فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه و کلیات

فصل حاضر به ارائه تعاریف و مفاهیمی می‌پردازد که در سراسر تحقیق مورد استفاده قرار می‌گیرند. ابتدا تعاریفی از آنالیز عددی[1] و درونیابی[2] ارائه می‌شود. سپس تعاریفی از معادلات دیفرانسیل[3] که به جهت تجزیه و تحلیل مسائل حساب تغییرات[4] به این عرصه وارد شده‌اند، صورت خواهند گرفت و به دنبال آن انواع ماتریس‌ها[5] مطالعه می‌شود. بعد از آن به مسئله حساب تغییرات و حل مثالهایی از این نوع مسئله، پرداخته می‌شود.     فصل دوم به مروری در خصوص تاریخچه و پیشینه‌ای از تحقیقات صورت گرفته اختصاص دارد. همچنین تاریخچه به کارگیری اسپلاین[6] در حل معادلات دیفرانسیل معرفی می‌گردد و در آخر تابع اسپلاین درجه سه غیرچند جمله‌ای[7] شرح داده می‌شود.     در فصل سوم ابتدا به تجزیه و تحلیل تابع اسپلاین درجه پنجم[8] غیرچندجمله‌ای پرداخته می‌شود و فرمول اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله‌ای به دست می‌آید و پس از آن آنالیز همگرایی[9] روش بحث می‌شود و سپس به محاسبه خطای[10] این نوع اسپلاین پرداخته می‌شود.     در نهایت، فصل آخر هم به حل عددی مسئله حساب تغییرات پرداخته می‌شود و همچنین برخی منابع به جهت مطالعه موضوعات مرتبط با تحقیق ارائه می‌شود که می‌تواند کمکی به شروع تحقیقات آینده باشد.

  • آنالیز عددی

     آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته (ریاضیاتی که بعد از ریاضیات گسسته است) را مورد مطالعه قرار می‌دهد. آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود، می‌پردازد. تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقاّ با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال روش حذف گاوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود. چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.     تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت‌های آنالیز عددی است. این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد. چون به هر حال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روشهای مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را در خود روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.     الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود. همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم براساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی، آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

1-3- درونیابی[11]

     در آنالیز عددی، درونیابی یک روش ساختن نقاط فرض شده جدید از یک مجموعه مجزا از نقاط داده شده معلوم است. یک مسئله متفاوت که تقریباّ مربوط به درونیابی است، تقریبی از یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده است. انواع مختلفی از درونیابی در ریاضیات وجود دارد. برای مثال: درونیابی ثابت تکه‌ای[12]، درونیابی خطی[13]، درونیابی چندجمله‌ای[14]، درونیابی اسپلاین[15]، درونیابی بوسیله فرآیند گاوس[16].

1-3-1- درونیابی اسپلاین

     درونیابی اسپلاین از چندجمله‌ای درجه پایین در هر بازه استفاده می‌کند و قطعه‌های چندجمله‌ای انتخاب می‌کند بطوریکه آنها، با همدیگر به طور یکنواخت متناسب باشند.

  • معادله دیفرانسیل[17]

     هر رابطه بین متغیر تابع و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل می‌نامند.

1-4-1- معادله دیفرانسیل معمولی[18]

     اگر یک معادله دیفرانسیل فقط یک متغیر تابع و یک متغیر مستقل داشته باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی گویند. بنابراین فرم کلی یک معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:

  • مقدمه …………………………………………………………………………………………………………………2
  • آنالیز عددی…………………………………………………………………………………………………………….3
  • درونیابی……………………………………………………………………………………………………………….4
  • معادله دیفرانسیل…………………………………………………………………………………………………….4
  • ماتریس……………………………………………………………………………………………………………….10
  • بسط تیلور…………………………………………………………………………………………………………..11
  • خطای برشی……………………………………………………………………………………………………….12
  • فانکشینال……………………………………………………………………………………………………………12
  • معادله اویلر- لاگرانژ…………………………………………………………………………………………………12

1 -10- حساب تغییرات……………………………………………………………………………………………………13

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم: مروری بر پیشینه تحقیق

در فصل حاضر قصد بر این است که مروری بر تحقیقات صورت گرفته در زمینه تاریخچه­ی  شکل‌گیری اسپلاین و اینکه انگیزه­ی اصلی از اینگونه تعریف برای اسپلاین­ها چه بوده ارائه می­دهیم.تاکنون روی اسپلاین­ها هم در بعد تئوری و هم در بعد عملی کارهای بسیاری انجام شده است.     تعدادی از محققان،اسپلاین­های چندجمله­ای و غیرچندجمله­ای را برای بدست آوردن جواب عددی معادلات دیفرانسیل بکار برده­اند.     نخستین بار لوسکالسو و تالبوت، اسپلاین با حداکثر همواری را برای حل مسئله مقدار اولیه همراه با تعداد زیادی شرایط جالب انتگرالی بکار بردند. به عنوان مثال قاعده­ی ذوزنقه­ای و یا روش میلن-سیمپسون از روشهای تصحیح یافته­ای هستندکه از حالتهای خاص اسپلاین بدست آمده­اند. اما دلیل عمده­ی اینکه چرا استفاده از توابع اسپلاین در انتگرال­گیری عددی ناپایدار است اینست که جواب­­های عددی در حالت خاص بیش از حد هموار هستند.     استفاده از توابع اسپلاین برای حل مسائل مقدار مرزی توسط بسیاری از نویسندگان انجام شده، اما نخستین بار بیکلی اسپلاین درجه سوم معمولی را برای حل مسئله­ی مقدار اولیه خطی بکار برد.     همانطور که می­دانیم روش بیکلی برای حل مسئله­ی مقدار اولیه فقط دارای دقت از مرتبه  (  می­باشد، این در حالیست که ما می­دانیم خود اسپلاین درجه سوم معمولی دارای دقت مرتبه­ ( است.پس ما باید طبیعتاً به دنبال راه­حلی باشیم که با استفاده از اسپلاین درجه سوم معمولی دقت مرتبه‌ی ( را بدست آوریم. برای اینکه قادر باشیم چنین کاری انجام دهیم ما تابع اسپلاین را به یک پارامتر مانند  وابسته می­سازیم و اسپلاین پارامتری را برای حل مسئله مقدار مرزی در طول بازه مورد نظر می­سازیم. اسپلاین­ها از کلاس  هستند واگر  میل کند آنگاه اسپلاین پارامتری به اسپلاین درجه سوم معمولی تقلیل می­یابد.

2-2- تاریخچه تعریف اسپلاین

در ابتدای بحث از اسپلاین ما یک تاریخچه از شکل گیری اسپلاین و اینکه انگیزه‌ی اصلی از اینگونه تعریف برای اسپلاین‌ها چه بوده ارائه می‌دهیم[67] . در گذشته مهندسان نقشه کش برای رسم یک منحنی هموار بین دو نقطه، از نوارهای باریک و طویل چوبی یا جنس دیگر مانند پیستوله[1] استفاده می‌کردند. این نوارها با تکیه و چنبر زدن بر نقاطی که در طول مسیر آنها قرار داده می‌شدند (گره‌ها[2])، سر جایشان می‌ایستادند. با تغییر جای نقاط گره‌ها و همچنین تغییر وضعیت خود نوارها (اسپلاین‌ها)، می‌توان تغییرات وضعیت نوار و گره‌ها را به هم مرتبط ساخت. می‌توان یک اسپلاین ساخت که از تعداد مشخصی نقطه، که تعداد مشخصی گره را بوجود آورده اند بگذرد.   اگر نوار اسپلاین مهندسان را بکار ببریم، آنگاه قانون برنولی- اویلر:

برقرار خواهد بود.در اینجا  میزان خم شدن و وضعیت نوار،  قدر مطلق یانگ[3]،  وضعیت هندسی اینرسی و همچنین ، شعاع انحنا می‌باشد. پس بنابراین خواهیم داشت:توجه کنید که در این مدل از کار مهندسان اگر نقاط گرهی آنها بطور موثر و کارآمد عمل کنند، آنگاه تغییرات   در فاصله‌ی دو گره خطی خواهد بود.   اسپلاین ریاضی نیز نتیجه‌ی جایگزینی قطعات درجه سوم بجای نوارهایی است که مهندسان بین هر دو نقطه‌ی گره بکار می‌بردند (معمولا بین هر دو نقطه‌ی گرهی، یک تابع درجه سوم رسم می‌شود).این توابع درجه سوم دارای ناپیوستگی‌های مجازی در نقاط انفصال که منحنی‌های دجه سوم به هم می‌رسند، می‌باشد.   اسپلاینی که مهندسان بکار می‌برند برای بسیاری از کاربردهای ریاضی انعطاف پذیری بالایی ندارند.اسپلاین ریاضی یک گسترش قابل قبول از اسپلاینی است که مهندسان نقشه کش بکار می‌برند. این اسپلاینی که ما در حال حاضر در این شکل کنونی استفاده می‌کنیم، نخستین بار در سال 1946 در مقاله‌ای توسط شونبرگ[4] ارائه شد. همانطوری که گفته شد رابطه‌ی بسیار نزدیکی بین نظریه‌ی نوارها و اسپلاین‌ها وجود دارد. سوکولنیکوف[5] [63] در سال 1956 یک گسترش خلاصه اما بسیار خواندنی از نظریه‌ی نوارها ارائه کرد.   همانطور که در مقاله‌ی شونبرگ اشاره شده است، تقریب‌هایی که در کاربردهای معماری بکار برده می‌شود دقیقا شامل همان مفهوم‌های اسپلاین ریاضی است.   بعد از 1946 نیز شونبرگ و تعدادی از شاگردان او به تحقیق و کار بر روی اسپلاین‌ها ادامه داند. بخصوص شونبرگ و ویتنی در (1949، 1953) برای نخستین بار یک قضیه برای اثبات وجود اسپلاین‌های درون یاب، اثبات کردند. همچنین گفتنی است برای مسأله‌ی وجود و یکتایی اسپلاین‌ها از هر مرتبه‌ای یک اثبات ساده تر در کتاب آلبرگ[6]، نیلسون[7] و والش[8] آمده است.   توابع تکه‌ای قبل از اینها نیز به همراه قضیه‌ی پئانو برای حل مسائل مقادیر اولیه بکار برده شده بود اما هنوز تحت نام اسپلاین نبود. معمولا یک اسپلاین، یک چند جمله‌ای قطعه قطعه است که در یک ناحیه مانند D تعریف می‌شود که در آن D قابل تجزیه به تعدادی زیرمجموعه است که تابع f در هر کدام از آنها بوسیله‌ی یک چندجمله‌ای درجه m تقریب زده می‌شود. همچنین تابع ذکر شده همراه با (m-k) مشتق اولیه اش در ناحیه ذکر شده پیوسته است. کاربرد اسپلاین به عنوان یک تابع تقریب زن و درون یاب بسیار موفق بوده است ([18]، [29]، [57]).

2-3- تاریخچه به کارگیری اسپلاین در حل معادلات دیفرانسیل

   تاکنون روی اسپلاین‌ها هم در بعد تئوری و هم در بعد عملی کارهای بسیاری انجام شده است. تعدادی از محققان، اسپلاین‌های چند جمله‌ای و غیر چندجمله‌ای را برای بدست آوردن جواب عددی معادلات دیفرانسیل بکار برده اند. از آن جمله می‌توان به دی بور [9] [17]، [18]، آلبرگ[10]، لوسکالسو[11] و تالبوت[12] [41]، [42]، بیکلی[13] [9]، فایف[14] [20]، الباسینی[15] و هوسکینز[16] [6]، ساکایی[17] [62]، راسل[18] و شامپاین[19] [59] ، میکولا[20] [44] ، شوارتز[21]، جین[22] و عزیز[23] [33]، رشیدی نیا[24] [54] و غیره اشاره کرد.   نخستین بار لوسکالسو و تالبوت، اسپلاین با حداکثر همواری را برای حل مسأله‌ی مقدار اولیه همراه با تعداد زیادی شرایط جالب انتگرالی بکار بردند. به عنوان مثال قاعده‌ی ذوزنقه‌ای و یا روش میلن- سیمپسون از روشهای تصحیح یافته‌ای هستند که از حالت‌های خاص اسپلاین بدست آمده اند. اما دلیل عمده‌ی اینکه چرا استفاده از توابع اسپلاین در انتگرال گیری عددی ناپایدار است این است که جواب‌های عددی در حالت خاص بیش از حد هموار هستند.   استفاده از توابع اسپلاین برای حل مسائل مقادیر مرزی توسط بسیاری از نویسندگان انجام شده، اما نخستین بار بیکلی اسپلاین درجه سوم معمولی را برای حل مسأله‌ی مقدار اولیه خطی بکار برد.

2-1-  مقدمه  ……………………………………………………………………………………………………………….29

2-2- تاریخچه تعریف اسپلاین ……………………………………………………………………………………………30

2-3- تاریخچه به­کارگیری اسپلاین در حل معادلات دیفرانسیل ……………………………………………………..32

2-4- تعریف اسپلاین ریاضی……………………………………………………………………………………………..34

2-5- تابع اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه سه……………………………………………………………………….35

 فصل سوم: تجزیه و تحلیل اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه پنجم

در فصل قبل تاریخچه­ای از تعریف اسپلاین و بکارگیری آن در حل معادلات دیفرانسیل بحث شد و رابطه اسپلاین غیر­چندجمله­ای درجه سوم بدست آمد.  فصل حاضر به ارائه و تشریح روابط اسپلاین درجه پنجم پرداخته تا بتوان مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم را با استفاده از این روابط با دقت بالایی حل کرد.در این فصل روابط سازگار اسپلاین غیرچندجمله­ای و شرایط مرزی بدست آمده و نیز همگرایی مرتبه ششم برای این روش اثبات شده است.در پایان فصل به محاسبه خطای این روش پرداخته شده است.

3-2- تابع اسپلاين غيرچندجمله‌اي كه به درجه پنجم تقلیل مي‌يابد با گامهاي متساوي‌الفاصله

تعريف: تابع  در بازه‌ي  مفروض است. نقاط شبكه  را در بازه‌ي  منظور مي‌كنيم كه در آن  تابع اسپلاين درجه پنجم غير چند جمله‌اي  تابعي است پيوسته و بي‌نهايت بار مشتق‌پذير در بازه‌ي  پايه توابعي كه ما استفاده مي‌كنيم به اين شكل است:كه دوره تناوب قسمت مثلثاتي تابع اسپلاين است كه مي‌تواند حقيقي يا مختلط باشد و از آن براي بالا بردن دقت روش مي‌توان استفاده كرد. بنابراين در بازه‌ي  داريم:یاكه اين بديهي است، وقتي كه رابطه‌ي بين توابع پايه‌اي اسپلاين چندجمله‌اي و غيرچندجمله‌اي را به صورت زير مي‌نويسيم:از اين رابطه نتيجه مي‌گيريم كه:اين تابع وقتي كه پارامتر به تابع اسپلاين درجه پنج تبديل مي‌گردد. اين تابع اسپلاين در مجموعه نقاط  در بازه‌ي  تابع  را درونيابي مي‌كند. از آنجا كه پارامتر در  به روش‌هاي گوناگون ظاهر مي‌شود لذا اسپلاين‌هاي غيرچندجمله‌اي متفاوتي را مي‌توان ايجاد كرد. در ذيل يك اسپلاين غيرچندجمله‌اي را مي‌يابيم كه اسپلاين غير چند جمله‌اي كه به درجه پنجم كاهش مي‌يابد، ناميده مي‌شود. براي هر زير بازه‌  تابع اسپلاين درجه پنجم غير چند جمله‌اي  به صورت زير تعريف مي‌شود:

3-1- مقدمه………………………………………………………………………………………………………………….42

3-2- تابع اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله­ای………………………………………………………………………..43

3-3- حل عددی معادله مرتبه دوم…………………………………………………………………………………………49

3-4- آنالیز همگرایی……………………………………………………………………………………………………….56

3-5- محاسبه خطا……………………………………………………………………………………………………….62

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل چهارم: نتایج عددی

     در این فصل می­خواهیم مسئله حساب تغییرات را که در فصل اول بیان شد و با استفاده از فرمول اويلر- لاگرانژ به مسئله مقدار مرزی تبدیل كنيم و با استفاده از رابطه­های سازگار اسپلاین که در فصل سوم بدست آمد را به روش عددی حل کنیم و از لحاظ عددی نشان دهیم روش بدست آمده از مرتبه شش می­باشد.     در این فصل مثالهایی که آورده شده دارای جواب واقعی می­باشند ولی چون همگرایی روش اثبات شده پس برای هر مسئله­یی که جواب واقعی ندارد نیز می­توان این روش را به کار برد.مطالب این فصل با استفاده از منابع شماره 42،41،4 ارايه شده است.

4-1- مقدمه……………………………………………………………………………………………………………….67

4-2- حل عددی مسئله حساب تغییرات………………………………………………………………………………68

4-3- مثال­هایی از حساب تغییرات………………………………………………………………………………………68

4-4- نتیجه­گیری…………………………………………………………………………………………………………83

منابع………………………………………………………………………………………………………………………84

 

Abstract:

 

   In this research, a problem of calculus variation is converted to a boundary- value problem by using Euler- Lagrange equation and then, this Boundary- Value problem is solved by Spline fifth- degree and a numerical method is obtaind from sixth- order and the method’s convergense discussed and the numerical examples are presented including the bellow notes:    In chapter one, the difinitions and the history of calculus variation problem is presented and also, the way for creating the Boundary- Value problem is analyzed by the calculus variation and also, some examples of these the calculus variation s are represented.   In chapter two, the history for spline difinitions and also, the history of spline application in Differential equations solving are discussed and then, the consistency relations of geometrical spline are illustrated in the form declined Tri- degree spline.    In chapter three, the main research subject are analyzed based on obtaining the Quintic Non- polynomial spline relation, the error calculation and convergence analysis method.     In chapter four, by using the obtained relations of the third chapter, the numerical solve of the the calculus variation problem was done and the numerical results are presented and finally, the conclusions and suggestions are presented that can be the future researches.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان