چکیده

در این تحقیق ابتدا فضای ناجابجا را مورد بررسی قرار دادیم سپس معادله حرکت را در این فضا محاسبه نمودیم و از روی آن توانستیم معادله قانون دوم نیوتون را بنویسیم ، ومشخص شد که حرکت یک ذره در فضای ناجابه جا همانند حرکت آن ذره در دستگاه نالخت چرخان است . دراین فضا  مسئله کپلر را نیز بررسی کردیم ومشخص شد که سیستم سیارهای به شدت به پارامتر ناجابجایی حساس است ودر واقع پارامتر ناجابه جابیی که کوچک است میتواند تغییرات بزرگی رادر فیزیک ایجاد کند.

کلمات کلیدی:  فضای ناجابجا، دستگاه نالخت ،سیستم سیاره ای ،حضیض 

  فهرست مطالب                                                                      صفحه

فصل اول:معرفی فضای ناجابجا

1-1) مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………….2

1-2) .فضای ناجابجا …………………………………………………………………………………………………………………………………2

فصل دوم:قانون دوم نیوتون در فضای ناجابجا 

2-1) مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….9

2-2) مکانیک کلاسیک ناجابجایی ……………………………………………………………………………………………………………10

2-3) میدان مرکزی……………………………………………………………………………………………………………………………………13

  فصل سوم:مسئله کپلردرفضای ناجابجا

3-1) مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….17

3-2) مسئله کپلر………………………………………………………………………………………………………………………………………..17

نتیجه گیری ………………………………………………………………………………………………………………………………………..30

  پیوستها

الف-پیوست فصل دوم

الف-1) دستگاه مختصات چرخان……………………………………………………………………………………………………………33

  الف – 2) محاسبه کروشه پواسون ……………………………………………………………………………………………………………37

الف-3) محاسبه سرعت ذره درفضای ناجابجا…………………………………………………………………………………………38

  الف-4) محاسبه آهنگ تغییر تکانه…………………………………………………………………………………………………………39

ب-پیوست فصل سوم 

ب-1) محاسبه پایستگی      ……………………………………………………………………………………………………………..40

ب-2) محاسبه        که مولد دوران نیست…………………………………………………………………………………….41

ب-3) محاسبه معادله حرکت …………………………………………………………………………………………………………..44

ب-4) محاسبه هامیلتونی ذره……………………………………………………………………………………………………………46

ب-5) محاسبه معادله شعاعی حرکت ذره………………………………………………………………………………………..47

ب-6) محاسبه خروج از مرکز……………………………………………………………………………………………………………48

ب-7) محاسبه معادله دیفرانسیل حرکت………………………………………………………………………………………..49

  ب-8) محاسبه حرکت کلاسیکی کپلر……………………………………………………………………………………………..51

ب-9) محاسبه پیشرفت حضیض عطارد………………………………………………………………………………………….55

منابع ………………………………………………………………………………………………………………….. 62

فصل اول 

معرفی فضای ناجابجا

  • 1)مقدمه

در حدود 3000 سال از کشف جبرمی گذرد که از آن زمان تا به حال تغییرات زیادی پیدا کرده و به شاخه های زیادی تقسیم شده است، یکی از این شاخه ها که مربوط به میدان ها و گروه هاست جبرمجردمی باشد، این جبرخود نیز به دو شاخه جا به جایی و نا جابجایی تقسیم می شود.

هایزنبرگ1اولین کسی بود که تعمیم ناجابجایی بین مولفه های مکان را به عنوان یک روش مناسب جهت حذف کمیتهای نامتناهی که درتئوری های میدان ظاهر می شود را مطرح کرد. اولین مقاله دراین زمینه توسط هارتلنداسنایدر2در سال 1947 منتشر شد.در دهه 1980 ریاضیدان هایی بخصوص آلین کانس3هندسه نابجایی را مطرح نمودندکه این مسئله علاوه بر کارهای دیگر،مطلب ساختار دیفرانسیل را نیز به مجموعه ناجا به جایی اضافه نمودند که منجر به فضا- زمان ناجا به جایی گردید[1 ].

1-2) فضای ناجابجایی 

تاریخچه مکانیک کوانتومی ناجابه جایی به کارهای دیراک4 باز می گردد، دیراک پیشنهاد کرد برای اینکه بتوان برخی از پدیده ها در فیزیک(از جمله اثر کوانتومی هال، برهم کنش های میدانها درنظریه میدانهای کوانتومی و…..) را بطور کاملتر توجیه نمود، باید فضا را ناجابجا در نظر گرفت. از طرفی، در تئوریهای گرانشی همچون ریسمان[15].، که سعی دارد گرانش را کوانتومی نمایند ، در انرژی های بالا باید مختصات فضا ناجابجا فرض شود. نظریه میدان کوانتومی ناجا به جایی در طی سالهای اخیر

در زمینه نظریه ریسمان و اثر کوانتومی هال بارها مورد بررسی قرار گرفته است. ریسمان یک مقدار کوچک انرژی است و هیچ چیزی کوچکتر از این مقدار انرژی نیست.   

در نظریه ریسمان به جای اینکه هر ذره را مستقل در نظر بگیرند، بصورت رشته ای پیوسته با شکل های مختلف در نظر می گیرند، مثلاً الکترون را می توان مانند یک النگو، رشته ای بدانیم که دو سرش به هم گره خورده است [1 ]. علت بوجود آمدن این نظریه ،عدم وحدت بین گرانش و سایر نیروها بود،بنابراین هندسه ناجابه جایی را می توان رهیافتی جدید برای وحدت گرانش با سایر نیرو ها دانست . در دنیای ما چهار نیرو اصلی به نام های الکترومغناطیس، هسته ای قوی ، هسته ای ضعیف و گرانش وجود دارد، سه نیروی اول می تواند در انژری های بالا با هم متحد شوند و مشمول یک نظریه واحد گردند، که اصطلاحاً می گویند این سه نیرو در انرژی های بالا تقارن دارند و در انرژی های معمولی دچار شکست تقارن خود بخودی می شوند. اما چهارمین نیروی اصلی یعنی گرانش دو مشکل اساسی دارد ،نخست وحدت نیافتن با سه نیروی دیگر، و دوم اینکه اگرذرات را نقطه ای در نظر بگیریم ، سطح مقطع بر هم کنش نیروی گرانش بین دو ذره نقطه ای که به هم نزدیک می شوند طبق مکانیک کوانتومی بی نهایت بدست می آید.از این رو ذرات بصورت ریسمان های یک بعدی در نظر گرفته شدند. مثلاً الکترون یا کوارکها همگی ریسمان های بسته و حلقوی با شکل های مختلف اند[1 ].

نظریه ریسمان ادعا می کند که دنیای ما ،ده بعدی است، یعنی نه بعد مکانی و یک بعد زمانی دارد که این بر خلاف تجربیات ماست. یعنی فکر می کنیم که در دنیای ما سه بعد مکانی و یک بعد زمانی وجود دارد ،به همین دلیل در نظریه ریسمان چنین توجیه می شود که شش بعد اضافه در واقع در دنیای ما وجود دارد که فشرده اند،فشرده شدن  مانند این است که یک میله از فاصله دور بصورت یک بعدی می بینیم اما از نزدیک بصورت استوانه ای دوبعدی است. طول ریسمان ها درحد مقیاس پلانک نیز در حدود 33 10 می باشد. ریسمان ها میلیون ها باراز هسته کوچکترند[1 ].

امروزه علاوه بر نظریه ریسمان ، مفاهیم بسیاری درفضای ناجابه جایی موردتوجه ومطالعه قرار گرفته اند، از جمله می توان به نظریه اختلال و غیر اختلالی در نظریه میدانها اشاره کرد. ناجابه جایی فضا در انرژی های بسیار بالا، که دلالت بر مقادیر بسیار کوچک پارامتر ناجابه جایی دارد مورد توجه است. در برخی از موارد که پارامتر ناجابه جایی دارای مقادیر بزرگی می باشد ،می توان مسئله رابا توجه به نظریه اختلال حل نمود.

اغلب تحقیقاتی که در مورد مکانیک کوانتومی ناجابه جا انجام شده، بصورت بسطی از مدل استاندارد آن یعنی مکانیک کوانتومی در فضای معمولی می باشد. می توان فرض کردکه مکانیک کوانتومی ناجابه جا یک تعمیم کلی از مکانیک کوانتومی استاندارد است که در آن عملگرهای مکان  مربوط به مختصه ها با هم جابه جا نمی شوند[ 2].برای بررسی مکانیک کوانتومی ناجابه جا میتوانیم کل فضای فاز در مکانیک کوانتومی را ناجابه جا فرض کنیم. در فضای هیلبرت حالتی را در نظر می گیریم که مولفه های مکان با هم جابه جا نشوند ،در این صورت داریم:

این رابطه را می توان رابطه اساسی مکانیک کوانتومی ناجابه جا قلمداد کرد. در رابطه بالا              ماتریس ناجابه جایی فضا می باشد. ماتریس ناجابه جایی فضا را نیز می توان بصورت زیر نشان داد:که در این رابطه           پارامتر ناجا به جایی است و دارای بعد طول به توان دو(2[ ]) می باشد.اگر دقت شود واضح است که در حد  های خیلی کوچک (  0      θ ) مکانیک کوانتومی ناجا به جایی به سمت مکانیک کوانتومی معمولی میل می کند.تانسور      را میتوان به صورت زیر نوشت :

در بیشتر معادلات برای از بین نرفتن همسانگری  فضا ،مولفه های 1 و2 و3 را یکسان  فرض می کنند و برابر می گیرند که در این صورت تانسور بصورت زیردر خواهد آمد:

در بعضی از مقاله ها ممکن است که عنصر 12 را برابر 1+ قرار داده باشند که بطور کلی در محاسبات تغییر محسوسی ایجاد نمی شود. ماتریس  با توجه به شرایط مسئله مورد مطالعه، تعیین می شود بعنوان مثال : اگر مولفه های z,y باهم جابه جا شونددر اینصورت عنصر23 و32 صفر است. با توجه به رابطه(1-2 )می توان اظهار داشت که تانسور ناجا به جایی یک تانسور پادمتقارن است [18].

از مقایسه رابطه (1-8)،(1- 9)می توان نتیجه گرفت : − =

روابط بنیادی مکانیک کوانتومی ناجابه جایی ،که در آن عملگرهای مکان جابه جا نمی شوند، نیز بصورت زیر است: 

نیک کوانتومی ناجابه جایی جبر حاکم بر آن متفاوت با جبر مکانیک کوانتومی معمولی است، بنابراین بجای ضرب معمولی بین توابع از یک ضرب ستاره ( مویال – وایل )1 استفاده می شود [4]. برای دو تابعfوgکه بی نهایت بار مشتق پذیرند داریم:

در این فصل سعی نمودیم بطور خلاصه فضای ناجابه جا را معرفی نمائیم . در ادامه قصد داریم قانون دوم  نیوتون را در فضای نابه جایی مورد بررسی قرار دهیم .خواهیم دید که قانون دوم نیوتون در این فضا دارای یک جمله تصحیحی می باشد که به پارامتر ناجابه جایی و پتانسیل مسئله بستگی دارد. سپس قانون دوم نیوتون اصلاح شده را برای نیروهای مرکزی مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم و خواهیم دیدکه یکی از جملات تصحیحی شبیه نیروی کوریولیس عمل می کندو جمله تصحیحی دیگر نیز به صورت یک نیروی نالخت در دستگاه چرخان می باشد . درانتها معادله قانون دوم نیوتون اصلاح شده را برای مسئله کپلر مورد بررسی قرار می دهیم و در واقع می خواهیم با استفاده از این معادله ، مدارهای سیارات را بررسی کنیم . با توجه به پتانسیل مسئله و هامیلتونین سیستم معادله شعاعی حرکت را بدست می آوریم و آنرا حل می کنیم و از روی این معادلات ، شرایط انحراف حضیض یک سیاره را بدست می آوریم. به عنوان یک مثال، میزان انحراف حضیض سیاره عطارد را دراین فضا مورد مطالعه قرارمی دهیم وسعی می کنیم با استفاده از داده های تجربی حد بالایی برای پارامتر ناجابجایی فضا برآورد نمائیم.

فصل دوم 

قانون دوم نیوتون درفضای ناجابه جا

2-1)مقدمه:

همانطوریکه در فصل قبل ذکر شد، یکی از موضوعاتی که در سالهای گذشته مورد توجه فیزیکدانان قرار گرفته، مطالعۀ فضاهای ناجابه جایی است. این فضاها به گونه ای تعریف می گردند که رابطه ناجابه جایی زیر بین عملگرهای مختصاتی آنها برقراراست:

پارامتر ثابت ناجابه جایی باℏ  مشخص می شود که حقیقی و نامتقارن است، ویکایی از جنس سطح دارد.به دلایل مختلفی فیزیکدانان به این فضا ها علاقمند شده اند، برای مثال ، اثرهال کوانتومی که یکی از مهم ترین سیستم های مطالعه شده در ماده چگال است، ناجابه جایی  رادر مختصات و تکانه کانونیک مطرح می نماید [2].

از طرف دیگر، در تئوری ریسمان نیز در اطراف ریسمانهای باز و در مختصات دی برین ها1ناجابه جایی ظاهر می شوند  [3]. همچنین می توان یک تئوری میدان جدید ساخت اگر ضرب استاندارد بین میدان را با ضرب استار (وایل – مویال) جایگزین کرد.در این تئوری برخی نتایج جا لب دیده شده است [4] . برای مثال نشان داده شده است که رابطه ای بین واگرایی فروسرخ و فرابنفش در فیزیک ذرات وجود دارد. حال، با فرض قواعد جابه جایی زیر، می توان یک مکانیک کوانتومی جدیدی ساخت.


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی ازقانون دوم نیوتن و مسئله کپلر در فضا ناجابجا

ل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید