فهرست مطالب

فصل اول:مقدمه

مطالعه سطوح کاتورهای به بسیاری از عرصه های فیزیک (تجربی و نظریه) از مدل غشاءهای زیستی تا نظریه ریسمان سرایت کرده است. توصیف رشد کریستال، لبههای ترک ها در علم مواد و امواج تپهای تلاطم نمونه های کوچکی از کاربردهای سطوح کاتورهای میباشند. اگرچه معادله حاکم بر بسیاری از این پدیدهها، شناخته شده و خوش تعریف میباشد، اما این سوال همچنان باقی است که چگونه این پدیدهها را می توان توصیف کرد. در واقع این سوال که چه چیزی را باید حساب کنیم، همچنان جزء مسائل باز و به طور کامل حل نشده فیزیکدان هاست. وجود خوشه های (غالباً) مقیاس ناوردا و همچنین وجود افت و خیزهای بسیار بزرگ در فرایند تحول سطح، یادآور افت و خیزهای بحرانی در سیستم های تعادلی است. لذا طبیعی ا ت که سطح را توسط نماهای بحرانی مانند بعد مقیاسی کمیتهای ماکروسکوپی، توصیف و طبقه بندی کنیم. مطابق سیستم های بحرانی، اگر سیستمها دارای نماهای مقیاسی یکسانی باشند، میگوییم این ها در یک کلاس جهانشمولی قرار دارند. اما به طور کلی شاهدهای ما برای دانستن اینکه دو مدل در یک کلاس جهانشمولی قرار دارند، چیست؟ روشهای متفاوتی برای این مهم ممکن است وجود داشته باشد. شاهد مستقیم این است که دو مدل دارای سیستم نقطه ثابت ” یکسانی باشند. شاهد دیگر این است که دو مدلی که در یک بعد فضایی تعریف شدهاند، دارای تقارن یکسان و برد برهمکنشی یکسان باشند. این روش برپایه باز مقیاس کردن جمله های ” مختلف و مشاهده تغییرات این جمله ها در حد هیدرودینامیکی است. روش سوم، کاربردهای دیگر سطح را می توانید در فصل ۴ ببینید.

شبیه سازی های گسترده به منظور مقایسه نماهای بین دو سیستم می باشد. ” حال که می خواهیم با الهام از پدیدههای بحرانی، مدل های رشد سطح را طبقه بندی کنیم، لذا گفتن مقدمه ای از پدیده های بحرانی و دانستن ابزارهای مورد استفاده، خالی از لطف نیست. مفهوم پدیده بحرانی همواره با گذار فاز عجین است. گذار فاز از جمله رویدادهای بسیار برجسته در فیزیک میباشد. بدین معنی که یک تغییر جزئی در پارامتر محیطی مانند دما یا میدان مغناطیسی خارجی، می تواند تغییرات عظیمی در خواص ماکروسکوپی سیستم ایجاد کند. به طور مثال می توان از گذار مایع گاز و گذار خودبهخودی در فرومغناطیسی نام برد. علاوه بر این ها، بسیاری نمونههای دیگر در طبیعت مشاهده شده اند و مدت زمان مدیدی است که فیزیکدان ها در جستجوی توضیحی برای این نوع رویدادها میباشند. می توان برای توصیف گذار فاز یک (و یا چندین) پارامتر نظم تعریف کرد، به طوری که این کمیت در یک سمت گذار فاز صفر و در سمت دیگر غیر صفر شود. برای آهن ربا می توان مغناطش را به عنوان پارامتر نظم انتخاب کرد و برای مایع-گاز، اختلاف چگالی بین دو فاز را پارامتر نظم سیستم انگاشت. در حین گذار فاز، پارامتر نظم می تواند به صورت ناپیوسته و یا پیوسته تغییر کند. به مورد اول، گذار فاز مرتبه اول و به مورد دوم، گذار فار مرتبه دوم میگویند. در گذار فاز مرتبه اول، گرمای نهان نقش مهمی بازی می کند. در نقطه گذار در حالی که دما ثابت می باشد، سیستم مقداری انرژی جذب یا می کند. گذاریخ به آب و یا برعکس در دمای T و یا چگالش بوز-انیشتین، نمونههای شناخته شده این نوع گذار می باشند. در گذار مرتبه دوم، گرمای نهان نقشی ندارد. به طور تجربی یافت شده است که نزدیک گذار فاز پیوسته، بسیاری از کمیتهای مشاهدهپذیر، تابع توانی از پارامترهای سیستم با توان غیر صحیح می باشند. به این توانها، نماهای بحرانی گفته میشود. به طور مثال، پارامتر نظم درست پایینتر از دمای گذار به صورت (T-T) رفتار می کند. همچنین مشاهدهپذیرهای دیگر مانند ظرفیت گرمایی و یا پذیرفتاری مغناطیسی در نزدیکی T به صورت واگرا می شوند. به علاوه، لفظ جهانشمولی برای این نماها وقتی کاربرد دارد که سیستم های بحرانی متفاوت دارای نماهای بحرانی دقیقاً یکسانی باشند. جهانشمولی به ما این اجازه را می دهد که تناظری بین دو سیستم متفاوت و گذارهای فار مختلف “البته این روش تا حدی ممکن است مشکل ساز باشد، چون همه ی سودمندی مفهوم کلاس جهانشمولی این است که با توجه به نماهای مربوط به یک مدل، نماهای مربوط به یک مدل همکلاس را پیش بینی کند. اما این تنها نیمه خالی لیوان است: هنوز این روش در عمل و در بعضی موارد بسیار کارآمد میباشد. liquid-gas latent heat “Bose-Einstein condensation  ویژگی دیگر این گذار، طول همبستگی محدود می باشد.

ایجاد کنیم. از نظر نظری، این تناظر به این منجر می شود که رفتار در نزدیکی نقطه بحرانی می تواند توسط تعداد کمی پارامتر معین، تشریح شود و بسیاری از جزئیات میکروسکوپی سیستم در نزدیکی نقطه بحرانی بی اثر و بی ربط می شوند. این واقعیت روشن میسازد که نماهای بحرانی تنها توسط بعد سیستم، بعد و تقارن های پارامتر نظم (و البته برد برهمکنشی) وابسته است. لذا موجه است که چرا برای بررسی رفتار بحرانی یک سیستم از مدلهای ساده ای استفاده کنیم که در آن تمام جزئیات برهمکنش ها، نادیده گرفته شدهاند. مدل های سادهای مانند آیزینگ، پاتس q حالته و (O(n در زمره مدل های تشریح کننده رفتارهای بحرانی سیستمهای متفاوت می باشند. می توانید جزئیات این مدلها را در بخشهای ابتدایی فصل ۳، ببینید. مفهوم جهانشمولی در جایی بیشتر قابل استفاده است که با سیستم هایی مواجه باشیم که حل دقیق آن ها بسیار سخت می باشد، اما میدانیم که این سیستم در کلاس یکی از مدلهای ساده کاملاً حل پذیر قرار دارد. در این صورت، می توان کمیتهای مطلوب مربوط به آن سیستم پیچیده را به دست آورد. رفتار سیستم حول و حوش گذار فاز، تابع افت و خیزهای داخل سیستم میباشد. وقتی از ناحیه فاز نامنظم به نقطه بحرانی نزدیک میشویم، این افت و خیزها گرایش به همبستگی بیشتر و بیشتر نشان میدهند. طول – مقیاسی ( مربوط به این همبستگی که به آن طول همبستگی میگویند، در حین نزدیک شدن به نقطه بحرانی، به بی نهایت میل می کند (برای سیستمهای با طول محدود، به اندازه طول سیستم را می شود). این ویژگی در نقطه بحرانی، منجر به تعریف طول بازمقیاسی به عنوان ابزاری برای مطالعه پدیدههای بحرانی و سرانجام منجر به تدوین گروه بازبهنجارش توسط ویلسون شد. بنای این رهیافت بر این پایه است که اگر ما به سیستم در مقیاس های بزرگ و بزرگ تر نگاه کنیم، طول همبستگی به طور متوالی کاهش مییابد. دور از نقطه بحرانی طول همبستگی محدود است و عمل باز مقیاسی، ما را از نقطه گذار دورتر میکند، اما درست در نقطه بحرانی، طول همبستگی بی نهایت میباشد و سیستم تحت باز مقیاس ناورد است. فرض ناوردایی مقیاسی، منجر به توسعه تکنیکهای مختلف به منظور محاسبه نماهای بحرانی و دیگر کمیتهای قابل مشاهده مربوط به رفتار بحرانی، مانند توابع همبستگی شد. یکی از این تکنیکها، روش گاز کولنی است  که نتایج دقیق را مشروط به یک سری فرض های کیفی معین، ارائه می دهد.

پیشرفت دیگر ناشی از مطالعه بر روی سیستم هایی بود که علاوه بر ناوردایی تحت بازمقیاس سرتاسری، به صورت موضعی نیز ناوردا بودند. به این معنی که سیستم می تواند توسط ضریبی باز مقیاس مختلف دارد. همچنین نشان داد که اگر ولگشت حلقه برداشته ” دارای حد پیوستار باشد و این حد ناوردای همدیسی باشد، در آن صورت می بایست توسط SLE بیان شود. او همین حدس را در مورد پرکولاسیون بحرانی با SLE و درختهای پوشاننده یکنواخت  با SLE به کاربرد . حدس شرام در مورد ولگشت حلقه برداشته و درخت های پوشاننده یکنواخت، بعدها توسط لولر” اثبات شد.از سویی دیگر، اسمیرنف ” با روشی متفاوت نشان داد که حد پیوستار مربوط به مدل پرکولاسیون سایتی بر روی شبکه مثلثی وجود دارد و دارای تقارن همدیس می باشد .لذا با ۶ SLE ارتباط ایجاد کرد. اعتقاد بر این است که بسیاری از مدل های دیگر نیز (مانند ولگشت خودپرهیز، پاتس q حالته و (O(n) در دو بعد دارای تقارن همدیسی در حد پیوسته می باشند که توسط یک SLE, c با R معین، توصیف می شوند. از طرفی از دیدگاه فیزیک نظری بسیاری از این نتایج را میتوان با استفاده از نظریه میدان همدیس گاهی شاید به روش سادهتر به دست آورد. در نظریه میدان همدیس مربوط به مدل (O(n، نقطه ای که یک منحنی تصادفی، مرز ناحیه را لمس می کند، معادل قرار دادن یک عملگر موضعی در آن نقطه است که دارای خواص ویژه و ساده ای است و توابع همبستگی آن در معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم صدق می کند [۱۴). این معادلات مستقیماً به معادلاتی نظیر معادله فوکر پلانک ” مربوط می شوند که از فرایندهای بروانی به دست می آیند. این ارتباط، باعث تقویت رابطه بین SLE و CFT گردیده است که به طور صریح در مقالات ارائه شده توسط برنارد و باورمورد بررسی قرار گرفته است. همچنین نشان دادند که رابطه مستقیم بین بار مركزى هدر نظره میدان همدیسی و ثابت پخش با وجود دارد. دیدگاه نظریه SLE راه جدیدی را برای مطالعه سیستم های پیچیده به ویژه از نقطه نظر جنبه های هندسی سیستم ها باز نمود. به گونهای که ارتباط بسیاری از سیستم ها از قبیل تلاطم شیشه های اسپینی و دیگر مسائل فیزیکی با مدلهای آماری بحرانی شناخته، به خوبی توصیف گردید. از بین تمامی مدل ها، سطوح کاتورهای یکی از مسائل مهم فیزیک نظری و فیزیک ماده چگال است که گسترهای از پدیدههای مختلف را میتوان به آنها نگاشت. بسیاری از سطوح دارای تقارنهای مختلف از جمله تقارن های انتقال، دوران و یا مقیاس هستند ولی به دلیل پیچیدگیهای نظریه در مطالعه این مدلها، دست یافتن به تقارنهای اساسی و بالاتر تقریباً ناممکن می نمود. مطالعه بسیاری از جنبه های پنهانی سطوح نظیر برش های سطحی و خطوط هم ارتفاع مربوط به سطوح گاوسی در سالهای اخیر مورد توجه قرار گرفته است . این مطالعات ارتباط بین بسیاری از نماهای مقیاسی مرتبط با خطوط و خوشه های هم ارتفاع را با نماهای توصیف کننده زبری سطوح مشخص نموده است. با داشتن ناوردایی مقیاس برای چنین خطوطی و درنظر گرفتن تقارنهای انتقال و دوران در یک آنسامبل آماری از این سطوح، حدس نظریه میدان های همدیسی به وجود تقارن همدیسی در این خطوط تقویت می شود. البته یک چنین حدسی همواره قابل اعتماد نبوده، چرا که مثالهای نقضی در طبیعت وجود دارند که علی رغم وجود هر سه تقارن ذکر شده در آن ها، فاقد ناوردایی همدیس میباشند . لذا به کمک نظریه SLE امکان حمله به این دسته از مسائل ممکن گردید. البته شرام و شفیلد به طور تحلیلی نشان داده بودند که خطوط مرزی در مدل گسسته مربوط به میدان آزاد گاوسی ” (GFF) دو بعدی، توسط  SLE بیان می شود . مباحث اصلی این پایان نامه در راستای ارتباط بین SLE و سطوح کاتورهای است که ادامه کار صابری و روحانی می باشد . در این پایان نامه، ابتدا به نظریه میدان همدیسی و سپس به طور مشخص به جبر گروه همدیس دو بعدی میپردازیم. سپس در فصل ۳ به تحول شرام-لونر و ارتباط آن با نظریه میدان همدیس خواهیم پرداخت. فصل ۴ به فرایند کیفی و کمی رشد سطح اختصاص دارد. فصل ۵ به بعد در راستای مقالات و کارهای انجام شده ما می باشد. در فصل ۵ به بررسی مدل های گسسته رشد سطح مانند Edon” ،BD و RSOS” میپردازیم و با شبیه سازی های گوناگون و شاهدهای مختلف نشان خواهیم داد که این سه در کلاس جهانشمولی ولگشت خودپرهیز” (SAW) قرار دارند، به طوری که منحنی های هم ارتفاع آنها توسط ۸/۳ SLE توصیف می شوند. در فصل ۶ به مدل تک قدم (SSM) خواهیم پرداخت. این مدل، حالت کلی تری از سه مدل مذکور می باشد و توسط پارامتر قابل تغییر p، کلاس های متفاوتی را در فضای فاز نشان میدهد و همچنین نشان خواهیم داد که تنها منحنی هایی که با شرایط مرزی ثابت از یک نقطه شروع می شوند، دارای خواص SLE استاندارد میباشند. در فصل ۷ به کارهای دیگرمان از جمله کاربردهای SLE در مدلهای خود سامانده بحرانی، اشاره خواهیم نمود و در فصل آخر، نتیجهگیری و پیشنهادهای مان را بیان می کنیم.

اسپین های مثبت و منفی روی شبکه اصلی قرار گرفته اند.

اسپین های مثبت و منفی روی شبکه اصلی قرار گرفته اند.

فصل دوم:نظریه میدان همدیس

در فصل قبل تا حدی با پدیدههای بحرانی آشنا شدیم و دیدیم که وقتی یک سیستم آماری به نقطه بحرانی نزدیک می شود، طول همبستگی بی نهایت می شود و در نتیجه اثر افت و خیزها در تمام مقیاسهای ممکن مشهود است. میتوان نشان داد که در این ناحیه، نظریه میدان کوانتمی که سیستم آماری را توصیف می کند، بدون جرم می باشد و تحت تبدیل مقیاسی ناورد است. به طور کلی می توان گفت که اگر سیستمی دارای برهمکنشهای کوتاه برد باشد و تحت تبدیل دوران، انتقال و مقیاس سرتاسری (P – A.C.) ناوردا باشد، سیستم تحت گروه بزرگ تر همدیس نیز ناورد است و یا به عبارتی دیگر، تحت تبدیل مقیاس موضعی . از  نیز ناو راداست. چنین سیستم هایی در نقطه بحرانی با یک نظریه میدان های همدیس توصیف می شوند. این نظریه اولین بار توسط بلاوین، پولیاکوف و زامولود چیکوف ( در سال ۱۹۸۴) بنا نهاده شد.آنها نشان دادند که با استفاده از تقارن همدیس می توان تعداد زیادی از کلاس های جهانشمولی مختلف در دو بعد را دسته بندی کرده و خواص فیزیکی شان را به دست آورد. در این فصل ابتدا مروری بر این نظریه در d بعد خواهیم داشت سپس به طور دقیقی تر به مورد خاص ۲ = d (به خاطر پراهمیت بودن بدین علت که در این بعد، گروه تبدیلهای همدیس بی نهایت پارامتر دارند) خواهیم پرداخت. برای مطالعه بیشتر میتوان به ۶، ۳۵-۳۹) مراجعه نمود.

2-1-تبدیل های همدیس دربعد دلخواه   8

2-2-تبدیل های همدیس در دوبعد  10

2-2-1-میدان های اولیه 12

2-2-2-توابع همبستگی 13

2-2-3-تانسور انرژی تکانه واتحاد وارد     15

2-2-4-بسط ضرب عملگری 17

2-2-5-بارمرکزی وجبر ویراسورو 18

2-2-6-فضای هیلبرت حالت های همدیس 20

2-2-7-میدان های دودمانی 22

2-2-8-دترمینان،کچ،بردارهای تکین ومدلهای کمینه  24

برج همدیس

برج همدیس

فصل سوم:تحول شرام-لونر

در این فصل به بررسی کیفی و کمی خطوط تصادفی می پردازیم که از مدل های شبکه ای بحرانی استخراج می شوند. برای نائل شدن به این هدف، ابتدا احتیاج به مطالعه تحول لوئر داریم. لوئر در دهه ۱۹۲۰ نشان داد که هر منحنی در دو بعد (با فرض اینکه خود را قطع نکند و به طور پیوسته رشد کند) می تواند با یک فرایند دینامیکی به نام تحول لونر توصیف شود . او به جای بررسی مستقیم منحنی، به نگاشت همدیسی که ناحیه بیرون منحنی را به یک ناحیه معین تصویر میکرد، پرداخت و نشان داد که این تحول و در نتیجه کل منحنی توسط یک تابع حقیقی پیوسته + a) مشخص میگردد. بعدها شرام نشان داد که اگر اندازه منحنی (در بخشی های بعدی دقیقی تر مشخص میکنیم) تحت تبدیل همدیسی ناوردا باشد، تابع ,a) تنها می تواند متناسب با حرکت براونی استاندارد یک بعدی باشد که با یک پارامتر آزاد * مشخص میگردد . این تحول در ابتدا با نام تحول تصادفی لوئر” شناخته شده بود اما به خاطر دست آوردهای شرام (بعد از فوت او در سال ۲۰۰۸)، به تحول شرام – لونر” (SLE) معروف شد. مطالعات فراوانی توسط ریاضیدان ها  و هم فیزیکدان ها  در این حیطه انجام شده است که اکثر آنها سروکار با حساب تصادفی و محاسبات طولانی دارند. ما در این فصل تنها به خلاصه ای از مطالب مهم می پردازیم. در بخش ابتدایی این فصل، چند مدل آماری شبکه ای را مورد مطالعه قرار داده و روش استخراج منحنی های بحرانی را شرح خواهیم داد. سپس به تحول لونبر و همچنین تحول شرام-لونبر که توصیف کننده رفتار این منحنی های بحرانی است، می پردازیم. در نهایت نیز ارتباط بین این تحول و نظریه میدان همدیسی را بیان خواهیم نمود.

3-1-مدلهای شبکه ای ومنحنی های تصادفی 29

3-1-1-مدل آیزینگ 29

3-1-2-مدلO(n)ا    33

3-1-3-مدل پاتس 35

3-1-4-ولگشت خودپرهیز وحلقه برداشته 36

3-2-تحول لونر 41

3-3-تحول شرام-لونر 44

3-4-ویژگی های تحول شرام-لونر 48

3-4-1-انواع مختلف 48

3-4-2-فازهای مختلف 51

3-4-3-خاصیت های موضعیت ومحدودیت 52

3-4-4-بعد فراکتالی 54

3-4-5-احتمال گذر ازچپ     56

3-4-6-احتمال عبور 57

3-4-7-خاصیت دوگانگ 59

3-5-ارتباط تحول شرام-لونر با نظریه میدان همدیس 59

بسط دمای بالای تابع پارش هندسی مربوط به مدل آیزینگ

بسط دمای بالای تابع پارش هندسی مربوط به مدل آیزینگ

فصل چهارم:رشد سطح

فرایند رشد و سطوح زبر از موضوعات بسیار جالب و مهم در علم فیزیک (نظری و تجربی)، شیمی و  زیست شناسی می باشند . از کاربردهای مهم آنها می توان به توصیف پدیده هایی مانند: رشد لایه های نازک به وسیله لایه نشانی تبخیری یا شیمیایی لبه ترکها در علم مواد  رشد باکتری رشد یاخته های عصبی  انتشار آتش جنگل ۹۳، لبه کاغذ خیس شده و یا سوخته شدهامواج تپه ای تلاطم ، پیرامون ابرها شارش شاره ها در محیط متخلخل شکست دی الکتریک و بسیاری پدیدههای دیگر اشاره کرد. متناظر با این پدیدهها که مربوط به رشد خوشه ها و رشد سطح می باشند، یک سری مدل های گسسته برای توصیفشان پیشنهاد شده است که سادهترین آن ها، لایه نشانی تصادفی و مدلهای پیچیدهتر از جمله CCA ،DLA” ،DPD ” ،SOS ، ،BDو غیره می باشند. در تمام مدل های مذکور، فرایند رشد، موضعی بوده ” به جز مدل های DLA و CCA) که فرایند رشد غیر موضعی است [۱۰۴-۱۰۷] و در نتیجه نظریه ای کاملاً متفاوت دارد. ما در این رساله، تنها به مدلهای موضعی می پردازیم. اعتقاد بر این است که این مدل ها در زمره فراکتال های خود تشابه و یا چند تشابه قرار دارند. ابتدا به توصیف کیفی و کمی سطوح زبر می پردازیم و روابط مقیاسی حاکم را بیان می کنیم. در نهایت با ویژگی های خطوط هم ارتفاع فصل رابه پایان می برم.

4-1-سطوح زیر  65

4-2-روابط مقیاسی 66

4-3-معادلات پیوسته 68

4-3-1-معادله EWا    69

4-3-2-معادله KPZا   72

4-4-خواص سطوح زیر 73

4-5-انحناء مقیاس وابسته 75

4-6-آمار حلقه های هم ارتفاع 76

4-6-1-بعد فراکتالی 77

4-6-2-تابع توزیع طول 77

4-6-3-تابع همبستگی حلقه 79

4-6-4-روابط مقیاسی  79

تبدیل همدیس که برروی شبکه مربعی اثرکرده است

تبدیل همدیس که برروی شبکه مربعی اثرکرده است

فصل پنجم:طبقه بندی مدل های رشد سطح دوبعدی

در این فصل به طبقه بندی سه مدل گسسته رشد سطح RSOS،BD” و Eden می پردازیم. در واقع این فصل تشریحی از کارمان در  میباشد. ابتدا به تعریف مدل ها می پردازیم. سپس روش استخراج خطوط هم ارتفاع و همچنین روش محاسبه آمارهای مختلف و شاهدهای مختلف مربوط به همدیس بودن این خطوط، ارائه خواهیم داد. در نهایت جزئیات شبیه سازی مان را شرح خواهیم داد. در واقع نشان خواهیم داد که آمار این خطوط هم ارتفاع در کلاس جهانشمولی ولگشت خود پرهیز (SAW) قرار دارند.

5-1-مدل های گسسته     82

5-2-خوشه ها وخطوط هم ارتفاع   88

5-3-نماهای سطح  90

5-4-شواهد SLEا 90

5-4-1-بعد فرکتالی 91

5-4-2-احتمال گذر ازچپ   93

5-4-3-زاویه پیچش 94

5-4-4-تست مستقیم   98

5-5-نتیجه گیری 103

دیواره ناحیه ای مربوطبه مدل آیزینگ بر روی شبکه ای به طول بی نهایت که تنها بخشی از آن نمایش داده شده است.

دیواره ناحیه ای مربوطبه مدل آیزینگ بر روی شبکه ای به طول بی نهایت که تنها بخشی از آن نمایش داده شده است.

فصل ششم:خواص مقیاسی مدل تک قدم

در این فصل، مدل تک قدم (SSM) که نوعی دیگر از مدل SOS است را مورد بررسی قرار خواهیم داد.در این مدل، پارامتر قابل تنظیم  نقش اساسی در تعیین خواص مقیاسی و نماهای مقیاسی مربوط به سطح و خطوط هم ارتفاع دارد. ویژگی منحصربفرد این مدل این است که بر خلاف سه مدلی که در فصل ۵ مورد مطالعه قرار دادیم، هم فرایند نشست و هم فرایند تبخیر می تواند اتفاق افتد. لذا مدلی واقعی تر و کامل تر می باشد. از طرفی دیگر می توان این مدل را به طور مستقیم به مدلهای آماری شناخته شده تصویر کرد.ابتدا به تعریف و خواص مدل تک قدم خواهیم پرداخت و سپس نشان خواهیم داد که آمار خطوط هم ارتفاع این مدل به ازای در کلاس SAW قرار دارد. اما برای مقادیر دیگر p باید به نکاتی توجه کرد که در بخش های بعدی دقیق تر به این مسئله خواهیم رسید. در واقع این فصل بیانگر جزئیات کارمان درمیباشد.

6-1-SSM یک بعدی 105

6-2-SSM دوبعدی  111

6-3-نماهای سطح 114

6-3-1-انحنای مقیاس وابسته 114

6-3-2-نماهای سطح 115

6-3-3-نمای زبری موثر 117

6-4-آمار مربوط به خوشه ها وحلقه ها    119

6-4-1-بعد فراکتالی 120

6-4-2-نماهای توابع توزیع  121

6-4-3-وابستگی نماها به ارتفاع برش     123

6-5-شواهد SLE برای خطوط هم ارتفاع 124

6-6-نتیجه گیری 132

روش استخراج ولگشت حلقه برداشت از مسیر یک ولگشت ساده

روش استخراج ولگشت حلقه برداشت از مسیر یک ولگشت ساده

فصل هفتم:کاربردهای دیگر تحول شرام-لونر

7-1-خودسامان دهی بحرانی 135

7-2-مدلهای خودسامان ده بحرانی 136

7-2-1-مدل تپه شنی 137

7-2-2-مدل مانا 139

7-3-شبیه سایز   141

نقاط سیاه راس های شبکه اصلی ونقاط توخالی،راس های شبکه دوگان میباشند

نقاط سیاه راس های شبکه اصلی ونقاط توخالی،راس های شبکه دوگان میباشند

فصل هشتم:نتیجه گیری وپیشنهادات

نظریه میدان 148

ناوردایی یک سیستم 148

کوانتش شعاعی     149

تعریف گروه 151

فراکتال ها  152

کتاب نامه 156

فهرست شکلها

2-1-تبدیل همدیس برروی شبکه مربعی   10

2-2-برج همدیس 22

3-1-بسط دمای بالا تابع پارش هندسی مربوط به مدل آیزینگ 31

3-2-شبکه دوگان 31

3-3-بسط دئمایی پایین تابع پارش مربوط به مدل آیزینگ وشبکه دوگان 33

3-4-دیواره ناحیه ای در مدل آیزینگ 34

3-5-مدل پانس وخوشه های FKا 36

3-6-منحنی ولگشت ساده،حلقه برداته وخودپرهیز 38

3-7-روش استخراج ولگشت حلقه برداشته ازمسیر ولگشت 40

3-8-پیکره درتحول لونر 41

3-9-قاعده جمع برای ظرفیت پیکره 42

3-10-تبدیل شکافی برروی یک خط عمودی 43

3-11-تحول لونر 44

3-12-منحنی های به دست آمده از توابع پیش برنده      45

3-13-خاصیت مارکوف ناحیه 46

3-14-نگاشت همدیس برروی یک ناحیه 46

3-15-خاصیت مارکوف وناوردایی همدیس 47

3-16-هندسه شعاعی 49

3-17-هندسه استوانه نیم بی نهایت 50

3-18-هندسه نواری  51

3-19-برخورد منحنی با محور حقیقی 52

3-20-فازهای مختلف SLEا    52

3-21-خاصیت محدودیت 53

3-22-تصویر منحنی ویک دیسک تحت نگاشت شرام-لونر 55

3-23-احتمال گذر یک رد ازسمت چپ یک نقطه 56

3-24-احتمال اتصال بازه به بازه  58

3-25-ناحیه دوگان مربوط به SLEا     60

4-1-بازمقیاس زبری   67

4-2-خطوط هم ارتفاع درمدل تصادفی گاوسی آزاد 76

5-1-قاعده مدل BDا 83

5-2-مناطق فعال مربوط به مدل BDا    84

5-3-یک نمونه سطح رشد داده طبق قاعده BDا  84

5-4-قاعده مدل Edenا 85

5-5-یک نمونه سطح رشد داده شده طبق قاعده Edenا 85

5-6-قاعده مدل RSOSا    87

5-7-یک نمونه سطح رشد داده طبق قاعده RSOSا  87

5-8-برش افقی ازیک سطح 88

5-9-روش استخراج خطوط مرزی خوشه ها 89

5-10-حلقه های هم ارتفاع 89

5-11-خطوط هم ارتفاع روی شبکه کشیده 90

5-12-متوسط طول خطوط هم ارتفاع برحسب اندازه شبکه 92

5-13-احتمال گذر ازچپ 94

5-14-تصویر به نیم صفحه بالا 95

5-15-تعریف زاویه پیچش 96

5-16-زاویه پیچش 97

5-17-تعریف زاویه پیچش برای یک حلقه 98

5-18-نگاشت های شکافی پی درپی 99

5-9-اثرنگاشت شکافی پی درپی بریک منحنی 100

5-20-تست مستقیم SLEا  101

5-21-برحسب Lا   102

5-22-نگاشت برنارد 103

6-1-قاعده مدل تک قدم   106

6-2-سطح یک بعدی مربوط به مدل تک قدم   108

6-3-چگونگی ساخت نمایش شش راسی 112

6-4-نمایش شش راسمی مربوط به مدل تک قدم در لحظهt=0ا   113

6-5-قاعده تحول مدل شش راسی 113

6-6-حالت های ممکن شش راسی 113

6-7-ممان دوم انحناء مقیاس وابسته برحسب pا 115

6-8-سه نمودار برحسب pا 116

6-9-نمودار زبری برحسب زمان به ازایp=0/3ا 116

6-10-رابطه نماهای سطح با pا   117

6-11-نمای زبری موثر برحسب 1/Lا  118

6-12-خوشه های هم ارتفاع  119

6-13-نمودار طول حلقه برحسب شعاع 121

6-14-نماهای مقیاسی خوشه ها وحلقه برحسب Pا   123

6-15-تابع توزیع شعاع ژیراسیون 124

6-16-نماهای مربوط به تابع توزیع خوشه ها وحلقه های هم ارتفاع 125

6-17-نمای TMا  126

6-18-نمایTiا  126

6-19-طول خطوط پوشاننده برحسب اندازه شبکه 127

6-20-واریانس زاویه پیچش برحسب in/Lا    128

6-21-تطابق دونمودار بیانگر بعد فراکتالی 129

6-22-تابع پیش برنده واحتمال گذر ازچپ  130

6-23-دیوار نواحی مربوط به مدل آیزینگ با شرایط مرزی متفاوت 131

6-24-مقایسه شار مربوط به نمای زبری موثر   132

7-1-قاعده مدل تپه شنی آبلی138

7-2-نواحی فروریزش کرده در ASMا 138

7-3-توابع توزیع مربوط به مدل ASMا    139

7-4-قاعده مدل مانا دوحالته           140

7-5-نواحی فروریزش کرده درمدل مانا      140

7-6-تولید امواج درفرایند یک بهمن 142

7-7-انتشار موج های پیاپی دریک بهمن 143

7-8-طول برحسب شعاع ژیراسیون 143

7-9-احتمال گذر ازچپ  144

فهرست جداول

2-1-حالت های دودمانی  24

3-1-مدلهای شبکه ای و SLEا  63

5-1-نماهای سطح گزارش شده توسط مقالات مختلف 87

5-2-نماهای سطح مربوط به سه مدل گسسته  91

5-3-بعد فراکتالی مربوط خطوط هم ارتفاع  93

5-4-احتمال گذر ازچپ وثابت پخش 93

5-5-زاویه پیچش وثابت پخش 96

6-1-بعد فراکتالی خوشه ها وحلقه های هم ارتفاع  122

6-2-نماهای مربوط به توابع توزیع خوشه ها وحلقه های هم ارتفاع برحسب pا  122

6-3-بعد فراکتالی خطوط پوشاننده 128


Abstract

Rough surfaces and growth process are the important and significant problems of theoretical and condensed matter physics to model phenomena ranging from the extremely small (biological phenomena) to largest one (Earth’s relief). Although the equations that describe these processes are well defined, but the question of how to characterize these surfaces which display large fluctuations, is open. The existence of (often) scale invariant clusters and very large fluctuations in surface growth process are reminiscent of critical fluctuations in equilibrium systems. Therefore, it is natural to try characterizing the surface by means of critical exponents, i.e., by the scaling dimensions of various macroscopic quantities, The quantities such as surface width and correlation length have scaling exponents, e.g., o, 3 and 3. In the most cases one cannot derive these exponents analytically. The usual way is simulation of surface growth models which often contains large numeric errors. In this thesis, we have introduced another way to study different surface growth models that is based on iso-height lines and classification of interface by statistical properties of these lines. Also, we have shown that if the boundary conditions have been defined nicety and the lines have been extracted accurately, then these contours have conformal symmetry and are described by the SchrammLoewner evolution (SLE), The Schramm-Loewner evolution has provided the possibility of investigation of conformal symmetry in some geometrical patterns of complex systems in continuum limit. This evolution reduces the median of two dimensional critical systems to one dimensional Brownian motiom problem. Futhermore, the diffusion constant of SILE (k) characterizes the universality classes of some of the two dimensional critical systems. We have shown that the statistics of iso-height lines for the three discrete models, i.e., ballistic deposition (BD), Eden and restricted solid-on-solid (RSOS) are in selfavoiding walk (SAW) universality class with k = 8/3. Moreover, we have studied single-step model (SSM) with tunable parameter p and saw that contrary to previous reports, there exists a critical value p, as 0.25, such that for p > p; (p < pe), the SSM lies in the EW (KPZ) universality class.

Keywords: surface growth, iso-height lines, Schramm-Loewner evolution, conformal field theory


تعداد صفحات فایل : 170

مقطع : کارشناسی ارشد

بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

خرید فایل pdf و word

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید