چکیده

در این تحقیق ابتدا فضاي ناجابجا را مورد بررسی قرار دادیم سپس معادله حرکت را در این فضا محاسبه نمودیم و از روي آن توانستیم معادله قانون دوم نیوتون را بنویسیم ، ومشخص شد که حرکت یک ذره در فضاي ناجابه جا همانند حرکت آن ذره در دستگاه نالخت چرخان است . دراین فضا  مسئله کپلر را نیز بررسی کردیم ومشخص شد که سیستم سیارهاي به شدت به پارامتر ناجابجایی حساس است ودر واقع پارامتر ناجابه جابیی که کوچک است میتواند تغییرات بزرگی رادر فیزیک ایجاد کند.

کلمات کلیدي:  فضاي ناجابجا، دستگاه نالخت ،سیستم سیاره اي ،حضیض 

  فهرست مطالب                                                                      صفحه

فصل اول:معرفی فضاي ناجابجا

1-1) مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………….2

1-2) .فضاي ناجابجا …………………………………………………………………………………………………………………………………2

فصل دوم:قانون دوم نیوتون در فضاي ناجابجا 

2-1) مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….9

2-2) مکانیک کلاسیک ناجابجایی ……………………………………………………………………………………………………………10

2-3) میدان مرکزي……………………………………………………………………………………………………………………………………13

  فصل سوم:مسئله کپلردرفضاي ناجابجا

3-1) مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….17

3-2) مسئله کپلر………………………………………………………………………………………………………………………………………..17

نتیجه گیري ………………………………………………………………………………………………………………………………………..30

  پیوستها

الف-پیوست فصل دوم

الف-1) دستگاه مختصات چرخان……………………………………………………………………………………………………………33

  الف – 2) محاسبه کروشه پواسون ……………………………………………………………………………………………………………37

الف-3) محاسبه سرعت ذره درفضاي ناجابجا…………………………………………………………………………………………38

  الف-4) محاسبه آهنگ تغییر تکانه…………………………………………………………………………………………………………39

ب-پیوست فصل سوم 

ب-1) محاسبه پایستگی      ……………………………………………………………………………………………………………..40

ب-2) محاسبه        که مولد دوران نیست…………………………………………………………………………………….41

ب-3) محاسبه معادله حرکت …………………………………………………………………………………………………………..44

ب-4) محاسبه هامیلتونی ذره……………………………………………………………………………………………………………46

ب-5) محاسبه معادله شعاعی حرکت ذره………………………………………………………………………………………..47

ب-6) محاسبه خروج از مرکز……………………………………………………………………………………………………………48

ب-7) محاسبه معادله دیفرانسیل حرکت………………………………………………………………………………………..49

  ب-8) محاسبه حرکت کلاسیکی کپلر……………………………………………………………………………………………..51

ب-9) محاسبه پیشرفت حضیض عطارد………………………………………………………………………………………….55

منابع ………………………………………………………………………………………………………………….. 62

فصل اول 

معرفی فضاي ناجابجا

  • 1)مقدمه

در حدود 3000 سال از کشف جبرمی گذرد که از آن زمان تا به حال تغییرات زیادي پیدا کرده و به شاخه هاي زیادي تقسیم شده است، یکی از این شاخه ها که مربوط به میدان ها و گروه هاست جبرمجردمی باشد، این جبرخود نیز به دو شاخه جا به جایی و نا جابجایی تقسیم می شود.

هایزنبرگ1اولین کسی بود که تعمیم ناجابجایی بین مولفه هاي مکان را به عنوان یک روش مناسب جهت حذف کمیتهاي نامتناهی که درتئوري هاي میدان ظاهر می شود را مطرح کرد. اولین مقاله دراین زمینه توسط هارتلنداسنایدر2در سال 1947 منتشر شد.در دهه 1980 ریاضیدان هایی بخصوص آلین کانس3هندسه نابجایی را مطرح نمودندکه این مسئله علاوه بر کارهاي دیگر،مطلب ساختار دیفرانسیل را نیز به مجموعه ناجا به جایی اضافه نمودند که منجر به فضا- زمان ناجا به جایی گردید[1 ].

1-2) فضاي ناجابجایی 

تاریخچه مکانیک کوانتومی ناجابه جایی به کارهاي دیراك4 باز می گردد، دیراك پیشنهاد کرد براي اینکه بتوان برخی از پدیده ها در فیزیک(از جمله اثر کوانتومی هال، برهم کنش هاي میدانها درنظریه میدانهاي کوانتومی و…..) را بطور کاملتر توجیه نمود، باید فضا را ناجابجا در نظر گرفت. از طرفی، در تئوریهاي گرانشی همچون ریسمان[15].، که سعی دارد گرانش را کوانتومی نمایند ، در انرژي هاي بالا باید مختصات فضا ناجابجا فرض شود. نظریه میدان کوانتومی ناجا به جایی در طی سالهاي اخیر

در زمینه نظریه ریسمان و اثر کوانتومی هال بارها مورد بررسی قرار گرفته است. ریسمان یک مقدار کوچک انرژي است و هیچ چیزي کوچکتر از این مقدار انرژي نیست.   

در نظریه ریسمان به جاي اینکه هر ذره را مستقل در نظر بگیرند، بصورت رشته اي پیوسته با شکل هاي مختلف در نظر می گیرند، مثلاً الکترون را می توان مانند یک النگو، رشته اي بدانیم که دو سرش به هم گره خورده است [1 ]. علت بوجود آمدن این نظریه ،عدم وحدت بین گرانش و سایر نیروها بود،بنابراین هندسه ناجابه جایی را می توان رهیافتی جدید براي وحدت گرانش با سایر نیرو ها دانست . در دنیاي ما چهار نیرو اصلی به نام هاي الکترومغناطیس، هسته اي قوي ، هسته اي ضعیف و گرانش وجود دارد، سه نیروي اول می تواند در انژري هاي بالا با هم متحد شوند و مشمول یک نظریه واحد گردند، که اصطلاحاً می گویند این سه نیرو در انرژي هاي بالا تقارن دارند و در انرژي هاي معمولی دچار شکست تقارن خود بخودي می شوند. اما چهارمین نیروي اصلی یعنی گرانش دو مشکل اساسی دارد ،نخست وحدت نیافتن با سه نیروي دیگر، و دوم اینکه اگرذرات را نقطه اي در نظر بگیریم ، سطح مقطع بر هم کنش نیروي گرانش بین دو ذره نقطه اي که به هم نزدیک می شوند طبق مکانیک کوانتومی بی نهایت بدست می آید.از این رو ذرات بصورت ریسمان هاي یک بعدي در نظر گرفته شدند. مثلاً الکترون یا کوارکها همگی ریسمان هاي بسته و حلقوي با شکل هاي مختلف اند[1 ].

نظریه ریسمان ادعا می کند که دنیاي ما ،ده بعدي است، یعنی نه بعد مکانی و یک بعد زمانی دارد که این بر خلاف تجربیات ماست. یعنی فکر می کنیم که در دنیاي ما سه بعد مکانی و یک بعد زمانی وجود دارد ،به همین دلیل در نظریه ریسمان چنین توجیه می شود که شش بعد اضافه در واقع در دنیاي ما وجود دارد که فشرده اند،فشرده شدن  مانند این است که یک میله از فاصله دور بصورت یک بعدي می بینیم اما از نزدیک بصورت استوانه اي دوبعدي است. طول ریسمان ها درحد مقیاس پلانک نیز در حدود 33 10 می باشد. ریسمان ها میلیون ها باراز هسته کوچکترند[1 ].

امروزه علاوه بر نظریه ریسمان ، مفاهیم بسیاري درفضاي ناجابه جایی موردتوجه ومطالعه قرار گرفته اند، از جمله می توان به نظریه اختلال و غیر اختلالی در نظریه میدانها اشاره کرد. ناجابه جایی فضا در انرژي هاي بسیار بالا، که دلالت بر مقادیر بسیار کوچک پارامتر ناجابه جایی دارد مورد توجه است. در برخی از موارد که پارامتر ناجابه جایی داراي مقادیر بزرگی می باشد ،می توان مسئله رابا توجه به نظریه اختلال حل نمود.

اغلب تحقیقاتی که در مورد مکانیک کوانتومی ناجابه جا انجام شده، بصورت بسطی از مدل استاندارد آن یعنی مکانیک کوانتومی در فضاي معمولی می باشد. می توان فرض کردکه مکانیک کوانتومی ناجابه جا یک تعمیم کلی از مکانیک کوانتومی استاندارد است که در آن عملگرهاي مکان  مربوط به مختصه ها با هم جابه جا نمی شوند[ 2].براي بررسی مکانیک کوانتومی ناجابه جا میتوانیم کل فضاي فاز در مکانیک کوانتومی را ناجابه جا فرض کنیم. در فضاي هیلبرت حالتی را در نظر می گیریم که مولفه هاي مکان با هم جابه جا نشوند ،در این صورت داریم:

این رابطه را می توان رابطه اساسی مکانیک کوانتومی ناجابه جا قلمداد کرد. در رابطه بالا              ماتریس ناجابه جایی فضا می باشد. ماتریس ناجابه جایی فضا را نیز می توان بصورت زیر نشان داد:که در این رابطه           پارامتر ناجا به جایی است و داراي بعد طول به توان دو(2[ ]) می باشد.اگر دقت شود واضح است که در حد  هاي خیلی کوچک (  0      θ ) مکانیک کوانتومی ناجا به جایی به سمت مکانیک کوانتومی معمولی میل می کند.تانسور      را میتوان به صورت زیر نوشت :

در بیشتر معادلات براي از بین نرفتن همسانگري  فضا ،مولفه هاي 1 و2 و3 را یکسان  فرض می کنند و برابر می گیرند که در این صورت تانسور بصورت زیردر خواهد آمد:

در بعضی از مقاله ها ممکن است که عنصر 12 را برابر 1+ قرار داده باشند که بطور کلی در محاسبات تغییر محسوسی ایجاد نمی شود. ماتریس  با توجه به شرایط مسئله مورد مطالعه، تعیین می شود بعنوان مثال : اگر مولفه هاي z,y باهم جابه جا شونددر اینصورت عنصر23 و32 صفر است. با توجه به رابطه(1-2 )می توان اظهار داشت که تانسور ناجا به جایی یک تانسور پادمتقارن است [18].

از مقایسه رابطه (1-8)،(1- 9)می توان نتیجه گرفت : − =

روابط بنیادي مکانیک کوانتومی ناجابه جایی ،که در آن عملگرهاي مکان جابه جا نمی شوند، نیز بصورت زیر است: 

نیک کوانتومی ناجابه جایی جبر حاکم بر آن متفاوت با جبر مکانیک کوانتومی معمولی است، بنابراین بجاي ضرب معمولی بین توابع از یک ضرب ستاره ( مویال – وایل )1 استفاده می شود [4]. براي دو تابعfوgکه بی نهایت بار مشتق پذیرند داریم:

در این فصل سعی نمودیم بطور خلاصه فضاي ناجابه جا را معرفی نمائیم . در ادامه قصد داریم قانون دوم  نیوتون را در فضاي نابه جایی مورد بررسی قرار دهیم .خواهیم دید که قانون دوم نیوتون در این فضا داراي یک جمله تصحیحی می باشد که به پارامتر ناجابه جایی و پتانسیل مسئله بستگی دارد. سپس قانون دوم نیوتون اصلاح شده را براي نیروهاي مرکزي مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم و خواهیم دیدکه یکی از جملات تصحیحی شبیه نیروي کوریولیس عمل می کندو جمله تصحیحی دیگر نیز به صورت یک نیروي نالخت در دستگاه چرخان می باشد . درانتها معادله قانون دوم نیوتون اصلاح شده را براي مسئله کپلر مورد بررسی قرار می دهیم و در واقع می خواهیم با استفاده از این معادله ، مدارهاي سیارات را بررسی کنیم . با توجه به پتانسیل مسئله و هامیلتونین سیستم معادله شعاعی حرکت را بدست می آوریم و آنرا حل می کنیم و از روي این معادلات ، شرایط انحراف حضیض یک سیاره را بدست می آوریم. به عنوان یک مثال، میزان انحراف حضیض سیاره عطارد را دراین فضا مورد مطالعه قرارمی دهیم وسعی می کنیم با استفاده از داده هاي تجربی حد بالایی براي پارامتر ناجابجایی فضا برآورد نمائیم.

فصل دوم 

قانون دوم نیوتون درفضاي ناجابه جا

2-1)مقدمه:

همانطوریکه در فصل قبل ذکر شد، یکی از موضوعاتی که در سالهاي گذشته مورد توجه فیزیکدانان قرار گرفته، مطالعۀ فضاهاي ناجابه جایی است. این فضاها به گونه اي تعریف می گردند که رابطه ناجابه جایی زیر بین عملگرهاي مختصاتی آنها برقراراست:

پارامتر ثابت ناجابه جایی باℏ  مشخص می شود که حقیقی و نامتقارن است، ویکایی از جنس سطح دارد.به دلایل مختلفی فیزیکدانان به این فضا ها علاقمند شده اند، براي مثال ، اثرهال کوانتومی که یکی از مهم ترین سیستم هاي مطالعه شده در ماده چگال است، ناجابه جایی  رادر مختصات و تکانه کانونیک مطرح می نماید [2].

از طرف دیگر، در تئوري ریسمان نیز در اطراف ریسمانهاي باز و در مختصات دي برین ها1ناجابه جایی ظاهر می شوند  [3]. همچنین می توان یک تئوري میدان جدید ساخت اگر ضرب استاندارد بین میدان را با ضرب استار (وایل – مویال) جایگزین کرد.در این تئوري برخی نتایج جا لب دیده شده است [4] . براي مثال نشان داده شده است که رابطه اي بین واگرایی فروسرخ و فرابنفش در فیزیک ذرات وجود دارد. حال، با فرض قواعد جابه جایی زیر، می توان یک مکانیک کوانتومی جدیدي ساخت.


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی ازقانون دوم نیوتن و مسئله کپلر در فضا ناجابجا

ل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید