فهرست مطالب

فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی

در این فصل مفاهیم پایه مورد نیاز را بیان نموده و در ادامه مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، ، سوبولف و قضایای مرتبط به آن ها خواهیم داشت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب و مقالات معتبر گردآوری شده است(منابع [1]، [5]، [11] ، [13]، [23] ، [32] و … را ملاحظه کنید).

  • مفاهیم مقدماتی
    • تعریف(دامنه):

فرض کنیم  فضای اقلیدسی -بعدی ( ) با نقاط  که,     و   باشد. در این صورت  را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.

  • تعریف:

مجموعه ی همه ی توابع پیوسته روی Ω را با  نشان می دهیم. برای ،  نشان دهنده ی توابعی هستند که همه ی مشتقات تا مرتبه ی -ام آن ها روی Ω موجود و پیوسته است.  کلاس همه ی توابعی است که برای هر عدد طبیعی ، متعلق به  باشد.

  • تعریف:

محمل یک تابع پیوسته ی  روی  بصورت زیر تعریف می شود:

یعنی برای هر ، اگر  ، آنگاه 0 . همان طور که می دانیم (طبق قضیه ی هاینه برل) مجموعه های بسته و کراندار در  فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل  کراندار باشد، می گوییم  دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته  که محمل فشرده دارند را با  نمایش می دهیم. بطور مشابه  نشان دهنده ی توابع پیوسته روی Ω می باشد که محمل آن ها یک زیرمجموعه ی فشرده از Ω است. هم چنین  نیز به طریق مشابه قابل تعریف است.

  • تعریف:     گوییم تابع  روی دامنه ی Ω تغییر علامت می دهد هرگاه اندازه ی مجموعه های  و   مثبت باشد.
  • تعریف(مجموعه ی محدب):     مجموعه ی  را محدب گویند، هرگاه برای هر  و هر  داشته باشیم
  • تعریف (تابع محدب):     تابع حقیقی تعریف شده در  را محدب گویند هرگاه برای هر  و هر  داشته باشیم
  • تعریف(تابع آزمون):     تابع ، تعریف شده روی مجموعه ی باز غیرتهی  را یک تابع آزمون  نامند، هرگاه  باشد و یک مجموعه ی فشرده مانند  موجود باشد، طوری که محمل  در  قرار داشته باشد. مجموعه ی تمام این توابع را با  نشان می دهند.

 نمادگذاری:      را گردایه ی تمام توابع تعریف شده روی قلمرو Ω در نظر می گیریم طوری که:اغلب اوقات با توابعی که بطور موضعی انتگرال پذیر هستند، روبرو می شویم، یعنی توابعی که روی هر زیرمجموعه فشرده از Ω انتگرال پذیر هستند و لزومی ندارد که روی خود Ω انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه ی چنین توابعی را با  نشان می دهیم.چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه ی خود را می گیرند، می توان نتیجه گرفت که :

  • تعریف(نگاشت خطی، تابعک خطی):     فرض کنید  و  فضاهای برداری باشند، یک نگاشت  را خطی گوییم هرگاه

نگاشت های خطی از  به میدان اسکالر، تابعک خطی نامیده می شوند.

1-1-10. تعریف(نقطه ی بحرانی یک تابعک):     گوییم  نقطه ی بحرانی تابعک  می باشد هرگاه . به عبارت دیگر برای هر  باید داشته باشیم

1-1-11.تعریف(نماد ):     برای  و یک عدد حقیقی  می گوییم  اگر و فقط اگر وقتی که ، داشته باشیم

1-1-12. تعریف(دنباله می نیمم کننده):     دنباله ی  یک می نیمم کننده برای تابع  روی  است اگر

1-1-13.تعریف(تابع برشی[1]):تابع  را یک تابع برشی گوییم هرگاه هموار بوده و در یک همسایگی، صفر و برای  های بزرگ  باشد.

1-2-1. تعریف (پیوستگی هولدر):     فرض کنید  یک نقطه در  و  یک تابع تعریف شده روی یک زیرمجموعه باز کراندار Ω شامل  باشد. برای  می گوییم «  پیوسته ی هولدر با قوه ی  در  » است اگر که کمیتمتناهی باشد.

اگر در کمیت فوق  باشد می گوییم  در نقطه ی  پیوسته ی لیپ شیتز [3] است. اگر  پیوسته ی هولدردر  باشد، آنگاه  در  به وضوح پیوسته است.

 1-2-2. تعریف(پیوستگی هولدر در ):     گوییم تابع ، پیوسته ی هولدر با قوه ی  در Ω می باشد، هرگاه مقدار متناهی باشد.

1-3-1. تعریف(فضای خطی نرمدار، فضای باناخ):     فضای برداری  را یک « فضای خطی نرمدار » نامیم، هرگاه نرم روی  که با نگاشت  معرفیمی شود، دارای شرایط زیر باشد:

  • برای هر  و  اگر و تنها اگر  ،
  • برای هر  و هر  ،
  • برای هر  .

یک فضای نرمدار خطی  ، تحت متر تعریف شده در زیر، یک فضای متریک می باشد :در نتیجه یک دنباله  همگرا به عنصر  است، هرگاه وقنی که ، داشته باشیم             ، هم چنین  یک دنباله کوشی است هرگاه  وقتی که  . هر فضای باناخ یک فضای خطی نرمدار است که با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش تام (کامل) باشد، یعنی هر دنباله کوشی در  با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش به نقطه ای از  همگرا باشد.

1-3-2. تعریف(فضای باناخ انعکاسی):      فضای باناخ  انعکاسی نامیده می شود هرگاه ایزومتری  از  تعریف شده به وسیله ی  پوشا باشد که در آن  تابعک خطی روی  است.

1-3-3. تعریف(نرمهای معادل):     فرض کنید  یک فضای برداری نرم دار و  و  دو نرم که روی  تعریف شده اند، نرم های  و  معادل نامیده می شوند و می نویسیم  اگر اعداد حقیقی مثبت  و  موجود باشند طوری که

1-3-4. تعریف(دوگان):     فرض کنیم  یک فضای باناخ باشد، در این صورت خانواده ی همه ی تابعک های خطی و کراندار روی  با نرمخود یک فضای باناخ است که آن را دوگان فضای  نامیده و با  نمایش می دهند.

  • تعریف:فرض کنیم  یک فضای برداری توپولوژیکی و  فضای دوگان آن باشد، یک -توپولوژی از  یک ضعیف  -توپولوژی از  نامیده می شود.
  • قضیه(باناخ-آلوگلو):اگر  یک همسایگی از صفر در یک فضای برداری توپولوژیکی  باشد و اگرآنگاه  ضعیف  -فشرده است.

1-3-7. تعریف(همگرایی ضعیف[4]):     فرض کنیم  یک فضای باناخ باشد، دنباله ی  همگرای ضعیف به عنصر  است هرگاه:

1-3-8 . تعریف(همگرایی قوی):     فرض کنیم  یک فضای باناخ باشد، در این صورت دنباله ی  از  را به عنصر  همگرای قوی گویند هرگاه .

1-3-9. قضیه (ریس):فرض کنیم  یک فضای هنج دار و  یک زیرفضای خطی سره و بسته از  باشد و داشته باشیم ، در این صورت  ای وجود دارد به قسمی که

 1-3-10 . قضیه(در مورد همگرایی ضعیف):  [31,3]

در فضای نرمدار  داریم:

1) اگر  همگرای ضعیف باشد، آنگاه حد ضعیف ، یکتاست.

2) اگر  همگرای ضعیف باشد، آنگاه هر زیردنباله ای از  نیز به  همگرای ضعیف است.

3) اگر  همگرای ضعیف باشد، آنگاه  به طور یکنواخت کراندار است.

4) اگر  همگرا باشد، آنگاه  همگرای ضعیف است.

5) اگر  همگرای ضعیف باشد و ، آنگاه  همگرای قوی است.

6)اگر  همگرای ضعیف باشد، آنگاه  .

1-3-11. لم(فأتو[5]):     اگر   مجموعه ی اندازه پذیر و  دنباله ای نامنفی از توابع اندازه پذیر باشد، آنگاه داریم:

1-3-12. تعریف(فضای ضرب داخلی، فضای هیلبرت):     فضای برداری (حقیقی)  را یک فضای ضرب داخلی نامیم، هرگاه به هر زوج مرتب از بردارهای  در  یک عدد حقیقی مانند  به نام حاصل ضرب داخلی  و  چنان مربوط شده باشد که قواعد زیر برقرار باشند:

  • برای هر ،  ،
  • برای هر و هر  داشته باشیم:
  • برای هر و  ،
  • اگر و تنها اگر  .

بنابر (3) می توان  ، یعنی نرم بردار  را ریشه ی دوم نامنفی  تعریف کرد. یعنی:در این صورت بوضوح شرایط (1) و (2) در تعریف 1-3-1 برقرارند. برای اثبات نامساوی مثلثی، مطابق نامساوی کوشی-شوارتز، به ازای هر  داریم :

و همچنین با کمک نامساوی  بدست خواهیم آورد:یابنابراین تمام اصول موضوعه یک فضای نرمدار خطی برقرار می باشد، لذا یک فضای ضرب داخلی ، یک فضای نرمدار خطی نیز است. هرگاه این فضای ضرب داخلی تام (کامل) باشد آن را یک فضای هیلبرت می گویند.

1-3-13. تعریف(تعامد):     فرض کنید  یک فضای هیلبرت باشد. می گوییم دو عنصر  متعامدند، هرگاه . برای هر زیرفضای  از ، متمم متعامد را به صورت زیر تعریف می کنیم :بوضوح  یک زیر فضای بسته ای از  است. اگر  نیز بسته باشد، آنگاه  جمع مستقیم  و  است و می نویسیم:

1-3-14. قضیه:       هر دنباله ی کراندار در یک فضای هیلبرت دارای یک زیردنباله به طور ضعیف همگراست..

1-4-1. تعریف(فضای ):     فرض کنید Ω یک دامنه ی کراندار در  و  یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین  یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی Ω باشد. تعریف می کنیم:

1-1.مفاهیم مقدماتی ………………………………………………………………………………………………………………………..2

1-2. پیوستگی هولدر ……………………………………………………………………………………………………………………….5

1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت ……………………………………………………………………………………………………………..6

1-4. فضاهای  ……………………………………………………………………………………………………………………………10

1-5. قضیه ی دیورژانس …………………………………………………………………………………………………………………..13

1-6. فضاهای سوبولف …………………………………………………………………………………………………………………… 15

1-7. عملگرهای خطی ……………………………………………………………………………………………………………………. 18

1-8 . روش های حساب تغییرات ……………………………………………………………………………………………………….22

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم: وجود یک جواب غیربدیهی برای مسئله ی p و q-لاپلاسین با غیرخطی مجانبی

مسأله ی بیضوی نوع -لاپلاسین زیر را در نظر می گیریم  طوری که در آن ، ،  و  و زمانی که ،  به یک ثابت مثبت میل می کند.     در این فصل می خواهیم ثابت کنیم که این مسأله دارای یک جواب غیربدیهی در  است، حتی اگر برای  غیرخطی  در شرط (شرط آمبروستی-رابینز[1](AR))صدق نکند.     جهت اثبات وجود این جواب، در بخش اول به بررسی برخی نتایج اولیه در قالب چند لم می پردازیم، در ادامه نتایج اصلی خود را در بخش دوم و سوم در هر بخش در قالب یک قضیه مطرح نموده و به اثبات آن خواهیم پرداخت. در واقع جهت اثبات نتایج خود و دست یافتن به جواب مسأله ی (1.2) نتیجه ی اصلی در  را تعمیم خواهیم داد.

معادله ی خطیرا در نظر می گیریم، این معادله در مسائل کاربردی مورد استفاده قرار می گیرد و تا کنون مطالعات متعددی تحت شرایط گوناگون روی ،پیرامون وجود جواب های غیربدیهی این معادله صورت گرفته است.     جهت بررسی مسأله ی (1.2) شرایطی که روی  اعمال می کنیم به شرح زیر است:   :   در شرط کاراتئودوری[2] صادق باشد یعنی برای ،  برای  پیوسته باشد و  برای  نسبت به  اندازه پذیر لبگ باشد، برای  داشته باشیم   و برای  و همه ی ،  باشد.

: برای ، حد یکنواخت   و برای  و برخی مقادیر  حد یکنواخت   برقرار باشد.

: برای هر ،  نسبت به  ، صعودی باشد.

: تابع  ای وجود دارد طوری که برای هر  داریم  و برای هر ،  طوری که برای  های کراندار حد یکنواخت  برقرار باشد.

:  و برای تمام ، داریم .

جواب های (1.2)، با نقاط بحرانی تابعک انرژی متناظر آن که به صورتروی فضای باناخ  که انعکاسی و جدایی پذیراست تعریف می شود، در ارتباط می باشند.      در این تعریف داریم  . در تمام این فصل نرم برای هر  به صورتتعریف می شود.

به وضوح اگر  تا  برقرار باشند،  خواهد بود. برای بررسی وجود نقاط بحرانی  تحت شرایط  تا ، طبیعی است که باید از قضیه ی مسیر کوهی استفاده کتیم. با توجه به  داریم  . بنابراین با توجه به  و  ، شرایط لازم برای این قضیه برقرارند.

به منظور تشریح جزئیات نتیجه ی اصلی خود، مسئله ای که تحت شرایط  تا  در بی نهایت در ارتباط با (1.2) باشد، به صورت زیر تعریف می کنیم:و برای هر  تعریف می کنیمکه در آن  . به وضوح  خواهد بود. تعریف می کنیم

 که در آن  زوج دوگان بین  و فضای دوگان آن  می باشد و  مشتق فرچت  است. از آنجایی که  است (لم 2-2-2 را ببینید) مسأله ی کمینه سازی زیر را تعریف می کنیم      فرض کنید  مشتق فرچت  باشد،  را یک جواب ضعیف برای مسأله ی (1.2) می نامیم هرگاه در ،  باشد و  یک جواب ضعیف برای (4.2) است هرگاه داشته باشیم         با توجه به ، هر کمینه ساز از (7.2) یک حالت اساسی برای مسأله ی (4.2) نامیده می شود.     به منظور اثبات قضیه ی 2-2-1، با توجه به  برای بدست آوردن یک دنباله ی کمینه ساز (در حقیقت دنباله کرامی[3])  از   که با توجه به آن می توان اثبات کرد   و برای آن داریم ، از اصل تغییراتی اکلند روی خمینه ی فینسلری (لم 2-1-5) استفاده می کنیم. سپس می توانیم اثبات کنیم که  توسط برخی عناصر  که جواب های مسأله ی (2.2) هستند، بدست می آید.     قضیه ی 2-3-1 با استفاده از قضیه ی مسیر کوهی بدون شرط کرامی در  و اصل انقباض-فشردگی اثبات خواهد شد( ). به منطور اثبات این قضیه از  جواب مسأله ی (2.2) که از قضیه ی 2-2-1 بدست می آید به منظور ایجاد یک مسیر کوهی(بزرگترین مسیر یکنواخت) مرتبه ی c، استفاده می کنیم، داریمکه در آن برای  به اندازه کافی بزرگ  .     به صورت مستقیم اثبات خواهیم کرد که برای  به اندازه ی کافی بزرگ   .

برای  که  و ، با توجه به فرض  برای  به اندازه ی کافی بزرگ داریم      . با توجه به این ساختار به سادگی می توان نتیجه گرفت که  .     با توجه به قضیه ی مسیر کوهی در ،  دنباله ی کرامی  از  در سطح c بدست می آوریم که برای آن داریم

سپس از این حقیقت که  و اصل انقباض-فشردگی، به منظور اثبات کرانداری  و اینکه حد ضعیف برخی از زیردنباله های  جواب های غیربدیهی از (1.2) است، استفاده می کنیم.     حال به معرفی چند نماد می پردازیم.     برای هر  که  همان فضای دوگان  است، نرم  در  با  نشان داده می شود و نرم  بصورتتعریف می شود و نرم های معادل در  و   به ترتیب بصورتتعریف می شوند و یک ثابت مثبت کلی را با  نشان می دهیم مگر اینکه خلاف آن فرض شود.

 2-1. نتایج اولیه

در این بخش، به بدست آوردن برخی نتایح اولیه که در بخش های بعدی به کار می آیند می پردازیم.در ابتدا با توجه به شرایط    تا  ، به روابطی دست می یابیم که به شرح زیر است:با توجه به   برای هر  خواهیم داشت

با توجه به شرایط   تا   برای هر  و ،  ای موجود است طوری که برای تمام  داریم با توجه به    برای هر  و  داریمبا ترکیب شرایط   تا   خواهیم داشتعلاوه براین با توجه به    داریم

2-1-1. لم:     فرض کنید  یک دنباله ی کراندار و  باشد، آنگاه یک زیردنباله از  وجود دارد طوری که یکی از دو حالت زیر اتفاق می افتد:

2-1.نتایج اولیه ……………………………………………………………………………………………………………………..31

2-2. چگونگی ساختار  ……………………………………………………………………………………………………………..37

2-3. وجود یک جواب غیر بدیهی ……………………………………………………………………………………………………51

فصل سوم: بررسی همگرایی نقطه وار توابع در فضای  و فضاهای کلی تر

مقدمه :     در این فصل می خواهیم نشان دهیم که اگر  یک دنباله از توابع بطور یکنواخت -کراندار  روی یک فضای اندازه باشد و اگر  بطور تقریبا همه جا و نقطه وار همگرا باشد، آنگاه برای تمام  خواهیم داشتاین نتیجه کاربرد مهمی در مسائل تغییراتی دارد. در قضیه ای از بخش دوم این نتیجه را به برخی تابعک های دارای نرم غیر ، تعمیم می دهیم. بعنوان مثال برای یک دنباله ی  و تابعک مناسب  داریم  .فرض می کنیم که  یک فضای اندازه باشد و  یک دنباله از توابع اندازه پذیر مختلط مقدار باشد که برای برخی  بطور یکنواخت در  کراندار باشند و نیز فرض کنید که  بطور تقریبا همه جا و نقطه وار همگرا باشد     ساده ترین ابزار برای تخمین  لم فاتو است که از آن نتیجه می شود .اما هدف ما بررسی وسیع تر  است، بعنوان مثال می خواهیم بررسی کنیم کهاین رابطه در محاسبه تغییرات برای اثبات وجود توابع بیشینه ساز (کمینه ساز) ،در برخی موارد که فشردگی برقرار نیست بسیار مفید است.     در حالت کلی تر اگر  یک تابع پیوسته باشد طوری که  باشد، آنگاه زمانی که  بطور تقریبا همه جا و ، تحت شرایط مناسب روی   و یا  خواهیم داشت    قرار می دهیم  که در آن  به طور تقریبا همه جا. در ادامه دو قضیه برای دو حالت زیر توضیح داده خواهند شد : (1) فضای مورد نظر  ( ) باشد. (2)حالت کلی تر از  (یعنی رابطه ی(2.3)). اگرچه (1) نتیجه ی (2) است، اما بدلیل اینکه حالت مهمی است بطور جداگانه توضیح داده می شود.

3-1-1. قضیه:     فرض کنید که  بطور تقریبا همه جا و برای تمام  ها و برخی  داشته باشیم

آنگاه در رابطه ی (1.3) حد وجود دارد و تساوی در آن برقرار است( ).3-1-2.تذکر:با توجه به لم فاتو داریم .

  • در حالتی که باشد و اگر فرض کنیم  باشد آنگاه نیازی به فرض این که  بطور یکنواخت کراندار است نداریم (این موضوع با توجه به نامساوی  و قضیه ی همگرایی تسلطی لبگ برقرار است). با این وجود هنگامی که  باشد، فرض کرانداری یکنواخت  ضروری است (حتی اگر فرض کنیم که ).
  • زمانی که باشد، با توجه به فرض قضیه ی 3-1-1،  در  خواهد بود. (با توجه به قضیه باناخ- آلوگلو [1]برای برخی زیردنباله های  که به  همگرای ضعیف باشد. اما از آنجایی که  بطور تقریبا همه جا،  خواهد بود ). با این وجود همگرایی ضعیف در ، برای اینکه (1.3) برقرار باشد کافی نیست، مگر اینکه   باشد. زمانی که  باشد، (1.3) تحت فرض همگرایی ضعیف برقرار است اما اگر  باشد (1.3) تحت تنها فرض همگرایی ضعیف، برقرار نخواهد بود..

3-2.حالت کلی      به منظور اثبات (2.3)، برخی شرایط برای تابع  و دنباله ی  مورد نیاز است. برای ایجاد این شرایط باید برای حالتی که (2.3) رد می شود مثالی ارائه دهیم. از سوی دیگر، نباید در صدد یافتن شرایط کلی تر برای برقراری (2.3) باشیم، بلکه به شرایط ساده و منطقی که بطور کلی برای پوشش دادن بسیاری از مثال ها کافی است،  قانع باشیم.     قرار دهید که  یک تابع پیوسته باشد طوری که  باشد، علاوه براین فرض کنید که  در مفروضات زیر صدق کند:برای هر  به اندازه ی کافی کوچک، دو تابع غیرمنفی پیوسته ی  و  وجود دارند طوری که برای تمام ,  داریم

3-2-1.قضیه:     فرض کنید که  در شرایط بالا صدق کند و قرار دهید که  یک دنباله از توابع اندازه پذیر از ? به ℂ باشد طوری که :بطور تقریبا همه جا،،

  • برای برخی ثابت های C که مستقل از و  باشد، داشته باشیم ،
  • برای هر ، داشته باشیم

آنگاه زمانی که  خواهیم داشت

اثبات.       را به عنوان یک ثابت در نظر بگیرید و قرار دهید

طوری که . زمانی که ،  بطور تقریبا همه جا. از سوی دیگر،بنابراین  .     با توجه به همگرایی دامنه ای زمانی که ، داریم . با این وجود،و بنابرایندر نتیجه خواهیم داشت . حال قرار دهید که  و اثبات تمام است.

3-2-3. لم:     فرض کنید که   محدب باشد و قرار دهید . آنگاه برای تمام ,    داریمکه در آن  و  .

اثبات.     قرار دهید ،  و . آنگاه خواهیم داشت  و . با توجه به محدب بودن  داریم این رابطه بیان می کند کهبرای بدست آوردن معکوس نامساوی قرار دهید که با توجه به آن داریم ، آنگاه خواهیم داشت که با توجه به آن حکم برقرار خواهد بود.

3-3. کاربردها     همان طور که قبلا اشاره کردیم، نتیحه ی مورد نظر ما (یعنی (1.3)) کاربرد مهمی در مسائل تغییراتی دارد. در ادامه به منظور بررسی این که چگونه قضیه ی 3-1-1 می تواند برای رسیدن به نتیحه ی مورد نظر ما بکار آید، دو مثال طراحی می کنیم.

  3-3-1. مثال:     اگر در نامساوی ، K یک ثابت باشد و  یک عملگر خطی کراندار  باشد، می خواهیم بررسی کنیم که آیا می توان  ای پیدا کرد که در نامساوی فوق صدق کند؟     برای این منظور باید فرض کنیم که . مسئله ای در  تحت عنوان نامساوی هاردی-لیتل وود-سوبولف[2](H.L.S) روی ، جهت اثبات وجود ماکزیمم ساز f  یعنی  وجود دارد که قضیه 3-1-1 برگرفته از آن می باشد.  Aهسته ی انتگرال است و داریم A ،   و  . قرار دهید

3-1. حالت  ( ) ……………………………………………………………………………………………………………………..65

3-2.حالت کلی ………………………………………………………………………………………………………………………66

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل چهارم: جواب های چندگانه برای مسئله ی  -لاپلاسین با نمای بحرانی سوبولف

در این فصل به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع -لاپلاسین، همراه با شرایط مرزی در فضای سوبولف می پردازیم. به این منظور نتیجه‏ی اصلی مطرح شده در  برای مسأله ی نوع  -لاپلاسین را به معادله ی (1.4) تعمیم می دهیم که نتیجه‏ی اصلی حاصل از این تعمیم در قضیه ی 4-1-1 مطرح می شود.     در ادامه در بخش اول برخی نتایج اولیه را در قالب چند لم، به منظور آماده شدن برای اثبات قضیه 4-1-1مطرح می کنیم.

4-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………74

4-2. بررسی وجود جواب ……………………………………………………………………………………………………………….89

منابع …………………………………………………………………………………………………………………………………………..96

واژه نامه انگلیسی به فارسی ……………………………………………………………………………………………………………99

Abstract

In this thesis, at first we study the existence of a nontrivial solution for the nonlinear elliptic problem of &q-Laplacian ype, as define byWhere , , ,  tends to a positive constant l, as  and .To achive this solution, we collect some preliminary results  in several lemma and state our main results in tow proposition. We will prove these propositions by using preliminary results.At the end, we study the existence of multiple solutions for the following nonlinear elliptic problem of p&q-Laplacian type involving the critical Sobolev exponent.This problem define bywhere is a bounded domain, ,  is the critical Sobolev exponent and . We prove that if , then there is a , such that for any , the above mentioned problem possesses infinitely many weak solutions.For this purpose, we state our main result in a proposition, then for prove this proposition, we collect some preliminary results in several lemma.Key words:  p&q-Laplacian, existence, nontrivial solutions, multiple solutions, critical exponent.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان