فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه

مفهوم گروه‌وارها در هندسه دیفرانسیل در سال 1950 توسط اریزمن[1] مطرح شد که در واقع تعمیمی از گروه‌ها می‌باشد.یکی از نظریه‌هایی که بر مبنای گروه‌وارها می‌توان ساختارهای آن را مشخص کرد، نظریه‌ی فضاهای پوششی است. این نظریه یکی از مهم‌ترین نظریه‌ها در توپولوژی جبری است که با مطالعه‌ی رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بین آن‌ها در فضاهای پوششی، مفهوم پوشش بامعنا می‌شود که این روابط توسط براون[2]، هاردی[3]، آیسن[4] و موسوک[5] در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسی قرار گرفته است. در سال 1971، هایگنز نشان داد نظریه‌ی گروه­وارهای پوششی نقش مهمی را در عملکرد گروه‌وارها ایفا می‌کنند. در این نظریه دو نتیجه‌ی مهم و کلیدی وجود دارد که بررسی توپولوژیکی این دو نتیجه، در سال 1976 توسط براون و هاردی در مرجع [2]، بیان شده است. طی این بررسی براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش­های توپولوژیکی  و رسته‌ی از گروه‌وارهای پوششی گروه­وار بنیادی  را برای فضای توپولوژیکی  که دارای پوشش جهانی می‌باشد، نشان داد.در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظریه‌ی حلقه-گروه‌وار را تعریف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که برای حلقه‌ی توپولوژیکی ،  یک حلقه-گروه‌وار می‌شود. سپس هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی  و رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری  را نشان داد.

در فصل اول این پایان‌نامه، مفاهیمی از توپولوژی جبری مانند هموتوپی، هموتوپی‌راهی و اولین گروه بنیادی را بیان می‌کنیم. سپس تعاریفی از نگاشت‌های پوششی، بالابرها، رسته‌ها و تابع­گون‌ها می‌آوریم و در آخر به مفاهیمی از فضاهای توپولوژیکی، گروه‌ها وحلقه‌ها می‌پردازیم.در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی را معرفی می‌نماییم، سپس مفاهیمی از هموتوپی و اولین گروه بنیادی روی گروه‌وارها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.در فصل سوم، عمل گروه‌وار روی یک مجموعهمانند ، مدول‌ ضربی گروه‌واری و -فضاها را مطرح می‌کنیم و نشان می‌دهیم رسته‌ی  از پوشش‌های توپولوژیکی، با رسته‌ی  از – فضاها هم‌ارز می‌باشد.در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، ایده‌آل‌های حلقه-گروه‌واری و قضایای مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین در این فصل، ثابت می‌شود که گروه‌وار بنیادی ، یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است که از این مطلب در فصل پنجم برای تعریف رسته‌ها و هم‌ارزی بین آن‌ها استفاده می‌شود.در فصل پنجم به معرفی رسته‌هایی در فضاهای پوششی و همچنین رسته‌هایی از پوشش‌های گروه‌واری می‌پردازیم و به کمک بالابرها هم‌ارزی بین ، که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد و  که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد، را نشان می‌دهیم. در نهایت نگاشت بالابرنده روی گروه‌وارهای پوششی را تعریف می‌کنیم.

فرض کنید  یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در  گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های  (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:

1- به ازای هر ، دست‌کم یک عضو پایه مانند  شامل  موجود است.

2- اگر  متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند و  باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند  وجود دارد به طوری‌که  و . تعریف 1-4. اگر ? پایه‌ی توپولوژی در باشد، آن‌گاه ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ?، چنین تعریف می‌شود:زیرمجموعه‌ی  از  را در  باز گوییم(یعنی عضوی از  باشد)، اگر به‌ازای هر ، عضوی از پایه مانند ?  وجود داشته باشد به طوری‌که  و .بنابر تعریف بالا، هر عضو ? در  باز است، بنابراین ?.

 تعریف 1-5. توپولوژی حاصل‌ضربی

فرض کنید  و  دو فضای توپولوژیک باشند. توپولوژی حاصل‌ضربی در توپولوژی است که پایه‌ی آن گردایه‌ی ? متشکل از همه‌ی مجموعه‌هایی به صورت است که در آن زیرمجموعه‌ی بازی از و زیرمجموعه‌ی بازی از است.

 قضیه 1-6. اگر ? پایه‌ای برای توپولوژی و ? پایه‌ای برای توپولوژی باشد، آن‌گاه گردایه‌ی     پایه‌ای برای توپولوژی است.برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 114 مراجعه کنید.

1
تعاریف و قضایای استنادی 4

فصل دوم

گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی 15

فصل سوم

فرض کنید یک ریخت از گروه‌وارها باشد. برای یک شئ ، زیرگروه  از  گروه مشخصه ی در نامیده می‌شود. نتیجه 2-17. اگر  ریخت پوششی باشد، آن‌گاه ، را به ‌طور یکریخت به می‌نگارد.برهان. چون  یک ریخت پوششی است پس دوسویی است. اگر را به تحدید کنیم، یک نگاشت دوسویی است. از طرفی چون عمل گروه شی‌ای را همان عمل گروه‌وار تعریف می‌کنیم و نیز یک ریخت گروه‌واری است پس ، یعنی همریختی گروهی نیز می‌باشد. بنابراین  یک همریختی یک‌به‌یک و پوشاست، پس یکریختی می‌باشد.

 تعریف 2-18. ریخت پوششی جهانیفرض کنید  و  دو گروه‌وار باشند. اگر  هرپوشش  را بپوشاند، یعنی اگر برای هر ریخت پوششی یک ریخت پوششی یکتای ازگروه‌وارها موجود باشد به‌‌طوری‌که ، آن‌گاه ریخت پوششی از گروه‌وارهای متعدی، ریخت پوششی جهانی نامیده می‌شود.

تعریف 2-19. زیرگروه‌واریک زیرگره‌وار از گروه‌وار  یک جفت  از زیرمجموعه‌ها می‌باشد که ،  و  شرایط زیر برقرار باشد:

1- ،   و

2-  برای هر اگر  تعریف شده باشد، آن‌گاه . یعنی تحت عمل ترکیب بسته باشد.

3-  برای هر ، باشد.

عمل‌گروه‌وار و کاربرد آن در -فضاها 42

فصل چهارم

چون یک گروه‌وار توپولوژیکی است، پس  و  فضاهای توپولوژیکی می‌باشند. در نتیجه یک فضای توپولوژیکی است. چون یک ریخت پوششی توپولوژیکی است،  یک نگاشت پیوسته می‌باشد.از طرفی   که یک نگاشت پیوسته است در سه اصل مربوط به یک عمل صدق می‌کند، بنابراین  یک عمل پیوسته از روی می‌باشد. پس  یک –فضا است.یک ریخت در رسته‌ی ، از به ، طبق2-45، یک ریخت پوششی توپولوژیکی می‌باشد به طوری‌که .نشان می‌دهیم ریختی مانند  از رسته‌ی ، یک ریخت از –فضاها را به صورت زیر القا می‌کند.فرض کنید به طوری‌که یک فضای توپولوژیکی،  وباشد. همچنین به طوری‌که یک فضای توپولوژیکی، و باشد. بنابراین ثابت می‌کنیم یک ریخت از –فضاها است.تابع را در نظر می‌گیریم. چون یک ریخت پوششی توپولوژیکی است، پس پیوسته است. بنابراین یک تابع پیوسته از به می‌باشد.

حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی 63

فصل پنجم

گزاره 5-3. فرض کنید یک فضای توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی میباشد. آنگاه رستهی  از پوششهای توپولوژیکی و رستهی  از گروهوارهای پوششی گروهوار بنیادی همارز میباشند.برهان. به مرجع [1]، صفحهی 388 مراجعه شود. تعریف 5-4. فرض کنید  و  گروههای توپولوژیکی باشند. اگر  یک ریخت از گروهها باشد و  یک نگاشت پوششی روی فضاهای مورد نظر باشد، نگاشت یک ریخت پوششی از گروه‌های توپولوژیکی نامیده می‌شود.

  برای گروه توپولوژیکی ، رستهای به نام  داریم که اشیاء آن پوشش‌های گروهی توپولوژیکی  می‌باشند و یک ریخت از به ، یک نگاشت پوششی است به طوریکه . برای گروه توپولوژیکی ، گروهوار بنیادی یک گروه-گروهوار است. بنابراین رسته‌ی  را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم. تعریف 5-5. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از پوششهای گروه-گروهواری  از میباشند و یک ریخت در آن از  به ، یک ریخت پوششی  از گروه-گروهوارها است به طوریکه ، را رسته‌ی  می‌نامیم.

 گزاره 5-6. فرض کنید یک گروه توپولوژیکی باشد که دارای پوشش جهانی است. آنگاه رستهی از پوشش‌های گروهی توپولوژیکی ، با رسته‌ی  از گروه-گروهوارهای پوششی گروه- گروهوار ، همارز میباشد.

برهان. به مرجع [14]، مراجعه شود. تعریف 5-7. فرض کنید و  حلقههای توپولوژیکی باشند.اگر  یک ریخت از حلقه‌ها و یک نگاشت پوششی روی فضاهای مورد نظر باشد، نگاشت ، یک ریخت پوششی از حلقه‌های توپولوژیکی نامیده می‌شود. برای حلقه‌ی توپولوژیکی ، یک رسته به نام  داریم که اشیاء آن ریختهای پوششی از حلقههای توپولوژیکی است و یک ریخت  از  به ، یک نگاشت پوششی  می‌باشد به طوری‌که .برای حلقه ی توپولوژیکی ، گروه‌وار بنیادی ، یک حلقه-گروه‌وار است. بنابراین رسته‌ی   را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.

  تعریف 5-8. مجموعه‌ای که اشیاء آن متشکل از پوششهای حلقه-گروهواری            از می‌باشند و یک ریخت در آن از به ، یک ریخت پوششی  از حلقه-گروهوارها است به طوری‌که ، را رسته‌ی   می‌نامیم. گزاره 5-9. فرض کنید  یک حلقه‌ی توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی می‌باشد. آن‌گاه رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی ، با رسته‌ی   از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری حلقه-گروه‌وار ، هم‌ارز می‌باشند.برهان. تابعگون‌  را تعریف می‌کنیم. فرض کنید یک ریخت پوششی از حلقه‌های توپولوژیکی باشد. طبق گزاره ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌5-6، ریخت القائی ، یک ریخت پوششی از گروه-گروه‌وارها است. همچنین  یک ریخت حافظ ساختار حلقه نیز می‌باشد زیرابنابراین یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها است.

تابعگون  را تعریف می‌کنیم. اگر یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارها باشد، طبق گزاره 5-6، یکریخت پوششی از گروه‌های تولوژیکی است جایی‌که و . نشان می‌دهیم یک حلقه‌ی توپولوژیکی است. چون یک گروه توپولوژیکی است و دارای توپولوژی بالابرده شده از  می‌باشد، کافی است ثابت کنیم نگاشت ساختار حلقه‌ای   پیوسته می‌باشد.

چون دارای پوشش جهانی است، پس ? را مجموعه‌ای از بازهای قابل بالابردن در  درنظر می‌گیریم. فرض کنید یک همسایگی باز و قابل بالابردن حول باشد.  را یک بالابر حول  در ،در نظر می‌گیریم. نشان می‌دهیم  در  باز است. چون                پیوسته است، بنابراین بازهای و ، حول  و  وجود دارند به طوری‌که و . اگر و  را به‌ترتیب همسایگی‌های باز قابل بالابردن حول و در نظر بگیریم،  و نیز همسایگی‌های باز قابل بالابردن حول و می‌باشند. فرض کنید و بالابرهای  و حول و  در  باشند. چون  و  بازهای توپولوژیکی می‌باشند، پس  در باز است. براساس نمودار جابه‌جایی زیر داریم .

رسته­ها و بالابرها 85
منابع 93
واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 97
واژه‌نامه انگلیسی به فارسی

 

ABSTRACT

In this thesis, we consider the structures of groupoids, topological groupoids, topological ring-groupoids, morphisms of between them, coverings of groupoids and topological ring-groupoids and liftings in this theory. We show that the set of homotopy classes of the all paths in a topological ring is a topological ring object. Let  be a covering map and  be a topological ring, We show category  of coverings of  in which both  and  have universal coverings, and category  of coverings of topological ring-groupooid , in which  and  have universal coverings, are equivalent, which was consider in the paper “Topological Ring-groupoids and Liftings” by “A. Fatih Ozcan, I. Icen and M. Habil Gursoy”, 2006.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان

103