فهرست مطالب

فصل اول

معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه­های ریاضی کاربردی است، که به‌واسطه‌ی تبدیل مسائل معادلات دیفرانسیل با مقادیر مرزی و اولیه به این معادلات ، اهمیت بسیاری دارند. بویس ریموند[1] اولین کسی بود که نام معادلات انتگرال را بروی این دسته از معادلات قرارداد [1] ، ولی در عمل لاپلاس[2] اولین کسی بود که در سال 1782 ، برای حل معادلات دیفرانسیل ، معادله‌ی انتگرال را مطرح نمود[1] . به دنبال آن، فوریه [3] در سال 1811، برای حل مسائل حرارت، آبل[4] در سال 1823، در حل مسائل مکانیکی ، پواسون [5] در سال 1826، در تئوری مغناطیس و لیوویل [6] در سال 1823، در حل برخی معادلات دیفرانسیل، از معادلات انتگرال استفاده کردند . نیومن[7] در سال 18701، مساله ی دیریکله (تعیین تابع f روی سطح S که درمعادله ی لاپلاس صدق کند) ، را تبدیل به یک معادله انتگرال نمود و نیز پوانکاره [8] در سال 1895 ، در بهبود حل معادلات انتگرال بسیار تاثیر گذار بود وی معادله انتگرال را که متناظر با معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئیکه منسوب به معادله ی حرکت موج می باشد ، مورد بررسی قرار داد ولترا[9] در سال 1896، برای اولین بار نظریه ی عمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود[1].در سال 1900 ، ریاضی دان سوئدی به نام فردهلم [10] یک دسته بندی کلی از معادلات انتگرال خطی به فرمرا ارائه نمود که شامل دسته بندی خاص از معادلات ولترا نیز بودند. در  ادامه هیلبرت[11] به تحقیق در مورد معاملات انتگرال پرداخت و برای حل این معادلات، فضای هیلبرت را تعریف نمود[1].یکی از کارهای مهم ایشان ، فرموله کردن مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی با شرایط مرزی و اولیه به صورت یک معادله انتگرال بود و به این ترتیب حرکتی نو در حل این گونه معادلات به وجود آمد. به علاوه اصطلاح نوع اول و دوم که امروزه در معادلات انتگرال به کار می رود، اولین بار توسط هیلبرت پیشنهاد داده شد.بسیاری از مسائل مهم ریاضیات و فیزیک به معادلات انتگرال منتهی می شوند سیستم های دینامیکی هم چون معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال ، کنترل بهینه و غیره  در تمامی زمینه های علوم مهندسی، مدل سازی  و پیش بینی مانند تئوری های آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی به کار می روند. نظر به اینکه حل تحلیلی رده هایی از معادلات انتگرال، به علت پیچیدگی و صرف وقت و هزینه، مقدور نیست یا حل آنها به آسانی امکان پذیر نیست لذا از رویکردهای عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی این رده از معادلات استفاده می کنیم. بنابراین، به کارگیری روش های عددی در حل معاملات انتگرال اهمیت بسزایی دارند که یکی از روشهای عددی متداول و موثر روش تقریب بلوکی است.تعریف 1.1.1 (معادلات انتگرال) به معادلاتی گفته می شود که در ان تابع مجهول، زیر یک یا چند علامت انتگرال ظاهر می شود. فرم کلی یک معادله انتگرال خطی به صورت زیر است.که در آن ، fتابع مجهول و k، g وh توابعی معلوم هستند. تابع  هسته ی معادله ی انتگرال نامیده می شود.  عددی حقیقی یا مختلط و a عددی حقیقی است. در معادله ی فوق ، حد بالایی انتگرال ممکن است عدد ثابت یا متغیر s باشد.[2]

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم

به معادلات انتگرالی که در آنها دامنه ی انتگرال گیری ثابت باشد ، معادلات انتگرال فردهلم گفته می شود این معادلات به سه دسته تقسیم می شوند.

-اگر در معادله ی 1 .2. 0=h(s) باشد، معادله ی انتگرالی فردهلم نوع اول را خواهیم داشت.

-اگر در معادله ی 1. 2 ، 1=h(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم را خواهیم داشت.

-اگر در معادله ی 1 .2 ،1=h(s) و 0=g(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم همگن را خواهیم داشت.

1 .2. 2 معادلات انتگرال ولترا

اگر درمعادله ی 1 .2 کران بالای انتگرال متغیر s باشد، آن را معادله انتگرال ولترا گوییم ، دسته بندی معادلات ولترا مانند دسته بندی معادلات فردهلم می باشد [2].

1 .3 عملگرها

تعریف1. 3. 1 (عملگر) دو فضای برداری vوw را در نظر بگیرید عملگر[12]T ، قاعده ای است که به هر عضو V یک عضو یکتا درW    را اختصاص می دهد.دامنه ی T، زیر مجموعه ای از V است که T برروی آن تعریف می شود و بردT، زیر مجموعه ای از w است که به وسیله ی T تولید می شود.

تعریف 1 .3. 2 عملگر  را یک عملگر تصویر گوییم، اگر برای هر

1 .4 معادلات انتگرال خطی

یک معادله انتگرال، خطی نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت عملگری

نوشت ، که در آن Lیک عملگر انتگرالی است که در معیار کلی عملگر خطی به صورت

صدق می کند.

1 .4 .1 معادلات انتگرال خطی منفرد

معادلات نوع اول یا نوع دوم زیررا که در آن حد پایین ، حد بالا یا هر دو حدود انتگرال گیری نامتناهی باشند، معادلات انتگرال منفرد[13] می نامند. به علاوه اگر هسته ی معادلات انتگرال در یک نقطه یا در نقاط بیشتری از دامنه ی انتگرال گیری نامتناهی باشد نیز این گونه معادلات را معادلات انتگرال منفرد می نامند. به عنوان مثالنمونه هایی از معادلات انتگرال منفرد هستند.

1 .5 معادلات انتگرال غیر خطی

این دسته از معادلات انتگرال به دو بخش به صورت زیر تقسیم می گردند.

1 .5 .1 معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی

این نوع معادلات انتگرالی که به معادلات[14] معروفند، در دینامیک سیالات، الکترو مغناطیس و در بازنویسی مسائل مقدار مرزی غیر خطی به معادلات انتگرال، ظاهر می شوند معادلات انتگرالی همرشتاین چند بعدی در تبدیل معادلات دیفرانسیل بیضوی به معادلات انتگرالی ظاهر می شوند.

 معادلات انتگرو- دیفرانسیل

این گونه معادلات ابتدا در اوایل سال 1900 توسط ولترا معرفی شدند. ولترا درحال مطالعه ی پدیده ی رشد جمعیت و بخصوص تاثیر وراثت بود که در تحقیق خود با این گونه معادلات مواجه شد و نام مذکور را برای آنها انتخاب کرد دانشمندان و محققین در پژوهش خود در کاربرد علوم در مواردی نظیر انتقال گرما، پدیده ی انتشار، پخش نوترون و غیره به حل این گونه معادلات نیاز پیدا کردند. در واقع، بسیاری از فرآیندهای فیزیکی را می توان با استفاده از معادلات انتگرو- دیفرانسیل[1]، مدل بندی نمود این معادلات در مسائل دیریکله ، پتانسیل ، تعادل تابشی وارتباط کشسان ظاهر می شوند . اطلاعات جامعی از کاربردهای معادلات انتگرال – دیفرانسیل را می توان به مراجع [3]، [5]و[7] یافت.دراین گونه معادلات تابع مجهول  در دو طرف معادله ظاهر می شود در یک طرف زیر علامت انتگرال و در طرف دیگر به عنوان یک مشتق معمولی نمایان می شود که این معادلات نیز به دو دسته ی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم و ولترا تقسیم می شوند، شکل کلی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم به صورت زیر می باشد.

1 مقدمه …………………………………………………………………………………. 2

1.1 تاریخچه­ی معادلات انتگرال……………………………………………………….. 2

2.1 دسته بندی معادلات انتگرال……………………………………………………….. 4

1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم………………………………………………………….. 4

2.2.1 معادلات انتگرال ولترا……………………………………………………………. 4

3.1 عملگرها……………………………………………………………………………. 5

4.1 معادلات انتگرال خطی…………………………………………………………….. 5

1.4.1 معادلات انتگرال خطی منفرد…………………………………………………… 5

5.1 معادلات انتگرال غیر خطی……………………………………………………….. 6

1.5.1 معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی…………………………………………….. 6

2.5.1 معادلات انتگرال ولترای غیر خطی……………………………………………… 7

6.1 معادلات انتگرو – دیفرانسیل………………………………………………………. 7

7.1 گسسته سازی انتگرال با رویه کوادراتور………………………………………….. 8

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل 2 تقریب و درونیایی

1.2 مساله­ی درونیایی………………………………………………………………. 10

1.1.2 درونیایی لاگرانژ………………………………………………………………… 12

2.2 کوادراتورهای عددی……………………………………………………………… 13

1.2.2 چند کوادراتور عددی…………………………………………………………… 15

3.2 دستور استفاده شده…………………………………………………………….. 19

فصل 3 روش گام­های متغیر

درروش های کوادراتور با گام ثابت بازه ی مورد نظر  به N زیر بازه مساوی و یکسان با طول گام  h= تقسیم شده و برای حل معادلات انتگرال ، در مجموعه نقاط مجزای  پیش خواهیم رفت.بنابراین برای دستیابی به نوعی تقریب دقیق تر یعنینیاز داریم که مساله به صورت متوالی با طول گام های کوچکتر، تا زمانی که دو مجموعه تقریب های متوالی به دقت لازم برسند، حل شود. در قیاس با جواب عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، روش های با طول گام متغیر برای تعیین جواب معادلات انتگرال ولترای نوع دوم در هر مرحله از محاسبات ، سعی درانتخاب طول گام بهینه که محک خطای فوق را برآورده کند، دارند [4و5] . خوشبختانه، این گونه تخمین اجرایی نیاز به بررسی دوباره محاسبات را رفع می کند و هم چنین انتخاب یک “طول گام بهینه” در هر مرحله نسبت به حالت طول گام ثابت به شرطی که انتخاب سرجمع پارامترها خیلی بزرگ نباشند، به صرفه تر خواهد بود.یک روش با طول گام متغیر، در هر گام از جواب معادلات تقریبی نیاز به برآوردی از خطای محلی، یعنی خطای جمله صرف نظر شده و در قاعده کوادراتور که جمله انتگرال را در معادله ی

فصل 4 روش بلوکی

این گونه فرم کلاس روش های خود-آغاز کننده، بلوکی از مقادیر را تولید نموده و در آن حل مسائل با پیشروی یک گام در زمانی مد نظر نکرده بلکه هدف ایجاد قاعده ای روی حوزه ای کوچک که از نقاط روی ناحیه بزرگتر استفاده کرده، می باشد[4و5]. حال جواب 3. 1 را روی دامنه  با b-a=Nph در نظر می گیریم. یعنی بازه ی با طول [a,b] را به Nبازه ی مساوی تقسیم نموده و سپس هر کدام از این بازه ها را به p زیر بازه­ی با طول h افراز نموده ایم فرض کنیم مقادیر جواب تقریبی برای (r-1) بلوک نخست محاسبه شده باشند، سپس روش بلوکی [1] معمولی در r امین مرحله مجموعه تقریب های زیر را تولید خواهد نمود.

 

فصل 5 حل معادلات انتگرال ولترای خطی به روش بلوکی

1.5 روش حل ………………………………………………………………………….. 37

2.5 مثال­های عددی……………………………………………………………………… 41

فصل 6 حل عددی معادلات انتگرال ولترای خطی به روش کوادراتور با گام­های متغیر

بازه ی (a,b) را به n زیر بازه با طول های  افراز نموده که در آن برای ثابت 1  رابطه ی  برقرار است [8، 7، 6].در روش های کوادراتور برای حل معادلات انتگرال ولترای خطی، خطای حاصل در نقاط انتهایی به مراتب بیشتر از نقاط ابتدایی است ، بنابراین به منظور کاهش خطا در نقاط انتهایی زیربازه های انتهایی را نسبت به زیر بازه های ابتدایی کوچکتر در نظر می گیریم، بحث و بررسی کلی روشهای کوادراتور در مراجع [9-1]امده است جهت نیل به هدف فوق به صورت زیر عمل می نماییم.آخرین زیربازه را با طول گام  αو i امین زیر بازه را با طول گام  برای i=1,2,…,n در نظر گرفته ، که در آن a,d بایستی محاسبه گردند. از این که طول گام آخرین زیربازه را α در نظر گرفته و از طرفی نیز برابر  خواهد بود بنابراین

1.6 روش کوادراتور ذوزنقه­ی تکراری با گام­های متغیر………………………………. 47

2.6 روش کوادراتور سیمپسون تکراری با گامهای متغیر………………………………. 48

3.6 روش بلوکی با گام­های متغیر………………………………………………………. 50

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل 7 نتایج و مثال­های عددی

جدول زیر، جواب عددی این معادله را با بکارگیری روش کوادراتور ذوزنقه ای تکراری و روش کوادراتور ذوزنقه ای تکراری با گام متغیر برای حالت k=2 را نمایش می دهد با مقایسه نتایج این جدول،  مشاهده می کنیم که خطا در روش باگام متغیر در نقاط اولیه نسبت به روش کوادراتور ذوزنقه ای بیشتر بوده ولی در نقاط انتهایی کاهش پیدا خواهد کرد نقاط مشترک در این دو روش، نقاط 0و2 هستند. بنابراین با مقایسه نتایج در این نقاط مشترک، می توان مشاهده کرد که روش با گام متغیر به مراتب دقیقتر از روش کوادراتور معمولی در نقطه 2 خواهد بود.

1.7 مثال­ها و نتایج…………………………………………………………………………. 54

2.7 نتیجه گیری……………………………………………………………………………. 60

آ حل تحلیلی معادالت انتگرال ولترا به روش تقریب سری نیومن ……………………… 61

ب کاربردهای معادلات انتگرال……………………………………………………………… 62


Abstract

 One of the numerical methods for solving linear Volterra integral equations is block ­by-block method, which is explained in [L.M. Delves, J:L. Mohamed, Computational Methods for Integral Equations, Cambridge University Press, 1985; L.M. Delves, J. Walsh, Numerical Solution of Integral Equations, Oxford University Press, 1974] and [P.K. Kyte, P. Puri, Computational Methods for Linear Integral Equations, Birkhauser, Boston, 2002]. In this thesis, we explain a gen- eral method for con­structing block-by-block systems for solving Volterra integral equations, then we deduce some of the special cases, especially the Linz’s block-by-block method, which explained in the references. Also, In usual quadrature methods for solving inte­gral equations, divide the integration interval (a, b) into  equal subinter vals of the length h = (b-a)/ . In this thesis, we intend to divide the integration interval into  subintervals of different lengths, which solves linear Volterra integral equations more accurately than usual quadrature methods.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان