چکیده

در این پایان نامه حل عددي معادله انتگرال ولترا نوع اول به صورت با استفاده از چندجمله ایهاي تیلور پیشنهاد شده است.که آن را مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامهآن به بررسی خطاي روش مذکور و همچنین بررسی همگرایی آن می پردازیم.معادلات انتگرال ولترانوع اول در زمینه هاي مختلف علم،از قبیل فیزیک،زیست شناسی،و مهندسی رخ می دهد . در اینروش فاصلهI  را به فاصله هاي فرعی تقسیم کرده سپس حل تقریبی معادله ي انتگرال ولتراي نوعاول در هر فاصله با استفاده از چند جمله ایهاي تیلور و در مرحله ي بعد همگرایی این روس موردبررسی قرار می گیرد و در پایان چند مثال عددي ارائه خواهیم داد[ .25]

واژه هاي کلیدي: معادلات انتگرال نوع اول،چندجمله اي تیلور

فهرست مطالب

فهرست مطالب

لیست جداول

لیست تصاویر

     تاریخچه         1

  • نمایه

1.1     مقدمه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        2

2.1    مروري بر پیشینه تحقیق  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        2

2   مفاهیم مقدماتی                                                                                        5

 

1.2     مقدمه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        6

2.2    انواع معادلات انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        7

1.2.2      معادلات انتگرال خطی فردهلم . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      7

2.2.2      معادلات انتگرال خطی ولترا . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      8

3.2.2      معادلات انتگرال خطی منفرد  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      9

       3.2    دسته بندي هسته ها در معادلات انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        9

1.3.2       هسته جدایی پذیر  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

2.3.2       هسته پیچشی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

3.3.2      هسته متقارن   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

4.3.2       هسته هرمیتی . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

5.3.2      هسته نرمال .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

6.3.2      هسته منفرد ضعیف   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

7.3.2        هسته2L .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

4.2     جبرخطی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      13

1.4.2      تعریف فضاي خطی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    13

2.4.2       تعریف ترکیب خطی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    13

3.4.2       تعریف مستقل خطی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    13

                   4.4.2      تعریف نگاشت وعملگر   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    14

5.4.2      تعریف عملگر خطی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    14

                   6.4.2      تعریف عملگر یک به یک . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    14

7.4.2      تعریف عملگر پوشا  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    14

8.4.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    14

9.4.2       تعریف نرم  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    15

10.4.2         تعریف عملگرکراندار .

1512.4.2     تعریف دنباله همگرادرفضاي خطیX .  ا     .         .         .         .         .         .         15

11.4.2      قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    15

13.4.2         تعریف عملگر پیوسته   .         .         .         .     16

15.4.2     فضاي هیلبرت مختلط .         .         .         .         .         .         .         .         .         .         .               16

14.4.2      قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    16

16.4.2      روش گرام- اشمیت  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    17

       5.2   تعاریف و قضایاي مربوط به معادلات انتگرال .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     18

                   1.5.2     فرمول ضرب انتگرال دیریکله .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    18

2.5.2      تعریف سري نیومن   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    18

3.5.2       تعریف هسته حلال   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    18

4.5.2       لم  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    19

5.5.2       نتیجه .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    19

6.5.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    20

7.5.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    22

8.5.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    23

       6.2    روشهاي عددي براي حل معادلات انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     24

1.6.2      روش تکراري پیکارد . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    24

2.6.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    25

3.6.2      روش تقریب متوالی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    27

4.6.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    28

5.6.2       روش مستقیم یا روش هسته هاي جدایی پذیر  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    29

6.6.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    31

       7.2    روش هاي مبتنی بر بسط یا تصویر . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     32

                   1.7.2       روش هم محلی (کالوکیشن)    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    33

2.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    34

3.7.2       روش گالرکین .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    35

4.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    36

8.2     سري تیلور  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     38

1.8.2       تقریب توابع   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    38

2.8.2       سري تیلور  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    38

                   3.8.2      قضیه ي نقطه ي میانی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    41

4.8.2      همگرایی سري تیلور . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    42

5.8.2       شعاع همگرایی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    43

6.8.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    43

444444

45

46

                7.8.2       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .8.8.2       قضیه ي تیلور .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .9.8.2       قضیه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

9.2     شبکه ها   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .

1.9.2       تعریف فضاي چندجمله ایهاي تکه اي  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

474849 حل عددي معادلات انتگرال نوع اول با استفاده از چند جمله ایهاي تیلور1.3      مقدمه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .2.3     روش حل تقریبی با استفاده ازچندجمله اي تیلور . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   . 3
525353

53

54

55

56

تجزیه و تحلیل خطا و مثال هاي عددي1.4      مقدمه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .2.4      مثال هاي عددي .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .

1.2.4      مثال)1(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

2.2.4      مثال)2(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

3.2.4      مثال)3(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

4.2.4      مثال)4(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

4
575858

59

60

61

61

61

66

آنالیز همگرایی1.5      مقدمه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .1.1.5        لم  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

2.1.5        لم  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

3.1.5        لم  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

4.1.5       تعریف  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

2.5     تجزیه و تحلیل همگرایی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .

1.2.5       قضیه . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

3.5     نتیجه گیري .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .

5
676869 پیوست ها1.6      برنامه عددي محاسبه خطاي مطلق بوسیلهMathematica    .  .  .  .  .   .واژه نامه   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   . 6
79 کتابنامه

لیست جداول

       1.2    مقایسه مقدار دقیق و مقدار تقریبی به روش هم محلی (کالوکیشن)  .  .  .  .  .      35

1.4   خطاي مطلق مثال)1(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      54

2.4   خطاي مطلق مثال)2(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      55

3.4   خطاي مطلق مثال)3(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      56

4.4   خطاي مطلق مثال)4(     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      56

لیست تصاویر

1.2    شکل پیکارد   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      26

فصل 1

تاریخچه

1.1  مقدمه

نظریه معادلات انتگرال از مهمترین شاخه هاي آنالیز عددي است و بواسطه تبدیل مسائل مقدار مرزيدر تئوري معادلات با مشتقات جزئی بیشتر است و معادلات انتگرال به طور کلی در علومی مانندفیزیک ،میکانیک،پتروشیمی،ساختمان و پل سازي،اشعه ي لیزر،نیروگاههاي هسته اي و راکتورها وغیر کاربردهاي فراوان دارد.

2.1  مروري بر پیشینه تحقیق

در ابتدا حل معادله انتگرال تحت عنوان معکوس گیري از انتگرال تلقی می شد ولیکن براي اولین باراصطلاح معادلات انتگرال توسط ریموند، [1][2] پیشنهاد شد.

از   سال 1782     لاپلاس،2    یک    تبدیل   انتگرال   را   بصورت   زیر   بیان    کرد.

در جریان تکامل و پیشرفت ریاضیات، فوریه، 3 در سال1181، روي نظریه حرارت کار کرد و تئوريانتگرال فوریه در این سالها شکل گرفت، لذا معمولا گفته میشود که مبدا معادلات انتگرال به تئوريانتگرال فوریه بر می گردد . در سال 1823 آبل در مسائل خود که به مسائل مکانیکی آبل، [3] معروفاست، کاربرد معادلات انتگرال را در چنین مسائلی مطرح نمود. در سال 1826 پواسون، [4] به معادلهانتگرال زیر دست یافت که این معادله قبلا توسط فوریه نیز بدست آمده بود.(1.2)f(x) = g(x) + λ∫ Γ(x,s)f(s)ds

لیوویل[5]، در سال 1823 بطور مستقل دسته خاصی از معادلات انتگرال را حل کرد و یک قدممهم در راه توسعه معادلات انتگرال توسط وي برداشته شد و آن چگونگی حل بعضی از معادلاتدیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال بود.

اصطلاح نوع اول ودوم که امروزه در مورد معادلات انتگرال بکار برده می شود، اولین بار توسطهیلبرت، [6] پیشنهاد شد، البته قبل از کار هیلبرت، معادله آبل به فرم زیر مطرح بود.

پوانکاره [7]، در سال 1896 معادله انتگرال زیر را که متناظر با معادلات دیفرانسیل جزئی می باشد،بدست آورد.

حرکت موج:

بعد از گذشت چند سال یعنی در حدود سالهاي 1900-1903 یک ریاضیدان سوئدي بنام فردهلم3، جهت بدست آوردن جواب مسئله فوق تحقیقاتی را انجام داد و این تحقیقات منجر به ارائه قضایايفردهلم که از قضایاي بنیادي معادلات انتگرال هستند، گردید. و در اواخر قرن نوزدهم ولترا4، نظریهعمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود.

ارائه یک سخنرانی توسط اریک هولمگر5، در سال1907 روي کارهاي فردهلم علاقه هیلبرت رابه تحقیق در مورد معادلات انتگرال بر انگیخت و او در بسیاري از مسائل ریاضی فیزیک از معادلاتانتگرال بهره گرفت. یکی از کارهاي مهم او فرموله کردن مسائل مقدار مرزي به صورت یک معادلهانتگرال است.

ارتباط معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال و یا مثالهاي دیگري در ریاضی فیزیک، یک تکنیکمهم را جهت حل مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزي در تئوري معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات بامشتقات جزئی بوجود آورد که یکی از دستاوردهاي مهم مطالعه معادلات انتگرال است. ابتدا قضایايفردهلم براي هسته هاي پیوسته ارائه شد، لیکن بعدها توسط افراد دیگري نظیرکارلمان1، و ریس2،براي هسته هاي کلی تر تعمیم یافت.

در اوایل نیمه دوم قرن اخیر، تحقیقات زیادي روي جواب معادله انتگرال بوسیله هرمن ویل، 3در ارتباط با معادله انتگرال صورت گرفت. لیکن از آنجا که در حالت کلی قادر به حل بسیاري ازمعادلات انتگرال که در عمل با آنها مواجه می شویم نیستیم، لذا از آن سالها ، نیاز به روشهاي تقریبیو عددي جهت حل معادلات انتگرال آشکار شد.

فصل 2

مفاهیم مقدماتی

1.2  مقدمه

در این فصل ما ابتدا تعاریف معادلات انتگرال و متداولترین معادلات انتگرال را بیان می کنیم، و سپسپیش نیاز هایی از معادلات انتگرال را عنوان می کنیم.

تعاریف این بخش بیشتر از مرجع [1، 3، 26، 27] آورده شده است.

تعریف 2.1.1. ([1]). یک معادله انتگرال معادله اي است که در آن تابع مجهول در زیر یک یا چندعلامت انتگرال قرار دارد.

نمونه هایی از معادلات انتگرال عبارتند از:

که در آنها تابع (g(x نامعلوم و توابع دیگر معلوم هستند .

معادلات انتگرال بسته به نوع تابع مجهول از حیث خطی و غیر خطی بودن و همچنین حدودانتگرال گیري و اینکه تابع مجهول به غیر از زیر علامت انتگرال جاي دیگري ظاهر می شود یا نه،انواع مختلفی دارد. که با توجه به کاربردهاي وسیع و متنوع معادلات انتگرال در صنعت ، فیزیک،بیولوژي ، شیمی ، مهندسی و غیره و با نامهاي خاصی ظاهر می شوند. مراجع [2] و [4] منابع خوبیبراي پی بردن به منشا ظهور این گونه معادلات می باشند.

2.2   انواع معادلات انتگرال

تعریف 2.2.1. ([29]). فرم کلی معادلات انتگرال به شکل زیر است :

که در آن (k(x,t هسته معادله انتگرال و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرال (k(x,t و (f(x و (g(x توابع معلوم هستند.

در کتابهاي مختلف معادلات انتگرال را بصورتهاي گوناگونی تقسیم بندي می کنند که متداولترینتقسیم بندي معادلات انتگرال بصورت زیر است :

1.2.2  معادلات انتگرال خطی فردهلم

تعریف 2.2.2. ([29]). درمعادله (4.2) اگرα(x) = a  وβ(x) = b  توابعی ثابت باشند، معادلهرا معادله انتگرال فردهلم می نامند. که به صورت زیردسته بندي می شوند :

الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.

ب- اگر 0≠ (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن رامعادله انتگرال فردهلم نوع دوم می نامند.

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از حل عددی معادلات انتگرال نوع اول با استفاده از چندجمله ای های تیلور

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید