فهرست مطالب

فصل اول.

در سری زمانی روش­های زیادی برای برآورد تابع چگالی طیفی وجود دارند. در بین این روش­ها دوره­نگار­ها از اهمیت بسزایی برخوردار هستند. برای اولین بار دوره­نگارها در قرن نوزده و به عنوان تبدیلی از تابع خودهمبستگی، با استفاده از تبدیل­های فوریه، معرفی شدند و سپس با استفاده از فیلترها هموار شده و برآوردی مناسب برای تابع چگالی طیفی را ایجاد کردند.در سال 1897، Schuster نشان داد که دوره­نگارها می­توانند اطلاعاتی را در مورد دوره­ای بودن یک سری زمانی را فراهم آورند. با پیشرفت­های به وجود آمده در تئوری آماری چگالی طیفی در طی دهه­های 1920 و 1930، دوره­نگارهای هموار شده به عنوان برآورد تابع چگالی طیفی مورد استفاده قرار گرفتند. در سال­های اخیر کامپیوترهای سریع و معرفی تبدیل­های فوریه سریع[1] (FFT) بار دیگر دوره­نگارها را به برآوردگرهایی پرکاربرد تبدیل کرده­اند. در سری­های زمانی با رفتار نوسانی دوره­نگارها از اهمیت به سزایی برخوردارند.رفتارهای نوسانی حداقل از دو مولفه (سینوسی و کسینوسی) تشکیل شده است. این مولفه­های همساز یا هارمونیک هستند که در شکل­گیری رفتارهای تناوبی در سری­ها موثرند.­ در واقع هر همساز گویای یک روند رو به بالا و یک روند رو به پایین در یک سری زمانی است. بنابراین، هر طول موج متوالی در سری زمانی تناوبی با یک همساز نشان داده می­شود.دوره­نگار وسیله­ای مناسب جهت تجزیه و تحلیل سری­های زمانی متشکل از امواج سینوسی-کسینوسی و مولفه­های تناوبی در سری­های زمانی می­باشد. در واقع، دوره­نگار تکنیکی مفید برای مشخص کردن دوره­های نهان است. در این فصل در ابتدا به معرفی دوره­نگارهای عادی پرداخته و خواص مجانبی آنها را بررسی می­کنیم سپس رابطه دوره­نگار با رگرسیون همساز را بیان کرده و به مقایسه روش کمترین قدر مطلق انحرافات و روش کمترین مربعات خطا می­پردازیم. در انتها رگرسیون چندکی را معرفی کرده وبا ذکر یک مثال این روش رگرسیونی را مورد مطالعه قرار می­دهیم.

 1-2 تحلیل فوریه

در بسیاری از مطالعات یک تابع را بوسیله مجموعه­ای از توابع مقدماتی که پایه نامیده می­شود، نمایش می­دهیم. تمام توابع مورد مطالعه را می­توان به صورت ترکیبات خطی توابع مقدماتی موجود در مجموعه پایه نوشت. یکی از پایه­های متداول متشکل از، توابع مقدماتی سینوسی و کسینوسی یا نمایی­های مختلط می­باشند. طریقه ساختن یک تابع دلخواه با استفاده از این توابع را تحلیل فوریه می­نامندکه به Fourier ریاضی دان فرانسوی در قرن هیجدهم باز می­گردد.

مقدمات و مفاهیم اولی……………………………………………………………………. 10

1-1 مقدمه………………………………………………………………………………….. 11

1-2 تحلیل فوریه…………………………………………………………………………….. 11

1-3 دوره­نگارها…………………………………………………………………………….. 13

1-4 آزمون فرض……………………………………………………………………………. 16

1-4-1 آزمون فیشر…………………………………………………………………. 16

1-5 تابع چگالی طیفی…………………………………………………………………….. 16

1-5-1 خواص مجانبی دوره­نگارها………………………………………………………… 18

1-6 ارتباط دوره­نگار با رگرسیون کمترین مربعات……………………………………….. 23

1-6-1 رگرسیون هارمونیک و داده­های دوره­ای………………………………………… 23

1-7 رگرسیون کمترین انحراف مطلق…………………………………………………… 25

1-8 رگرسیون چندکی…………………………………………………………………….. 26

1-8-1 چندک­ها………………………………………………………………………………… 27

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم.

رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات (LAD) یک روش شناخته شده در تحلیل داده­ها است که تاریخ آن به بیش از دو قرن پیش باز می­گردد. در سال­های اخیر و با پیشرفت روش­های محاسباتی، به ویژه الگوریتم­های برنامه نویسی خطی، رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات بار دیگر توجه محققان در زمینه­های تئوری و عملی را به خود جلب کرده است. در سال2005،Koenker  در کتابی به بررسی تاریخچه، پیشرفت­های اخیر در رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات و تعمیم­های این روش به روش رگرسیون چندکی پرداخته است. روش کمترین قدر مطلق انحرافات به دلیل پایا بودن در برابر وجود داده­های پرت از اهمیت خاصی برخوردار است و خواص آماری برآوردگرهای کمترین قدر مطلق انحرافات در روش­های رگرسیون خطی و غیر خطی به صورت گسترده­ایی مورد مطالعه قرار گرفته است. برای اطلاعات بیشتر می­توانید به Bloomfield  و Steiger (1983)،    Breidtو Davis و Trindate  (2001)، Dodge (1997 و 2002) ، Dielman (2005)، Koenker  (2005)  و Lai و Lee (2005) رجوع کنید.در این فصل به کاربردی از رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات در تحلیل سری­های زمانی اشاره کرده و به طور خاص با استفاده از این روش به تحلیل وابستگی­های پیاپی در داده­های سری زمانی می­پردازیم. بدین منظور، در رگرسیون همساز، روش کمترین مربعات را با روش کمترین قدر مطلق انحرافات جایگزین می­کنیم که نتیجه آن معرفی تابعی مشابه با دوره­نگارها است که از آن با عنوان دوره­نگار لاپلاسی یاد  خواهیم کرد.در ادامه نشان داده خواهد شد که همانگونه که توزیع مجانبی دوره­نگار وابسته به طیف خود همبستگی است، توزیع مجانبی دوره­نگارهای لاپلاسی به صورت مستقیم وابسته به مفهومی است که طیف گذر صفر نامیده می­شود.گذرهای از صفر به دلیل دارا بودن اطلاعاتی غنی در مورد وابستگی­های سری زمانی مفاهیمی شناخته شده بوده و از کاربرد وسیعی در زمینه تحلیل سیگنال برخوردار  هستند (Kedem ( 1994)). ارتباط دوره­نگار لاپلاسی با طیف گذر از صفر دلیلی منطقی برای استفاده از این دوره­نگار را در تحلیل سری­های زمانی فراهم می­آورد.

2-2 دوره­نگار لاپلاسی[1]

همانطور که در فصل اول اشاره شد، برای سری زمانی  با طول  و فرکانس دلخواه  در بازه  دوره­نگار به صورت زیر تعریف می­شودکه در آن  است. علاوه بر آن نشان داده شد که برای فرکانس­های فوریه ، که  عددی صحیح است، دوره­نگار را با توجه به رگرسیون همساز می­توانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم

که در آن  از رگرسیون کمترین مربعات (LS) و از رابطه زیر بدست آمده و رگرسور همساز به صورت  تعریف می شودیکی از روش­های تغییر در دوره­نگار عادی جایگزین کردن روش کمترین مربعات با سایر روش­های مرسوم در رگرسیون است. یکی از این روش­ها، استفاده از روش کمترین قدر مطلق انحرافات و جایگزینی روش کمترین مربعات خطا با این روش است. در روش کمترین قدر مطلق انحرافات ضریب رگرسیون  به صورت زیر محاسبه می­شوداستفاده از  بدست آمده بر اساس رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات، دوره­نگار جدیدی را که به دوره­نگار لاپلاسی معروف است، می­توان به صورت زیر معرفی کردهمانطور که دیده می­شود، دوره­نگارهای عادی و لاپلاسی متناسب با نرم مربع ضرایب رگرسیون­های همساز هستند، با این تفاوت که اولی از رگرسیون کمترین مربعات و دومی از رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات بدست آمده است. انتظار می­رود که دوره­نگار لاپلاسی همه برتری­های رگرسیون خطی کمترین قدر مطلق انحرافات مانند پایایی، که در مراجع  Bloomfield و Steiger (1983)  وKoenker  (2005) بدان اشاره شده است، را دارا باشد.

2-3 رفتارمجانبی

در این بخش به بررسی برخی از نتایج نظری در مورد توزیع مجانبی دوره­نگار لاپلاسی برای طیف سری­های زمانی پیوسته و مرکب می­پردازیم.

2-3-1 یک قضیه مهم

در ابتدای این بخش یک نتیجه کلی در مورد  توزیع مجانبی ضرایب رگرسیون LAD را ارایه می­کنیم. این نمونه از نتایج تحت شرایط گوناگون و توسط محققان زیادی ثابت شده­اند ( برای اطلاعات بیشتر در این زمینه به مراجع Arcones (2001)، Bantli  و  Hallin   (1999)، Bloomfield  وSteiger  (1983)، Koenker  (2005)، Lai  و Lee  (2005)، Pollard  (1991)،Portnoy  (1991)، Weiss  (1990)  و Wu  (2007) رجوع کنید). در این فصل تمرکز خود را بر حالاتی قرار می­دهیم که در آنالف) رگرسورها ، که با نماد  نشان داده می­شوند، دنباله­های یکنواخت کران­دار از بردارهای معین در ، برای  ، هستند و ممکن است به مقدار  وابسته باشند (برای سادگی بیشتر روابط، این موضوع به صورت صریح در روابط نشان داده نمی­شود).

ب)  یک فرآیند تصادفی وابسته است.

ج) توابع رگرسیون  ممکن است به درستی برای  مشخص نشود.

توجه داشته باشید که کران­دار بودن رگرسورها شرایط را تا حد بسیار زیادی ساده می­کند.

 است که  یک دنباله معین و  یک فرآیند تصادفی   -وابسته[2] با تابع توزیع حاشیه­ای ، تابع چگالی  و تابع توزیع دو متغیره  باشد. همچنین، برای هر ، مقدار  و  را به ترتیب به صورت  و  تعریف کنید. فرض کنید اعداد مثبت  ،  و  ماتریس­های معین مثبت  و  وجود دارد به طوری که شرایط زیر برقرار باشد:

 

دوره­نگارهای لاپلاسی……………………………………………………………………. 30

2-1 مقدمه………………………………………………………………………………….. 31

2-2 دوره­نگار لاپلاسی…………………………………………………………………….. 31

2-3 رفتار مجانبی.. …………………………………………………………………………33

2-3-1 یک قضیه مهم……………………………………………………………………….. 33

2-3-2 رفتارهای مجانبی برای سریهای زمانی با طیف پیوسته……………………….. 37

3-3 سریهای زمانی با طیف مرکب………………………………………………………. 41

فصل سوم

رگرسیون چندکی[1] روشی پرتوان در رگرسیون است که توانایی­های روش کمترین مربعات خطا را گسترش داده و در بسیاری از زمینه­ها به صورت گسترده­ایی مورد استفاده قرار می­گیرد (Koenker (2005)). در رگرسیون تأکید بر میانگین شرطی است اما در رگرسیون چندکی تأکید بر چندک­های شرطی است و، بنابراین، این روش دیدگاهی وسیع­تر و بهتر از داده­ها ارایه می­کند. با توجه به کاربرد وسیع رگرسیون چندکی در سال­های اخیر، این روش در معرفی دو تابع مشابه با دوره­نگارها، با نام دوره­نگار چندکی نوع یک و دو، مورد استفاده قرار گرفته است. این دوره­نگارها در تحلیل طیف سری زمانی کاربرد دارند.دوره­نگارهای چندکی[2] تعمیمی از دوره­نگارهای عادی و دوره­نگارهای لاپلاسی هستند. در ادامه نشان می­دهیم که دوره­نگارهای چندکی نه تنها ویژگی دوره­نگارهای عادی، به عنوان نمایش وابستگی­های پیاپی در دامنه فرکانس، را دارند بلکه دیدگاهی غنی­تر نسبت به داده­ها را فراهم می­آورند. به طور خاص نشان می­دهیم که دوره­نگارهای چندکی دوره­های پنهان در چندک را مشخص کرده و همچنین ویژگی­های وابسته به چندک را در تابع طیف آشکار می­کنند. در انتها با استفاده از تحلیل مجانبی نشان می­دهیم که این دوره­نگارها با طیف عبور از سطح[3]، که نمایش وابستگی پیاپی[4] در دامنه فرکانس[5] در فرآیندهای تصادفی است، در ارتباط هستند.که در آن  ،  ،  و  و   نوفه سفید گوسین است. همچنین، در رابطه (3-2) فرض کنید  ،  و   در نظر گرفته شده و نمونه ای 200 تایی ( ) از این فرآیند را شبیه سازی کنیم. توجه کنید که، در این مثال و سایر مثال­های عددی، پارامتر  در رابطه (3-3) و (3-5) برابر با چندک -ام نمونه­ای سری زمانی در نظر گرفته خواهد بود.شکل 3-2 توانایی دوره­نگارهای چندکی برای شناسایی دوره پنهان در چندک­ها را نشان می­دهد. در این شکل، دوره­نگارهای چندکی به عنوان تابعی از فرکانس­های  (در چرخه­هایی در واحد زمان) برای سری زمانی شبیه­سازی شده رسم شده است. همانطور که در شکل 3-2 دیده می­شود، دوره­نگارهای چندکی با موفقیت دوره­های پنهان را آشکار می­کند، به طوری که بزرگترین قله در فرکانس  قرار می­گیرد. این در حالی است که دوره­نگارهای عادی و لاپلاسی موفق به انجام چنین کاری نیستند. توضیح نظری این نتیجه را در بخش بعد خواهیم دید.

دوره­نگارهای چندکی………………………………………………………………….. 46

3-1 مقدمه………………………………………………………………………………. 47

3-2 دوره­نگارهای چندکی…………………………………………………………….. 47

3-3 رفتار مجانبی……………………………………………………………………….. 59

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل چهارم.

با توجه به قضیه 2-3، یکی از مزیت­های طیف لاپلاسی نسبت به طیف توان عادی این است که طیف لاپلاسی (تا چند برابر ثابت) نسبت به هر تبدیل غیر خطی بی­حافظه­ای که علامت داده­های سری زمانی را حفظ می­کند ناوردا است. یک مثال کاربردی از چنین تبدیلات غیرخطی را می­توان تبدیلات غیر­خطی و قطع بی نظمی ها در اکتساب داده و انتقال سیستم ها است. (Bahai et al (2002) و Chorti و Brookes (2006) ). این نوع از غیرخطی بودن به عنوان عامل بی­نظمی ها در طیف توان شناخته شده است (Wise و Traganitis و Thomas (1977)) و نمی تواند به عنوان یک نوفه جمع مدل­بندی شود. همانطور که در مثال بعد نشان داده می­شود، دوره­نگار لاپلاسی یک ابزار موثر برای مواجحه با این قبیل غیر­خطی­ها است. فرض کنید ،  ، باشد که در آن  فرآیند معرفی شده در مثال 4-1 و  یک تابع حفظ علامت[1] است بطوریکه  و . از آنجایی که این تبدیل طیف عبور از صفر را تغییر نمی­دهد و مفروضات قضیه 2-3 را نقض نمی­کند، دوره­نگار لاپلاسی } دارای توزیع مجانبی مشابه  است، بااین تفاوت که  باید به وسیله  در محاسبه  جایگزین شود که درنتیجه خواهیم داشت . شکل 4-2 نتیجه شبیه­سازی انجام شده با   را نشان می­دهد که در آن  است. در این حالت، طیف لاپلاسی تنها مضرب ثابتی از طیف لاپلاسی نشان داده شده در شکل 4-1، با مضرب   خواهد بود. این طیف، که در شکل 4-2(a) با استفاده از خط نشان داده شده است، در کنار میانگین شبیه­سازی شده از طیف لاپلاسی در تمامی فرکانس­ها رسم شده است. در مقابل، دوره­نگار عادی به وسیله این تبدیل غیرخطی تغییر شکل داده است که این امر را می­توانید در شکل 4-2(b) مشاهده کرد. در حقیقت، ارتفاع قله تابع طیف کاهش پیدا کرده است. ملاحظه می­کنید که تغییر در مقیاس طیف توان، در شکل 4-2(b) (خط پر رنگ)، در نتیجه واریانس  است نه با توجه به اینکه دوره نگار لاپلاسی بر اساس روش LAD در رگرسیون پایه­گذاری شده است، انتظار می­رود که در برابر وجود داده پرت از دوره­نگار عادی استوارتر باشد. در مثال بعد به بررسی این موضوع می­پردازیم.

فرآیند AR(2) بیان شده در مثال 3-1 را در نظر بگیرید و فرض کنید که مشاهدات این فرآیند به وسیله یک فرآیند نوفه آلوده شده­اند. به طور خاص، فرض می­کنیم که به طور تصادفی 100% از نقاط را انتخاب و با جمع نوفه مستقل و هم­توزیع با ، که در آن  است، این داده­ها را آلوده می­کنیم. شکل 4-3 نتیجه شبیه­سازی با  و  را نشان می­دهد. همانطور که دیده می­شود، این تغییر دارای تاثیر چندانی بر روی دوره­نگارهای لاپلاسی نبوده است و این در حالی است که این تغییر در دوره­نگار عادی تاثیر بسزایی داشته است. در حقیقت، قله طیف در دوره­نگار لاپلاسی برجسته باقی می­ماند اما در دوره­نگار عادی تقریبا ناپدید شده است.

با توجه به لم 2-1 می­توان طیف عبور از صفر را با چهار برابر کردن دوره­نگار عادی در سری زمانی دودویی ، ، برآورد کرد. از آنجایی که طیف لاپلاسی با طیف عبور از سطح متناسب است، با ضرب دوره­نگار عادی برای سری زمانی  در برآوردگر از  می­توان یک برآوردگر ساده برای طیف لاپلاسی بدست آورد. این روش ساده دارای مزیت محاسباتی برای دور­ه­نگار لاپلاسی است زیرا دوره­نگار عادی به راحتی به وسیله تبدیل فوریه سریع محاسبه می­شود. با این حال، در این روش ساده ممکن است کارایی کاهش یابد. در ادامه، با استفاده از شبیه­سازی، به مقایسه کارایی این روش­ها می­پردازیم. برای این کار، در نمونه­ای که به وسیله شبیه­سازی مونت کارلو ساخته شده است دو نوع میانگین مربعات خطا را محاسبه می­کنیم:

 

مطالعه شبیه سازی……………………………………………………………………. 73

4-1 برآورد طیف استوار……………………………………………………………….. 74

4-2 تشخیص سیگنال …………………………………………………………………..78

3-4 طیف مرکب …………………………………………………………………………… 81

4-4 برآورد فرکانس …………………………………………………………………….. 84

فهرست منابع ……………………………………………………………………………….. 85

پیوست……………………………………………………………………………………… 88

پیوست الف:تعاریف ……………………………………………………………………….. 89

پیوست ب: اثبات قضیه­ها……………………………………………………………………. 95

پیوست ج : برنامه کامپیوتری با R…………………..ات……………………………….. 112

واژه­نامه انگلیسی به فارسی ………………………………………………………….. 115

واژه­نامه فارسی به انگلیسی ………………………………………………………….. 119

 

 

ABSTRACT

This thesis fouses on introdueing two new forms of periodograms, called laplace and quantile periodograms. For this porpuse, in the first chapter, least square error regression, lest absolute deviations regression and quantile regression are defined and their properties are studied. Additionally, the ordinary periodogrames are presented and their application in time series analyzis is scrutinized. Chapter Tow is devoted to laplace periodograms. The laplace periodograms are derived by replacing least squares with least absolute deviations in the harmonic regression procedure that produces the ordinary periodogram of a time series. An asymptotic analysis reveals a connection between the Laplace periodogram and the zero-crossing spectrum. This relationship provides a theoretical justification for use of the Laplace periodogram as a nonparametric tool for analyzing the serial dependence of time series data.Moreover, two periodogram-like functions, called quantile periodograms, are introduced for spectral analysis of time series in Chapter Three. The quantile periodograms are constructed from trigonometric quantile regression and motivated by different interpretations of the ordinary periodogram. Analytical and numerical results demonstrate the capability of the quantile periodograms for detecting hidden periodicity in the quantiles and for providing an additional view of time-series data. A connection between the quantile periodograms and the so-called level-crossing spectrum is established through an asymptotic analysis.

 



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان