فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه

مفهوم گروه‌وارها در هندسه دیفرانسیل در سال 1950 توسط اریزمن[1] مطرح شد که در واقع تعمیمی از گروه‌ها می‌باشد.یکی از نظریه‌هایی که بر مبنای گروه‌وارها می‌توان ساختارهای آن را مشخص کرد، نظریه‌ی فضاهای پوششی است. این نظریه یکی از مهم‌ترین نظریه‌ها در توپولوژی جبری است که با مطالعه‌ی رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بین آن‌ها در فضاهای پوششی، مفهوم پوشش بامعنا می‌شود که این روابط توسط براون[2]، هاردی[3]، آیسن[4] و موسوک[5] در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسی قرار گرفته است. در سال 1971، هایگنز نشان داد نظریه‌ی گروه­وارهای پوششی نقش مهمی را در عملکرد گروه‌وارها ایفا می‌کنند. در این نظریه دو نتیجه‌ی مهم و کلیدی وجود دارد که بررسی توپولوژیکی این دو نتیجه، در سال 1976 توسط براون و هاردی در مرجع [2]، بیان شده است. طی این بررسی براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش­های توپولوژیکی  و رسته‌ی از گروه‌وارهای پوششی گروه­وار بنیادی  را برای فضای توپولوژیکی  که دارای پوشش جهانی می‌باشد، نشان داد.

در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظریه‌ی حلقه-گروه‌وار را تعریف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که برای حلقه‌ی توپولوژیکی ،  یک حلقه-گروه‌وار می‌شود. سپس هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی  و رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری  را نشان داد.

در فصل اول این پایان‌نامه، مفاهیمی از توپولوژی جبری مانند هموتوپی، هموتوپی‌راهی و اولین گروه بنیادی را بیان می‌کنیم. سپس تعاریفی از نگاشت‌های پوششی، بالابرها، رسته‌ها و تابع­گون‌ها می‌آوریم و در آخر به مفاهیمی از فضاهای توپولوژیکی، گروه‌ها وحلقه‌ها می‌پردازیم.

در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی را معرفی می‌نماییم، سپس مفاهیمی از هموتوپی و اولین گروه بنیادی روی گروه‌وارها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

در فصل سوم، عمل گروه‌وار روی یک مجموعهمانند ، مدول‌ ضربی گروه‌واری و -فضاها را مطرح می‌کنیم و نشان می‌دهیم رسته‌ی  از پوشش‌های توپولوژیکی، با رسته‌ی  از – فضاها هم‌ارز می‌باشد.

در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، ایده‌آل‌های حلقه-گروه‌واری و قضایای مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین در این فصل، ثابت می‌شود که گروه‌وار بنیادی ، یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است که از این مطلب در فصل پنجم برای تعریف رسته‌ها و هم‌ارزی بین آن‌ها استفاده می‌شود.

در فصل پنجم به معرفی رسته‌هایی در فضاهای پوششی و همچنین رسته‌هایی از پوشش‌های گروه‌واری می‌پردازیم و به کمک بالابرها هم‌ارزی بین ، که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد و  که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد، را نشان می‌دهیم. در نهایت نگاشت بالابرنده روی گروه‌وارهای پوششی را تعریف می‌کنیم.

فرض کنید  یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در  گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های  (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:

1- به ازای هر ، دست‌کم یک عضو پایه مانند  شامل  موجود است.

2- اگر  متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند و  باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند  وجود دارد به طوری‌که  و .

 تعریف 1-4. اگر ? پایه‌ی توپولوژی در باشد، آن‌گاه ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ?، چنین تعریف می‌شود:زیرمجموعه‌ی  از  را در  باز گوییم(یعنی عضوی از  باشد)، اگر به‌ازای هر ، عضوی از پایه مانند ?  وجود داشته باشد به طوری‌که  و .بنابر تعریف بالا، هر عضو ? در  باز است، بنابراین ?.

1
تعاریف و قضایای استنادی 4

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم

فرض کنید  و  دو گروه‌وار باشند. اگر برای هر  ، تحدید  یعنی          دوسویی باشد، ریخت  از گروه‌وارها، یک ریخت پوششی نامیده می‌شود.

 تعریف 2-15. ریخت پوششی منظم

فرض کنید  و  دو گروه‌وار باشند. اگر برای تمام اشیاء  از و تمام عناصر ، همه‌ی عناصر  طوقه باشند یا هیچکدام طوقه نباشد، ریخت پوششی از گروه‌وارها را منظم می‌نامیم.

تعریف 2-16. گروه مشخصه

فرض کنید یک ریخت از گروه‌وارها باشد. برای یک شئ ، زیرگروه  از  گروه مشخصه ی در نامیده می‌شود.

 نتیجه 2-17. اگر  ریخت پوششی باشد، آن‌گاه ، را به ‌طور یکریخت به می‌نگارد.

برهان. چون  یک ریخت پوششی است پس دوسویی است. اگر را به تحدید کنیم، یک نگاشت دوسویی است. از طرفی چون عمل گروه شی‌ای را همان عمل گروه‌وار تعریف می‌کنیم و نیز یک ریخت گروه‌واری است پس ، یعنی همریختی گروهی نیز می‌باشد. بنابراین  یک همریختی یک‌به‌یک و پوشاست، پس یکریختی می‌باشد.

 تعریف 2-18. ریخت پوششی جهانی

فرض کنید  و  دو گروه‌وار باشند. اگر  هرپوشش  را بپوشاند، یعنی اگر برای هر ریخت پوششی یک ریخت پوششی یکتای ازگروه‌وارها موجود باشد به‌‌طوری‌که ، آن‌گاه ریخت پوششی از گروه‌وارهای متعدی، ریخت پوششی جهانی نامیده می‌شود.

تعریف 2-19. زیرگروه‌وار

یک زیرگره‌وار از گروه‌وار  یک جفت  از زیرمجموعه‌ها می‌باشد که ،  و  شرایط زیر برقرار باشد:

12-  برای هر اگر  تعریف شده باشد، آن‌گاه . یعنی تحت عمل ترکیب بسته باشد.

 
گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی 15

فصل سوم

اگر برای هر ، و ، یک ،  موجود باشد به طوری‌که ، عمل را متعدی گوییم.تعریف 3-4. فرض کنیم یک ریخت پوششی باشد.اصطلاحاً می‌گوییم عنصر از ،  را می‌پوشاند یا یک بالابر از  می‌باشد. به طور مشابه می‌گوییم ترکیب در ، را می‌پوشاند یا یک بالابر از است.گزاره 3-5. فرض کنید یک شیء از  و . اگر  متعلق به  باشد آن‌گاه عناصر یکتای از وجود دارند به طوری‌که

1-  برای ، .

2-  به‌صورت  تعریف می‌شود و متعلق به  می‌باشد.

برهان. فرض کنید برای هر ، نگاشت دوسویی  باشد. بنابراین عناصر  با قرار دادن شرایط زیر به طور یکتا تعریف می‌شوند.

3-    جایی‌که  و برای ،  نقطه‌ی پایانی  باشد.

بنابراین ترکیب  بامعنا می‌باشد و نقطه‌ی شروع همان نقطه‌ی شروع    یعنی می‌باشد. پس .■

 مثال 3-6. فرض کنید  یک ریخت پوششی از گروه‌وارها باشد. همچنین فرض کنید  و ، آن‌گاه یک عمل چپ از روی توسط را به این‌صورت تعریف می‌کنیم که به هر  و ، هدف بالابر یکتای با منبع را نسبت می‌دهیم. به این‌ معنی که عمل را هدف بالابر یکتای   تعریف می‌کنیم.بالابر یکتای را  در نظر می‌گیریم. طبق تعریف 3-4، و چون یک ریخت است پس  و . بنابراین داریم:

 
عمل‌گروه‌وار و کاربرد آن در -فضاها 42

فصل چهارم

فرض کنیم و  دو گروه-گروه‌وار توپولوژیکی باشند. یک ریخت  از گروه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی است که ساختار گروه توپولوژیکی را نیز حفظ می‌کند یعنی .

مثال 4-5. فرض کنیم یک گروه باشد. نشان می‌دهیم  یک گروه-گروه‌وار است. چون  یک گروه است و هر گروه خود یک گروه‌وار است پس  یک گروه‌وار می‌باشد. همچنین در فصل 2 نشان دادیم که یک گروه‌وار روی  است، پس به طور مشابه نیز یک گروه‌وار روی   می‌باشد.از آنجا که یک گروه است،  نیز یک گروه است با نگاشت‌های گروهی که از نگاشت‌های گروهی به دست می‌آیند، به این‌صورت ‌که ، عنصر یکه ، است جایی‌که  عنصر یکه می‌باشد و معکوس ، است جایی‌که معکوس  و معکوس در  می‌باشند.نشان می‌دهیم نگاشت‌های ساختار گروهی ،ریخت‌های گروه‌واری هستند.

می دانیم  هر ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار ، یک زیرگروه-گروه‌وار از  است. همچنین طبق تعریف نگاشت ، هر ایده‌آل نسبت به عمل ضرب حلقه بسته می‌باشد. از طرفی نگاشت ساختار حلقه‌ای ایده‌آل، که همان  است، یک ریخت گروه‌واری می‌باشد،  پس هر ایده‌آل یک زیرحلقه-گروه‌وار نیز می‌باشد.■ گزاره 4-24. فرض کنید  یک زیرگروه-گروه‌وار از حلقه-گروه‌وار باشد. اگر مجموعه‌ی ریخت‌های ، یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی مجموعه ریخت‌های باشد، آن‌گاه  نیز یک ایده‌آل چپ  است.برهان. فرض کنید  و . بنابراین و . چون مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی  می‌باشد، پس . چون یک زیرگروه‌وار است، پس . درنتیجه یک ایدهآل چپ است.همچنین فرض کنید یک حلقه-گروه‌وار و  یک ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار  باشد. همچنین فرض کنید . برای ، جایی‌که  و تعریف‌شده باشند، طبق گزاره 4-13، داریم:

 
حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی 63

فصل پنجم

تعریف 5-1. فرض کنید یک فضای توپولوژیکی باشد. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از  نگاشتهای پوششی  از فضاهای توپولوژیکی است و یک ریخت در آن از    به ، یک نگاشت پوششی  می باشد به طوریکه ، را رسته‌ی   می‌نامیم. روی فضای توپولوژیکی ، گروهوار بنیادی  را داریم، بنابراین  را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

 تعریف 5-2. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از پوششهای گروهواری  از است و یک ریخت در آن از به ، یک ریخت پوششی  از گروهوارها است به طوریکه ، را  رسته‌ی   می‌نامیم.

 گزاره 5-3. فرض کنید یک فضای توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی میباشد. آنگاه رستهی  از پوششهای توپولوژیکی و رستهی  از گروهوارهای پوششی گروهوار بنیادی همارز میباشند.

برهان. به مرجع [1]، صفحهی 388 مراجعه شود.

 تعریف 5-4. فرض کنید  و  گروههای توپولوژیکی باشند. اگر  یک ریخت از گروهها باشد و  یک نگاشت پوششی روی فضاهای مورد نظر باشد، نگاشت یک ریخت پوششی از گروه‌های توپولوژیکی نامیده می‌شود.  برای گروه توپولوژیکی ، رستهای به نام  داریم که اشیاء آن پوشش‌های گروهی توپولوژیکی  می‌باشند و یک ریخت از به ، یک نگاشت پوششی است به طوریکه . برای گروه توپولوژیکی ، گروهوار بنیادی یک گروه-گروهوار است. بنابراین رسته‌ی  را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.

 تعریف 5-5. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از پوششهای گروه-گروهواری  از میباشند و یک ریخت در آن از  به ، یک ریخت پوششی  از گروه-گروهوارها است به طوریکه ، را رسته‌ی  می‌نامیم.

 گزاره 5-6. فرض کنید یک گروه توپولوژیکی باشد که دارای پوشش جهانی است. آنگاه رستهی از پوشش‌های گروهی توپولوژیکی ، با رسته‌ی  از گروه-گروهوارهای پوششی گروه- گروهوار ، همارز میباشد.

برهان. به مرجع [14]، مراجعه شود.

 تعریف 5-7. فرض کنید و  حلقههای توپولوژیکی باشند.اگر  یک ریخت از حلقه‌ها و یک نگاشت پوششی روی فضاهای مورد نظر باشد، نگاشت ، یک ریخت پوششی از حلقه‌های توپولوژیکی نامیده می‌شود.

 برای حلقه‌ی توپولوژیکی ، یک رسته به نام  داریم که اشیاء آن ریختهای پوششی از حلقههای توپولوژیکی است و یک ریخت  از  به ، یک نگاشت پوششی  می‌باشد به طوری‌که .برای حلقه ی توپولوژیکی ، گروه‌وار بنیادی ، یک حلقه-گروه‌وار است. بنابراین رسته‌ی   را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.

  تعریف 5-8. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از پوششهای حلقه-گروهواری            از می‌باشند و یک ریخت در آن از به ، یک ریخت پوششی  از حلقه-گروهوارها است به طوری‌که ، را رسته‌ی   می‌نامیم.

 گزاره 5-9. فرض کنید  یک حلقه‌ی توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی می‌باشد. آن‌گاه رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی ، با رسته‌ی   از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری حلقه-گروه‌وار ، هم‌ارز می‌باشند.

برهان. تابعگون‌  را تعریف می‌کنیم. فرض کنید یک ریخت پوششی از حلقه‌های توپولوژیکی باشد. طبق گزاره ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌5-6، ریخت القائی ، یک ریخت پوششی از گروه-گروه‌وارها است. همچنین  یک ریخت حافظ ساختار حلقه نیز می‌باشد زیرا    بنابراین یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها است.تابعگون  را تعریف می‌کنیم. اگر یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها باشد، طبق گزاره 5-6، یکریخت پوششی از گروه‌های تولوژیکی است جایی‌که و . نشان می‌دهیم یک حلقه‌ی توپولوژیکی است. چون یک گروه توپولوژیکی است و دارای توپولوژی بالابرده شده از  می‌باشد، کافی است ثابت کنیم نگاشت ساختار حلقه‌ای   پیوسته می‌باشد.چون دارای پوشش جهانی است، پس ? را مجموعه‌ای از بازهای قابل بالابردن در  درنظر می‌گیریم. فرض کنید یک همسایگی باز و قابل بالابردن حول باشد.  را یک بالابر حول  در ،در نظر می‌گیریم. نشان می‌دهیم  در  باز است. چون                پیوسته است، بنابراین بازهای و ، حول  و  وجود دارند به طوری‌که و . اگر و  را به‌ترتیب همسایگی‌های باز قابل بالابردن حول و در نظر بگیریم،  و نیز همسایگی‌های باز قابل بالابردن حول و می‌باشند. فرض کنید و بالابرهای  و حول و  در  باشند. چون  و  بازهای توپولوژیکی می‌باشند، پس  در باز است. براساس نمودار جابه‌جایی زیر داریم .

چون  و  حلقه‌های توپولوژیکی هستند و یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها است، پس و  ریخت‌هایی از حلقه‌های توپولوژیکی می‌باشند. بنابراین یک ریخت حلقه‌ای توپولوژیکی است.طبق گزاره 5-6،  و هم‌ارز می‌باشند. براساس نمودار زیر، با تعریف نگاشت‌های یک‌به‌یک و     ، و با تحدید  به و   به   برای  و ، داریم:درنتیجه و  هم‌ارز می‌باشند.■

 گزاره 5-10. فرض کنید  یک زیررسته‌ی کامل از  باشد به طوری‌که اشیاء آن ریخت‌های پوششی ازحلقه‌های توپولوژیکی باشند، جایی‌که و هر دو دارای پوشش جهانی هستند. همچنین فرض کنید یک زیررسته‌ی کامل از  باشد به طوری‌که اشیاء آن ریخت‌های پوششی  ازحلقه‌-گروه‌وارهای توپوژیکی باشند، جایی‌که و  هر دو دارای پوشش جهانی هستند. رسته‌های و   هم‌ارز می‌باشند.برهان. تابعگون را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.فرض کنید یک ریخت پوششی از حلقه‌های تولوژیکی باشد به طوری‌که و هر دو دارای پوشش جهانی هستند. طبق گزاره 5-9،  یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها می‌باشد. نشان می‌دهیم  یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها‌ی توپولوژیکی است. بنابراین ثابت می‌کنیم  همئومورفیسم است. چون یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها می‌باشد، پس                    دوسویی است. همچنین  و دارای توپولوژی بالابرده‌شده می باشند، پس فضاهای توپولوژیکی هستند. طبق تعریف داریم ، پس یک نگاشت پیوسته می‌باشد. بنابراین یک ریخت از حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی است. چون  نیز به‌عنوان نگاشت منبع حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی پیوسته است، پس   پیوسته می‌باشد.باید ثابت کنیم دارای معکوس پیوسته است. چون ، یک نگاشت باز است، پس دارای معکوس پیوسته می‌باشد. بنابراین  یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها‌ی توپولوژیکی است.حال تابعگون   را به شکل زیر تعریف می‌کنیم.فرض کنید ، یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها‌ی توپولوژیکی است به‌طوری‌که  و ، هردو دارای پوشش جهانی می‌باشند. چون  دارای پوشش جهانی است، پس دارای توپولوژی بالابرده‌شده می‌باشد. بنابراین طبق گزاره 5-3، نگاشت پوششی از فضاهای توپولوژیکی را داریم به‌طوری‌که و .از طرفی چون یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی است، پس و   ریخت‌هایی از حلقه‌های توپولوژیکی می‌باشند. بنابراین یک ریخت از حلقه‌های توپولوژیکی است. طبق گزاره 5-9، رسته‌ی  با رسته‌ی هم‌ارز می‌باشند. بنابراین با توجه به نگاشت‌های شمول و و با توجه به این‌که تابعگون‌های و  در زیررسته‌های کامل، تحدید تابعگون‌های و در رسته‌های  و می‌باشند، پس برای هر و داریم:

 

 
رسته­ها و بالابرها 85
منابع 93
واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 97
واژه‌نامه انگلیسی به فارسی 103

 

ABSTRACT

In this thesis, we consider the structures of groupoids, topological groupoids, topological ring-groupoids, morphisms of between them, coverings of groupoids and topological ring-groupoids and liftings in this theory. We show that the set of homotopy classes of the all paths in a topological ring is a topological ring object. Let  be a covering map and  be a topological ring, We show category  of coverings of  in which both  and  have universal coverings, and category  of coverings of topological ring-groupooid , in which  and  have universal coverings, are equivalent, which was consider in the paper “Topological Ring-groupoids and Liftings” by “A. Fatih Ozcan, I. Icen and M. Habil Gursoy”, 2006.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان