبات به ]4، قضیه 9.4[ مراجعه شود.بنابر قضیه فوق اگر   یک مدول نیم‌ساده و  زیر مدولی از  باشد، آنگاه  و .قضیه2-6: فرض کنید یک حلقه جابجایی و  یک – مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود. در این صورت  اول است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم  یا اینکه  یک تکریختی باشد.    اثبات: فرض کنید  اول باشد و  تکریختی نباشد یعنی  فرض کنیم  آنگاه داریم  درنتیجه  زیرا  مدول اول است. در نتیجه داریم  و لذا . بالعکس، فرض کنید  به سادگی دیده می‌شود که همواره . حال فرض کنید . آنگاه داریم  در نتیجه  از آنجایی که ، پس  تکریختی نیست و در نتیجه بنابر فرض . بنابراین . درنتیجه داریم ، و این به معنی اول بودن می‌باشد.    به عبارت دیگر مدول غیر صفر ، روی حلقه جابجایی ، اول است اگر و تنها اگر برای هر  عضو حلقه و به ازای هر  عضو ، اگر داشته باشیم آنگاه  یا .قضیه2-7: فرض کنید  یک حلقه جابجایی و  یک – مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود. در این صورت، مدول  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  داشته باشیم  یا  یک بروریختی باشد.اثبات: فرض کنید  دوم باشد و  بروریختی نباشد، بنابراین  که  زیرمدولی محض از مدول  می‌باشد. لذا ، بنابراین . در نتیجه .بالعکس، فرض کنید  زیرمدولی محض از  باشد، اگر  آنگاه  و در نتیجه  بروریختی نیست. لذا بنا به فرض  در نتیجه . لذا داریم بنابراین .و در نتیجه  دوم است.به عبارت دیگر، مدول غیر صفر  روی حلقه جابجایی دوم است اگر و تنها اگر برای هر  عضو ،  یا .قضیه2-8: اگر یک حلقه و  یک – مدول اول باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول  است.اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های  و از حلقه داشته باشیم ، آنگاه . اگر ، آنگاه از اول بودن مدول  نتیجه می‌شود . بنابراین از  نتیجه می‌شود    .لذا داریم  و در نتیجه . اگر ، آنگاه . بنابراین قضیه اثبات می‌شود. قضیه2-9: اگر یک حلقه و  یک – مدول دوم باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول است.اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های  و  از حلقه  داشته باشیم ، آنگاه . اگر ، آنگاه از دوم بودن مدول  نتیجه می‌شود .بنابراین از ، نتیجه می‌شود . در نتیجه . حال اگر ، آنگاه . در نتیجه .  فرض کنید  یک مدول دوم و . در این صورت  را یک مدول – دوم گویند.  قضیه2-10: هر مدول ساده، اول و دوم است.اثبات: فرض کنید  یک – مدول ساده باشد. بنابراین تنها زیرمدول غیر صفر آن  می‌باشد. بنابراین  اول است. از طرفی تنها زیرمدول محض  زیرمدول صفر می‌باشد، بنابراین به‌وضوح داریم . در نتیجه  دوم است.  تعریف2-11: مدول  را نیم‌ساده گویند هرگاه  برابر حاصل‌جمع زیرمدول‌های ساده خود باشد. در این صورت خانواده  از زیرمدول‌های ساده  موجود است. به قسمی که .تعریف2-12: فرض کنید  یک حلقه باشد. در این صورت  را یک حلقه نیم‌ساده گویند اگر به عنوان – مدول راست (به طور معادل چپ)، یک مدول نیم‌ساده باشد. یادآوری می‌کنیم مدول  را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد.  قضیه2-13: هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است.اثبات: فرض کنید  یک – مدول نیم‌ساده همگن باشد. بنابراین می‌توان فرض کرد ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار  و زیرمدول‌های ساده یکریخت  از . حال اگر ، زیرمدول غیر صفری از  باشد بنابر قضیه 2-5 داریم ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار . حال اگر  و ، از آنجایی که تمامی  ها یکریخت هستند داریم بنابراین  اول است.حال اگر ، زیرمدولی محض از  باشد. داریم ، برای یک مجموعه اندیس گذار . با تکرار روند فوق می‌توانیم نتیجه بگیریم  لذا  دوم است.حلقه  را یک حلقه ساده گویند، هرگاه ایده‌آل دوطرفه غیر بدیهی نداشته باشد.قضیه2-14: اگر یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر مدول غیر صفر روی ، اول و دوم است.اثبات: فرض کنید  یک – مدول راست و  زیرمدول غیر صفر از  باشد. از آنجایی که  یکدار است داریم ، و همچنین . از طرفی  ساده است و پوچ‌سازها ایده‌آل  هستند، بنابراین . در نتیجه  اول است.حال اگر  زیرمدول محض  باشد،  یک مدول غیر صفر می‌باشد. حال مشابه روند اثبات فوق می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین  دوم است.قضیه2-15: فرض کنید یک حلقه باشد. اگر  به عنوان – مدول راست، مدولی دوم باشد آنگاه  یک حلقه ساده است.اثبات: فرض کنید ، ایده‌آل محض  باشد. به‌وضوح ، از طرفی از آنجایی که حلقه یکدار است می‌توان نتیجه گرفت . حال از دوم بودن – مدول داریم ، بنابراین . در نتیجه . پس  به عنوان – مدول، ساده است.             قضیه2-16: هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.اثبات: فرض کنید یک – مدول اول و  زیرمدول غیر صفر از باشد. حال اگر  زیرمدول غیر صفر  باشد،  زیرمدول  نیز است. بنابر اول بودن  داریم . لذا  اول است.  در این صورت  نیز ایده‌آلی از حلقه  می‌شود. حال ثابت می‌کنیم که .واضح است که ، زیرا اگر ، آنگاه  و . در نتیجه  و ، پس داریم . حال فرض می‌کنیم . پس  و  و با توجه به تعاریف  و  داریم  که این هم نتیجه می‌دهد .اثبات قسمت برگشت بدیهی است. حال فرض کنید یک حلقه نیم‌موضعی باشد، بنابراین  یک حلقه نیم ساده می‌باشد. حال بنابر قضیه ودربرن- آرتین  یکریخت با حاصل‌جمع مستقیم تعداد متناهی حلقه آرتینی ساده است. لذا  بنابر لم قبل  تعداد متناهی ایده‌آل دارد. از طرفی رادیکال جیکوبسن  برابر با اشتراک تمام ایده‌آل‌های اولیه راست است. بنابراین اگر  ایده‌آل راست اولیه حلقه  باشد، داریم .بنابراین  ایده‌آل حلقه  است. از آنجایی که  تعداد متناهی ایده‌آل دارد، بنابراین  تعداد متناهی ایده‌آل اولیه راست دارد.

تعریف2-53: فرض کنید  یک حلقه و  زیرمجموعه  باشد. آنگاه  را – پوچ‌توان راست گویند هرگاه برای هر دنباله  از عناصر ، عدد صحیح مثبتی مانند  وجود داشته باشد به طوری که .بوضوح هر مجموعه پوچ توان، – پوچ‌توان است.لم2-54: فرض کنید  یک حلقه و  ایده‌آل راست آن باشد، آنگاه گزاره‌های زیر معادلند:  ایده‌آل – پوچ‌توان راست است. برای هر – مدول راست غیر صفر  داریم .اثبات: برای مشاهده اثبات به ]4، لم 28.3[ مراجعه کنید.

فصل 3: مدول‌های نیم‌ساده و مدول‌های .…………… 19

در فصل دوم دیدیم که مدول‌های نیم‌ساده همگن، دوم هستند. در این فصل به بررسی شرایطی می‌پردازیم که عکس این گزاره برقرار باشد. یعنی مدول‌های دوم، نیم‌ساده همگن باشند.لم3-1: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که هر ایده‌آل اول آن ماکسیمال است. آنگاه یک – مدول راست  اول است اگر و تنها اگر دوم باشد. علاوه بر آن، اگر  یک حلقه جابجایی باشد آنگاه مدول  دوم است اگر و تنها اگر  یک مدول نیم ساده همگن باشد.اثبات:  ابتدا فرض کنید  اول است. آنگاه  و  ایده‌آل  اول حلقه می‌باشد، لذا بنابر فرض، ایده‌آل  ماکسیمال است. فرض کنید  یک زیرمدول محض دلخواه از  باشد، آنگاه داریم  و در نتیجه . اما ماکسیمال بودن ایده‌آل  نتیجه می‌دهد که  و در نتیجه  یک مدول دوم است. حال فرض کنید  یک مدول دوم است. آنگاه  یک ایده‌آل اول و در نتیجه یک ایده‌آل ماکسیمال در  است. اگر  زیرمدولی غیر صفر از  باشد، داریم  و درنتیجه . از آنجایی که  ماکسیمال است، . بنابراین  یک مدول اول است.حال برای اثبات قسمت آخر فرض کنید  یک حلقه جابجایی باشد و  یک – مدول دوم باشد. آنگاه  یک ایده‌آل اول حلقه  و در نتیجه ماکسیمال است. داریم  و لذا  یک – مدول است. از آنجایی که  میدان است،  یک فضای برداری روی  می‌باشد.در نتیجه  برای یک مجموعه اندیس گذار . در نتیجه  نیم ساده همگن است. عکس این گزاره را در فصل دوم اثبات کرده ایم.حال سوال این است که تحت چه شرایطی مدول دوم، نیم‌ساده همگن است.نتیجه3-2: فرض کنید  یک حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی باشد. آنگاه یک – مدول راست غیر صفر  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر  یک  مدول نیم ساده همگن باشد.اثبات: بنابر2-22 در حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی هر ایده آل اول، ماکسیمال است. حال با توجه به لم قبلی، نتیجه برقرار است.لم3-3: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایده‌آل اولیه راست ، حلقه  آرتینی راست باشد. آنگاه گزاره های زیر برای یک – مدول راست  معادلند:

         یک مدول اول است که شامل یک زیرمدول ساده است،

        یک مدول دوم است که شامل یک زیرمدول ماکسیمال است،

        یک مدول نیم ساده همگن است.

اثبات: : فرض کنید  یک زیرمدول ساده از مدول اول  باشد. اگر ، آنگاه  ایده‌آل اولیه راست از  است، و بنابراین ،یک حلقه اولیه راست و آرتینی راست است. حال از آنجایی که  اول است داریم  و در نتیجه ، پس  یک – مدول می‌باشد. از آنجایی که  یک حلقه آرتینی راست و اولیه راست است، بنابر]14، قضیه 11.7[، هر حلقه اولیه آرتینی، نیم‌ساده است. بنابراین  یک حلقه نیم‌ساده می‌باشد. بنابر ]4[ می‌دانیم هر مدول روی یک حلقه نیم‌ساده، نیم‌ساده است. بنابراین  یک – مدول نیم‌ساده است. ضمناً  حلقه‌ای ساده می‌باشد، و لذا دقیقاً یک – مدول ساده موجود است.لذا  یک – مدول نیم‌ساده همگن است، و در نتیجه  نیم‌ساده همگن است.: فرض کنید  زیرمدول ماکسیمال از مدول دوم باشد. اگر ، آنگاه از آنجایی که  ساده است،  ایده‌آل اولیه از  است. حال بنابر دوم بودن مدول و تکرار روند فوق، قضیه اثبات می‌شود.   و : قبلاً ثابت کردیم هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است. بوضوح هر مدول نیم ساده همگن شامل زیرمدول ماکسیمال و زیرمدول ساده می‌باشد.   نتیجه3-4: فرض کنید  یک حلقه کامل راست باشد. آنگاه یک – مدول راست  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر  یک مدول نیم‌ساده همگن باشد.اثبات: قسمت برگشت واضح است. برای اثبات قسمت رفت، فرض کنید  یک مدول دوم باشد. آنگاه  غیر صفر است و بنابر قضیه باس  دارای زیرمدول ماکسیمال است. از طرفی دوباره بنابر قضیه باس در حلقه کامل راست،  نیم‌ساده می‌شود. همچنین  برابر اشتراک تمام ایده‌آل های اولیه است و بنابراین به ازای هر ایده‌آل اولیه  داریم ، و در نتیجه  . حال از آنجایی که نیم‌ساده است و هر خارج قسمت یک مدول نیم ساده، نیم‌ساده است. بنابراین نیز نیم ‌ساده است. در نتیجه  آرتینی راست است. حال بنابر لم قبل،  نیم‌ساده همگن است.

فصل 4: مدول‌های دوم و حلقه ………………………….. 23

در این فصل، ما به بررسی معادل‌هایی برای مدول‌های دوم می‌پردازیم. توجه کنید در این فصل،  یک حلقه و  یک – مدول راست است.لم4-1 : فرض کنید  یک حلقه دلخواه باشد. برای یک – مدول غیر صفر   گزاره‌های زیر معادلند:   یک مدول دوم است،  برای هر ایده‌آل  از  داریم  یا  ،  برای هر ایده‌آل  از  که زیر مجموعه  نباشد، ،

 برای هر ایده‌آل  از   که به طور محض شامل  است، .اثبات : فرض کنید  ایده‌آلی از حلقه  باشد، به طوری که . بنابراین  زیرمدولی محض از  است. همچنین  و از آنجایی که  دوم است لذا . در نتیجه .اثبات‌های  و  واضح است.: فرض کنید  زیرمدولی محض از – مدول  باشد، و . آنگاه به‌وضوح  و از طرفی ، بنابراین طبق  داریم .  بنابراین . لذا  یک – مدول دوم است.ال به این موضوع می‌پردازیم که اگر زیر مدول و مدول خارج قسمت یک مدول دوم باشد، تحت چه شرایطی مدول اصلی، دوم است.نتیجه4-2: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه ، و  یک زیرمدول از – مدول  باشد به طوری که مدول‌های  و  هر دو – دوم باشند. آنگاه  یک مدول – دوم است اگر و تنها اگر .اثبات: قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید . حال فرض کنید  ایده‌آلی دلخواه از حلقه باشد. اگر ، آنگاه . فرض کنید . بنا بر لم 4-1،  و .بنابراینحال بنابر لم4-1،  دوم است.در قضیه زیر مشاهده می‌کنیم که در شرایط خاص، زیرمدول یک مدول دوم، دوم است.نتیجه4-3: فرض کنید  یک حلقه و برای یک ایده‌آل اول  از ،  یک – مدول – دوم باشد. آنگاه هر زیرمدول خالص غیر صفر از  یک مدول – دوم است.اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول خالص غیرصفر از  باشد. از آنجایی که ، داریم . حال اگر  ایده‌آل حلقه  باشد که . آنگاه  بنابراین . حال بنابر لم 4-1،  مدول – دوم است.نتیجه4-4: فرض کنید  یک ایده‌آل از حلقه  و  یک – مدول باشد به طوری که . آنگاه – مدول  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر – مدول  یک مدول دوم باشد.اثبات: فرض کنید – مدول  دوم است. آنگاه . از آنجایی که ، میتوان  را به عنوان یک – مدول در نظر گرفت. فرض کنید  یک ایده‌آل از حلقه  باشد به طوری که . آنگاه . بنابر دوم بودن – مدول  و لم4-1،  یا . در نتیجه  یا . حال بنابر لم 4-1،  یک – مدول دوم است.بالعکس، فرض کنید  یک – مدول دوم باشد. آنگاه ، و همچنین . فرض کنید  یک ایده‌آل از حلقه  باشد. آنگاه . از آنجایی که  یک – مدول دوم است، بنابراین  یا . درنتیجه  یا . حال بنابر لم4-1،  یک – مدول دوم است.

نتیجه بعدی برای حلقه‌های جابجایی در]26، قضیه 2.2[ ثابت شده است.نتیجه4-5: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  باشد. آنگاه:حاصل‌جمع مستقیم هر گردایه از – مدول‌های راست – دوم، یک مدول – دوم است، جمع هر گردایه ناتهی از زیرمدول‌های – دوم از یک – مدول راست ، یک زیرمدول – دوم از  است.اثبات : فرض کنید  یک گردایه ناتهی از – مدول‌های راست – دوم باشد، و . آنگاه داریم . حال فرض کنید  ایده‌آلی از حلقه  باشد، به طوری که  آنگاه  بنا بر  لم4-1،  به ازای هر . بنابراین . در نتیجه  یک مدول – دوم است.اثبات : فرض کنید  یک گردایه ناتهی از زیرمدول‌های – دوم از  باشد. همریختی  را با ضابطه  تعریف می‌کنیم. به سادگی دیده می‌شود  پوشاست پس  نقش همریخت مدول است. حال طبق قسمت  و این موضوع که نقش همریخت هر مدول دوم، خود مدول دوم است این نتیجه به اثبات می‌رسد.حال به بررسی مدول‌های دوم روی حلقه‌های کراندار و گولدی می‌پردازیم.نتیجه4-6: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست (یا چپ) باشد. آنگاه هر – مدول راست بخش‌پذیر غیر صفر، یک مدول دوم است.اثبات: فرض کنید  یک – مدول راست بخش‌پذیر باشد و . اگر ، چون حلقه  اول است، بنابر لم 2-66 ایده‌آل  زیرمدولی اساسی از  است. حال بنابر قضیه 2-41 (قضیه گولدی)،  شامل یک عنصر منظم از حلقه  مانند  می‌باشد. از بخش‌پذیر بودن  می‌توان نتیجه گرفت ، که این یک تناقض است. بنابراین . حال فرض کنید  ایده‌آلی غیر صفر از  باشد، بنابراین . از طرفی مانند فوق می‌توان گفت که  شامل عنصر منظمی از حلقه  مانند  می‌باشد. بنابراین . در نتیجه . حال بنابر لم4-1،  یک مدول دوم است.

نتیجه4-7: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست یا چپ باشد. آنگاه هر – مدول راست انژکتیو غیر صفر، یک مدول دوم است.اثبات: هر مدول انژکتیو، بخش‌پذیر است. حال بنابر نتیجه4-6، این نتیجه اثبات می‌شود.نتیجه4-8: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از یک حلقه  باشد به طوری که  یک حلقه گولدی راست یا چپ باشد، و فرض کنید  یک – مدول راست انژکتیو غیر صفر باشد. آنگاه  شامل یک زیرمدول – دوم است اگر و تنها اگر  برای بعضی های غیر

فصل 5: تصویر همریختی‌ها ……………………………… 33

در این فصل ما به بررسی این امر می‌پردازیم که تحت کدام شرایط، – مدول غیر صفر  دارای زیرمدول محض  است که  یک مدول دوم است یا به طور معادل، کدام مدول ایده‌آل چسبیده دارد.قضیه5-1: فرض کنید  یک حلقه نیم‌موضعی باشد. آنگاه هر – مدول باس، تعداد متناهی ایده‌آل‌ اول چسبیده دارد.اثبات: فرض کنید ، حلقه نیم موضعی است. در2-52 ثابت کردیم  دارای تعداد متناهی ایده‌آل اولیه است. حال طبق 2-48 داریم هر ایده‌آل چسبیده یک مدول باس، اولیه است. بنابراین هر – مدول باس دارای تعداد متناهی ایده‌آل اول چسبیده است.قضیه5-2: فرض کنید  یک حلقه و  یک – مدول غیر صفر باشد به طوری‌که ایده‌آلی مانند  از  موجود باشد که این ایده‌آل در گردایه ایده‌آل‌های  از  که  ، ماکسیمال باشد. آنگاه  یک ایده‌آل اول چسبیده از  می باشد و یک مدول – دوم است. علاوه برآن ، برابر اشتراک تمام زیرمدول‌های محض  از  است به طوری که  یک مدول – دوم است.اثبات: ابتدا نشان می‌دهیم  ایده‌آل اول است. فرض کنید  و  دو ایده‌آل از  باشند به طوری که زیر مجموعه  نباشند. آنگاه اگر  و  را در نظر بگیریم،  و  به طور محض شامل  می‌باشند. حال بنابر تعریف  داریم  و . در نتیجه ، و این به معنی این است که  زیرمجموعه  نیست، و در نتیجه  زیر مجموعه  نیست. لذا می‌توان گفت  ایده‌آل اول حلقه  است. برای اثبات دوم بودن مدول ، فرض کنید  ایده‌آلی از  باشد به طوری که . بنابر ماکسیمال بودن  در گردایه ایده‌آل‌های  از  به طوری که ، داریم.به‌وضوح داریم  و از طرفی بنابر تعریف ، پوچ ساز  نمی‌تواند به طور محض شامل  باشد. لذا  یک مدول – دوم است. برای اثبات قسمت آخر این قضیه فرض کنید  زیرمدول  باشد که یک مدول – دوم است. بنابراین داریم . بنابراین  برابر اشتراک تمام زیرمدول‌هایی مانند  است که ، – دوم است.نتیجه5-3 : فرض کنید  یک حلقه و  یک – مدول غیر صفر باشد. آنگاه گزاره های زیر معادلند: زیرمدول محض   از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است،زیرمدول محض  از  و ایده‌آل اول  از  وجود دارد به طوری که  در گردایه ایده‌آل‌های  از  که   ماکسیمال می باشد.اثبات:  فرض کنید زیر مدول محض  از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است، قرار دهید . آنگاه  یک ایده‌آل اول از  است و  بنابراین . حال فرض کنید  ایده‌آلی از  باشد که به طور محض شامل  است. از آنجایی که ، دوم است بنابر لم4-1 داریم . در نتیجه . بنابراین  درگردایه ایده‌آل‌های  از  به طوری که  ، ماکسیمال می باشد.

فصل 6: زیرمدول‌های دوم………………………………… 39

دراین فصل نشان خواهیم داد که مشابه بعضی از نتایج برای مدول‌های اول نتایجی برای مدول‌های دوم نیز وجود دارد.قضیه6-1: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه ، و  یک – مدول – دوم باشد. آنگاه هر مکمل غیر صفر در  یک مدول – دوم است.اثبات: فرض کنید  یک مکمل غیر صفر در  باشد، و  زیرمدولی از  باشد به طوری که  مکمل  در  باشد. حال اگر  ایده‌آلی از  باشد به طوری که ، آنگاه بنابر لم4-1، . در نتیجهو بنابراین داریم . از آنجایی که  و  مکمل  است لذا . بنابراین  برای هر ایده‌آل  که . لذا طبق لم4-1،  یک مدول دوم است. از طرفی ، و برای هر ایده‌آلی مانند  که زیر مجموعه  نباشد داریم . بنابراین . در نتیجه  یک مدول – دوم است.فرض کنید  ایده‌آل اول حلقه  باشد، و فرض کنید  یک – مدول باشد. آنگاه بنابر نتیجه4-5 حاصل‌جمع هر تعداد زیرمدول – دوم از ، – دوم است.قضیه6-2: فرض کنید  یک حلقه باشد و   یک زنجیر از زیرمدول‌های دوم از یک – مدول راست  باشد. آنگاه  یک زیرمدول دوم از  است.

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل 7: نتایج بیشتر …………………………………………. 43

منابع و مآخذ…………………………………………………………………………………………….. 51

 

Abstract

The aim of this thesis is to study the article “Second modules over noncommutative rings”by Cecen, Alkan and smith.Let be an arbitrary ring. A nonzero unital right – module is called a second module if and all its nonzero homomorphic images have the same annihilator in . It is proved that if is a ring such that is a  left bounded left goldie ring for every prime ideal of , then a right – module  is a second module if and only if is a prime ideal of  and  is a divisible right – module. If a ring  satisfies the ascending chain condition on two-sided ideals, then every nonzero – module has a nonzero homomorphic image which is a second module. Every nonzero Artinian module contains second submodules and there are only a finite number of maximal members in the collection of second submodules. If  is a ring and  is a nonzero right -module such that contains a proper submodule  with a second module and has  finite hollow dimension , for some positive integer , then there exist a positive integer  and prime ideals  such that if is a proper submodule of  with  a second module, then  has annihilator  for some . Every second submodule of an Artinian module is a finite sum of hollow second submodules.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان