چکیده

در این پایان نامه یک مدل چند دوره ای انتخاب سبد سهام با در نظر گرفتن هزینه نقل و انتقال سهام و فرضیات ایجاد تنوع در سبد و با هدف حداکثر کردن ارزش سبد در انتهای افقی برنامه ریزی ارائه می گردد. ابتدا مدل قطعی طراحی و سپس با توجه به ماهیت عدم قطعی پارامترها از رویکرد بهینه سازی استوار استفاده می شود. از طرف دیگر، از آنجا که پارامترهای عدم قطعی قیمت سهام می توانند به یکدیگر وابسته باشند در ابتدا همتای استوار مدل چند دوره ای انتخاب سبد سهام با فرض استقلال پارامترها و در ادامه با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی ارائه می شود. مدل همتای استوار برمبنای رویکرد بازه ای و همچنین عدم قطعیت بودجه ای طراحی می گردد. در قدم بعدی، با درنظر گرفتن فرض متفاوت بودن نرخ سود قرض دادن و قرض گرفتن، ابتدا مدل قطعی ارائه می گردد که غیرخطی خواهد بود. با استفاده از ماهیت وساختار مدلی، آنرا به برنامه خطی تبدیل کرده و سپس همتای استوار آن را با فرضی عدم قطعیت بازهای و همچنین بودجهای ارائه می نمائیم. در پایان، مدل های ارائه شده با مسائل نمونه تصادفی تولید، حلی، تحلیل و مقایسه می گردند.

فهرست مطالب

فصل اول:مقدمه

در مسائل مهندسی مالی عموماً با تعداد زیادی گزینه جهت سرمایه گذاری روبرو هستیم. برای انتخاب گزینه های سرمایه گذاری باید معیار انتخاب بر اساس هدف سرمایه گذار انتخاب شود و به عنوان تابع هدف مسأله بهینه سازی سبد مالی در نظر گرفته شود. ممکن است یک سرمایه گذار ریسک گریز هدف از سرمایه گذاری را حداقل کردن ریسک در سرمایه گذاری قرار دهد. البته شایان توجه است که برای ریسک در مسائل مهندسی مالی تعاریف مختلفی وجود دارد. از سوی دیگر ممکن است یک سرمایه گذار ریسک پذیری بالایی داشته باشد و هدف از سرمایه گذاری را حداکثر کردن بازده آن قرار دهد. علاوه بر تابع هدف همیشه محدودیتهایی برای سرمایه گذاری وجود خواهد داشت. به عنوان مثال عموماً میزان سرمایه سرمایه گذار به عنوان یک محدودیت در سرمایه گذاری مطرح می شود. لذا مجموعه محدودیتها و مطلوبیت سرمایه گذار، یک مسأله مهندسی مالی را ایجاد می کند.پارامترهای مورد استفاده در مدل سازی مسائل مهندسی مالی همچون بازده سرمایه گذاری یک دارایی مشخص در آینده یا ریسک سرمایه گذاری آن دارایی قبل از حل مسأله و انتخاب سبد سهام به صورت قطعی مشخص نیستند. لذا یکی از ویژگی های عمده مسائل مهندسی مالی، ماهیت عدم قطعی پارامترهای آن می باشد. اگر عدم قطعیت پارامترهای مسأله نادیده گرفته شود، ممکن است آشفتگی کوچکی در مقدار واقعی پارامترهای مسأله نسبت به مقدار در نظر گرفته شده در زمان حل مسأله باعث شود بهینگی جواب نهایی یا موجه بودن آن از بین برود. بنابراین اگر در یک مسأله پارامترهای غیرقطعی داشته باشیم برای معتبر ساختن جواب بهینه ناگزیر به حل مسأله با در نظر گرفتن عدم قطعیت پارامترها هستیم.در چند دهه اخیر مدل سازی و حل مسائل بهینه سازی با فرض عدم قطعیت پارامترهای مسأله مورد توجه خاصی قرار گرفته است و روشهای متنوعی در ارتباط با عدم قطعیت پارامترهای مسأله مورد استفاده قرار گرفته است. یکی از روش های رایج در مدل سازی عدم قطعیت پارامترهای مسأله، بهینه سازی استوار میباشد که در عین سادگی از کارایی قابل توجهی نسبت به سایر روشی ها برخوردار است.در انجام مدل سازی در این پایان نامه دو هدف اصلی را دنبال می کنیم. هدف اول مدل سازی مسأله انتخاب سهام با در نظر گرفتن فرضیات دنیای واقعی می باشد. سعی می شود تا حد امکان فرضیاتی که در انتخاب سبد سهام مورد نظر می باشد و نادیده گرفتن آنها به اعتبار مدل در عمل خدشه وارد میکند، در نظر گرفته شود. مدل سازی استوار مسأله و در نظر گرفتن عدم قطعیت پارامترها در این راستا انجام می شود. از سوی دیگر سعی می شود با در نظر گرفتن فرضیات مذکور حتی المقدور مدل حاصل ساده و در زمان مناسب قابل حل باشد. البته این دو هدف در تضاد با یکدیگر می باشند. چرا که با در نظر گرفتن محدودیتهای مسائل انتخاب سبد سهام بسیار محتمل است که به پیچیدگی مدل افزوده شود و در نتیجه مدل حاصل کارایی لازم را نداشته باشد. یکی از چالشی های پیش رو در انجام این تحقیقی برقراری تعادل بین این دو هدف است. خلاصه مطالب مطرح در این پایان نامه به صورت خلاصه به شرح ذیل است. در ابتدا در فصل ۲ مروری جامع بر ادبیات موضوع خواهیم داشت. در فصل ۳ یک مدل قطعی خطی چند دورهای انتخاب سبد سهام ارائه می شود. در ادامه همتای استوار بیش محافظه کار و با درجه محافظه کاری قابل کنترل با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی مسأله در فصل ۴ و همتای استوار بیش محافظه کار و با درجه محافظه کاری قابل کنترل با فرضی وابستگی پارامترهای غیر قطعی مدل در فصل ۵ ایجاد می شود. در فصل ۶ علاوه بر فرضیات در نظر گرفته شده در فصل ۳ جهت ایجاد مدل قطعی انتخاب سبد سهام، فرض متفاوت بودن نرخ سود قرض دادن و قرض گرفتن در مدل سازی مورد استفاده قرار می گیرد و با در نظر گرفتن این فرضیات مدل خطی انتخاب سبد سهام ارائه می شود. در ادامه فصل همتای استوار بیش محافظه کار و با درجه محافظه کاری قابل کنترل مدل قطعی مذکور ارائه میشود. در نهایت در فصل ۷ مسائلی با دادههای تصادفی ایجاد می شود و در مدل های قطعی و استوار ایجاد شده در فصل های ۳ تا ۶ مورد استفاده قرار میگیرد و به کمک نتایج این مسائل تصادفی نمونه،مدلهای ایجاد شده اعتبار سنجی، بررسی و مقایسه می شوند.

مقدار تابع هدف مدل استوار بافرض عدم قطعیت بودجه ای

مقدار تابع هدف مدل استوار بافرض عدم قطعیت بودجه ای

فصل دوم:مروری برمفاهیم وادبیات کاربرد بهینه سازی استوار در انتخاب سبد سهام

2-1-مقدمه

در این فصل برای آشنایی بیشتر با مساله مورد بررسی در بخش دوم نحوه برخورد با عدم قطعیت داده های مدل را مد نظر قرار داده و شرح مختصری از راهکارهای برخورد با عدم قطعیت در مسایل بهینه سازی را بیان می کنیم. در بخش سوم مرور جامعی بر ادبیات بهینه سازی استوار خواهیم داشت. بعد از بیان مفاهیم و کلیات اولیه مسائل مالی در بخش چهارم مرور جامعی بر ادبیات گسترده مسایل بهینه سازی سبد مالی داریم. در نهایت در بخش پنجم با جزئیات بیشتر، مسایل بهینه سازی میشود.

2-1-مقدمه 5

2–بهینه سازی مسائل با داده های غیر قطعی 5

2-3-بهینه سازی استوار 9

2-3-1-عدم قطعیت داده ها در برنامه ریزی خطی 12

2-3-2-رویکرد عدم قطعیت بازه ای   14

2-3-3-رویکرد عدم قطعیت بیضوی 16

2-4-4-رویکرد عدم قطعیت بودجه ای 17

2-4-انتخاب سبدمالی 19

2-4-سبد مالی 19

2-5-بهینه سازی سبدمالی 21

2-6-بهینه سازی استوار سبدمالی 24

مقدار تابع هدف مدل استوار به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی

مقدار تابع هدف مدل استوار به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی

فصل سوم:مدل قطعی مساله

3-1-مقدمه

مسأله مورد بررسی یک مسأله انتخاب سبد سهام می باشد که برای یک افق چند دوره ای برنامه ریزی می شود. یکی از معیارهای اصلی در مدل سازی این مسأله قابلیت استفاده از آن در دنیای واقعی می باشد. به عبارت دیگر یکی از اهداف اولیه، ایجاد مدلی است که قابل استفاده برای تصمیم گیری های انتخاب سبد سهام در دنیای واقعی باشد. لذا حتی المقدور محدودیتهایی مهم و مورد نیاز جهت مدل سازی یک مسأله واقعی انتخاب سبد سهام در نظر گرفته میشود. به علاوه یکی دیگر از اهداف اصلی در مدلسازی حفظ امکان حل مسأله در زمان چند جمله ای می باشد. البته این دو هدف در تضاد با یکدیگر می باشد چرا که در نظر گرفتن محدودیتهای مورد نیاز جهت مدل سازی یک مسأله واقعی موجب افزایش پیچیدگی مسأله می شود. با این حال در مدل ارائه سعی شده حتی المقدور هر دو هدف در نظر گرفته شود و مدلی ایجاد شود که هم تا حد زیادی نماینده مسائل واقعی موجود در انتخاب سبد سهام باشد و هم قابل حلی در یک زمان مناسب باشد. فرض کنید برای یک سرمایه گذاری امکان انتخاب از بین تعداد مشخصی دارایی مختلف وجود دارد و همان طور که ذکر گردید مدل سازی و تصمیم گیری انتخاب سبد سهام برای افق چند دورهای انجام میگیرد. زیرا در نظر گرفتن تنها یک دوره هر چند موجب سادگی مدل می شود اما به دلیل افق کوتاه برنامه ریزی عملا قابل استفاده نمی باشد. هدف اصلی سرمایه گذاری ماکسیمم سازی ارزش سبد سهام در انتهای افق برنامه ریزی می باشد. یکی از مواردی که موجب کاهش اعتبار مدل می شود ماهیت عدم قطعی پارامترهای مسأله همچون ارزش سهام در دورههای سرمایه گذاری می باشد. در نظر گرفتن مقادیر اسمی ممکن است باعث ایجاد جوابهایی گردد که با جواب بهینه فاصله زیادی دارد یا حتی ممکن است باعث ایجاد جوابی گردد که غیر موجه باشد. لذا نادیده گرفتن عدم قطعیت تا حد زیادی اعتبار جواب را زیر سوالی میبرد.

۳- ۲- مدلسازی اولیه مسأله

در این قسمت کلیات، محدودیتها و فرضیات مسأله انتخاب سبد سهام مورد بررسی قرار می گیرد. یکی از مدلهای مرسوم در مسائل انتخاب سبد سهام مدل تک دوره ای انتخاب سبد سهام می باشد. این مدل در عمل از کارایی لازم برخوردار نیست و لذا یک مسأله چند دورهای انتخاب سبد سهام مدل سازی می شود. از جمله محدودیتهای موجود در مسائل انتخاب سبد سهام در دنیای واقعی، هزینه خرید و فروش سهام میباشد. نادیده گرفتن هزینه نقل و انتقال سهام در عمل اعتبار مسأله چند دوره ای انتخاب سبد سهام را تا حد زیادی کاهش می دهد. بنابراین یکی از محدودیتهای اصلی در مساله مورد بررسی در نظر گرفتن هزینه نقل و انتقال سهام میباشد. در مساله حاضر هزینه نقل و انتقال سهام به صورت متناسب با ارزش سهام خرید با فروش شده تغییر می کند. از سوی دیگر محدودیتهای ایجاد تنوع  در سبد سهام در مدل سازی در نظر گرفته می شود. دلیل در نظر گرفتن این محدودیت ها جلوگیری از تخصیص سرمایه به تعداد محدودی سهام می باشدکه در این صورت ریسک سرمایه گذاری افزایش می یابد.

3-1-مقدمه 33

3-2-مدلسازی اولیه مساله 34

مقدار تابع هدف مدل استوار به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی

مقدار تابع هدف مدل استوار به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی

فصل چهارم:مدل سازی عدم قطعیت با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی مدل

4-1-مقدمه

 در این فصل بر آنیم معادل استوار مدل قطعی چند دورهای انتخاب سبد سهام را ارائه کنیم. در ابتدا با استفاده از رویکرد سویستر به مدل سازی عدم قطعیت میپردازیم. جواب استوار مدل سویستر نسبت به حالاتی که همه پارامترهای غیرقطعی بدترین مقدار ممکن را می گیرند یک جواب مناسب خواهد بود. اما در مدل سویستر درجه محافظه کاری قابل کنترل نمی باشد و مدل ارائه شده بیش محافظه کار می باشد. در ادامه فصل به مدل سازی معادل استوار مسأله قطعی انتخاب سبد سهام با استفاده از رویکرد Bert Simlas و Siml میپردازیم. در این مدل بر خلاف مدل سویستر درجه محافظه کاری قابل کنترل می باشد.

4-1-مقدمه 39

4-2-اصلاح مدل قطعی 39

4-3-مدلسازی باروش عدم قطعیت بازه ای 41

4-4-مدل سازی با روش عدم قطعیت بودجه ای 43

فصل پنجم:مدلسازی عدم قطعیت بافرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی مدل

۵ – ۳- مدل سازی با روشBert SimaS-SinIn (عدم قطعیت بودجهای)

در این بخش با فرضی عدم قطعیت به صورت بودجه ای مدل عدم قطعیت ساخته می شود. تفاوت مدل عدم قطعیت بودجهای در این فصلی با فصلی قبلی در این است که عدم قطعیت در بخش قبل مستقیماً برای پارامترهای مساله در نظر گرفته می شد. اما در این بخش فرض های عدم قطعیت برای منابع عدم قطعیت به کار گرفته می شود نه پارامترهای مسأله که تغییرات آنها ناشی از اثر منابع عدم قطعیت می باشد. الا : مجموعه پارامترهای عدم قطعی Pit در دوره t مشابه فرضیات فصل قبلی در مورد عدم قطعیت بودجه ای، غیر محتمل است که همه پارامترهای غیر قطعی یک محدودیت به صورت همزمان تغییر کنند. لذا هدف این است که در مقابل همه حالاتی که در دوره دلخواه t جمع نسبت تغییرات اثر منابع علام قطعی حداکثر برابر با باشد،حفاظت لازم انجام شود یا به عبارت دیگر با این تغییرات جواب موجه بماند. بنابراین طبیعت در رفتارشی به این فرض محدود می شود. مدل استوار مسأله انتخاب سبد سهام با در نظر گرفتن منابع عدم قطعیت با فرضی عدم قطعیت

این منابع به صورت بودجه ای به صورت زیر میباشد

5-1-عدم قطعیت ناشی از منابع عدم قطعیت 50

5-2-مدل سازی با روش عدم قطعیت بازه ای 51

5-3-مدل سازی با روش عدم قطعیت بودجه ای 53

فصل ششم:مدل سازی عدم قطعیت با درنظرگرفتن نرخ سود متفاوت قر دادن وقرض گرفتن

همان طور که در فصل دو ذکر گردید، یکی از اهداف اصلی این تحقیق مدل سازی مسائل واقعی انتخاب سبد سهام می باشد. در این راستا علاوه بر فرضیات مدل قطعی ارائه شده در فصل ۳، فرض وجود نرخ سود برای سبد سهام را در نظر می گیریم و به علاوه نرخ سود قرض دادن و قرض گرفتن را متفاوت در نظر می گیریم. لذا در این فصلی مدل قطعی انتخاب سبد سهام با در نظر گرفتن فرضیات ذیل مدل سازی می شود

– تصمیم گیری در افق چند دورهای انجام می شود.

– هزینههای نقل و انتقال سهام در نظر گرفته می شود.

– محدودیت های ایجاد تنوع در سبد سهام در نظر گرفته می شود.

– نرخ سودهای متفاوت برای قرض دادن و قرض گرفتن مورد استفاده قرار میگیرد.

۶- ۳- معادل استوار با رویکرد Bertsima S-Sim

تا اینجا با فرضی عدم قطعیت به صورت بازهای مدل عدم قطعیت ساخته شد. در این قسمت به مدل سازی معادل استوار مدل قطعی چند دورهای انتخاب سید سهام با در نظر گرفتن هزینه نقل و انتقال سهام و نرخ سود متفاوت قرضی دادن و قرض گرفتن میپردازیم. رویکرد مورد استفاده جهت مدل سازی عدم قطعیت رویکرد BerlSima S-SiT میباشد.همان طور که در فصل چهار ذکر گردید، در رویکرد BeT[SinlaS-Si از مجموعه های عدم قطعی بودجه ای جهت ساخت معادل استوار استفاده می شود. اگر P مجموعه پارامترهای عدم قطعی pit موجود در دوره t باشد، غیر محتمل است که همه پارامترهای غیر قطعی یک محدودیت به صورت همزمان تغییر کنند. لذا پارامتر جدید آن تعریف می شود. در مدل سازی عدم قطعیت به روش بودجهای هدف این است که در مقابل همه حالاتی که در دوره دلخواه t جمع نسبیت تغییرات پارامترهای غیر قطعی ار مقدار اسمی خود به نصف طولی باره تغییرات حداکثر برابر ,T باشد ، حفاظت لازم انجام شود یا به عبارت دیگر با این تغییرات جواب موجه بماند. بنابراین طبیعت در رفتارش به این فرض محدود می شود.

6-1-مدل قطعی 61

6-2-معادذل استوار با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی با رویکردSoysterا   65

6-3-معادل استواربا رویکردBertsimas-Simا 67

فصل هفتم:نتایج محاسباتی

7-1-مقدمه

در فصل های گذشته مسائلی چند دورهای انتخاب سبد سهام را با فرضی وجود هزینه نقلی و انتقال سهام و محدودیتهای ایجاد تنوع در سبد سهام مدل سازی کردیم. پس از بیان انواع مدلهای پیش محافظه کار و مدلهای با درجه محافظه کاری قابل کنترل در این قصل به بررسی نحوه عملکرد مدلی می پردازیم، در فصل ۴ مدل انتخاب سبد سهام با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی و در فصل ۵ مدل انتخاب سبد سهام با فرضی وابستگی پارامترهای مدل ساخته شد. در این فصل در بخش اول مدل انتخاب سبد سهام با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی و در بخش دوم مدل با فرضی وابستگی پارامترهای غیرقطعی به منابع عدم قطعیت مورد بررسی قرار می گیرد و برای هر یک، مدل بیش محافظه کار و مدل خطی با درجه محافظه کاری قابل کنترل با استفاده از نرم افزار(AMS) حل می شود.

7-1-مقدمه 73

7-2-مدل استوار انتخاب  سبد سهام با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی 73

7-3-مدل استوار انتخاب سبد سهام با فرض وابستی پارامترهای غیرقطعی 78

7-4-مدل استوار با سفرض نرخ سود متفاوت قرض دادن وقرض گرفتن 82

فصل هشتم:نتیجه گیری وجمع بندی

۳-۸- مطالعات و پژوهشهای آتی

مدلهای ارائه شده در این پایان نامه به دلیل عدم دسترسی به اطلاعات مورد نیاز با استفاده از مسائل تصادفی تولید شده تحلیل شد. پیاده سازی مدلهای استوار ایجاد شده بر روی دادههای واقعی از جمله اقدامات در راستای پژوهش انجام شده می باشد. در پی استفاده از دادههای مسائل دنیای واقعی می توان بر اساس تمایلات سرمایه گذار مقدار مناسب , T را تعیین کرد. از دیگر اقدامات قابل انجام می توان تخمین پارامترهای غیر قطعی مدل با استفاده از روشهای پیش بینی و آنالیز سری های زمانی را نام برد. در این حوزه می توان از مدلهای متفاوت همچون ARIMA و GARCH جهت پیش بینی قیمت سهام در دورههای بعد استفاده نمود. بدیهی است خروجی مدل های پیش بینی قیمت سهام در دوره های آینده به عنوان پارامتر ورودی در مسائل انتخاب سبد سهام استفاده خواهد شد. در حوزه مسائل انتخاب سبد سهام می توان با در نظر گرفتن واریانس نرخ سود سبد سهام ریسک را به صورتی متفاوت از در نظر گرفتن عدم قطعیت پارامترها در مدل وارد کرد. در نظر گرفتن توأم واریانس نرخ سود و عدم قطعیت پارامترها نیز میتواند در توسعه مدل های انتخاب سبد سهام مورد استفاده قرار گیرد. از سوی دیگر در نظر گرفتن مشتقات مالی در بین گزینههای سرمایه گذاری قابل انتخاب می تواند به افزایش اعتبار عملی مسأله کمک کند. یکی دیگر از زمینه های پیشنهادی برای تحقیق در آینده ارائه همتای استوار برای مساله چند دوره ای انتخاب سبد با استفاده از رویکرد عدم قطعیت بودجه ای با در نظر گرفتن هزینه نقل و انتقال سهام، فرضیات ایجاد تنوع در سبد و فرض متفاوت بودن نرخ سود قرضی دادن و قرض گرفتن است با این شرط که پارامترهای عدم قطعی مدلی وابستگی داشته باشند.

8-1-مروری بر فصل های گذشته 87

8-2-نوآوری ودستاوردهای تحقیق 88

8-3-مطالعات وپژوهش های آتی  89

فهرست شکلها

7-1-مقدار تابع هدف مدل استوار با فرض عدم قطعیت بودجه ای 77

7-2-مقدار تابع هدف مدل استوار به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی 78

7-3-مقدار تابع هدف مدل استوار با فرض عدم قطعیت بودجه ای 81

7-4-مقدار تابع هدف مدل استوارذ به ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی 82

7-5-مقدار تابع هدف مدل استوار با نرخ متفاوت قرض دادن وقرض گرفتن به ازای مقادیر گاما     84

7-6-مقدار تابع هدف مدل استواربه ازای تغییرات سرمایه اولیه با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی 85

فهرست جداول

7-1-پارامترهای مساله نمونه حل شده با فرض استقلال پارامترهای عدم قطعی 74

7-2-نتایج حل مساله با فرض استقلال پارامترهای غیرقطعی 75

7-3-مقدار تابع هدف مدل استوار با فرض عدم قطعیت بودجه ای 76

7-4-پارامترهای مساله نمونه حل شده با فرض وابستگی پارامترهای عدم قطعی    79

7-5-نتایج حل مساله با فرض وابستگی پارمترهای غیرقطعی    80

7-6-مقدار تابع هدف مدل استوار با فرض عدم قطعیت بودجه ای   81

7-7-نتایج حل ماسله با فرض وابستگی پارامترهای غیرقطعی 84


Abstract

In the thesis, a multi-period portfolio selection problem is presented in which transaction costs and diversity constraints are considered. The objective is to maximize the value of this portfolio at the end of the time horizon. Furthermore, data uncertainty, which is inherent in stock returns, is considered as well. To model data uncertainty, we apply robust optimization technique. At first, a robust counterpart model is proposed by assuming that uncertain parameters are independent. Then, we assume uncertain data are correlated. Both interval and budgeted uncertainty technique are applied in robust counterpart modeling. In the next step, we assume lending and borrowing risk-free interest rates are different, The model happens to be a nonlinear one. By considering the structure of the model, we develop a new linear model. To the best of our knowledge it is the first linear model with the assumption of different lending and borrowing rates in a multi-period framework. Again, both interval and budgeted uncertainty technique are applied in robust counterpart modeling. In order to validate the models, some examples are generated randomly and solved

Keywords : Robust Optimization, Portfolio Selection, Different lending and borrowing rates


تعداد صفحات فایل : 96

مقطع : کارشناسی ارشد

بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

خرید فایل pdf و سفارش فایل word

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید