چکیده

در این جا روشی ارائه شده است که می توان براي بررسی رفتار عددي معادلات انتگرال فردهلم نوعدوم با هسته پیوسته مورد استفاده قرار داد. چون این نوع معادلات انتگرال در بسیاري از برنامه هايکاربردي ظاهر می شود براي مثال وقتی مسائل پتانسیل با روش هاي معادلات انتگرال مورد بحثباشد.

این روش بر تقریب عملگر انتگرال بنا شده است که در آن تابع چگالی با استفاده از هسته هايگوسین به روش شبه درونیاب تقریب زده شده است.ما نشان می دهیم که تقریب معادلات انتگرالکه با این روش به دست آید به دلیل انتخاب مناسب یک پارامتر معلوم و مطمئن منجر به نتایج عدديیکسان می شود که بر اساس روش نیستروم با قاعده ذوزنقه اي به دست می آید.براي این روش یکتحلیل همگرایی انجام می گیرد.

واژه هاي کلیدي: درونیابی گوسی، معادلات انتگرال فردهلم، هسته هاي گوسین

فهرست مطالب

فهرست مطالب ثلیست تصاویر چلیست جداول ح1 تاریخچه ……………………………….. 1

1.1 مقدمه…………………………………………………………………………………….. 2

1.2 مروري بر سابقه تحقیق…………………………………………………………………. 2

2 مفاهیم مقدماتی ……………………………………………………………………………. 5

2.1 مقدمه…………………………………………………………………………………….. 6

2.2 انواع معادلات انتگرال………………………………………………………………….. 6

2.2.1 معادلات انتگرال خطی فردهلم…………………………………………………… 7

2.2.2 معادلات انتگرال خطی ولترا……………………………………………………. 8

2.2.3 معادلات انتگرال خطی منفرد……………………………………………………. 8

 

 

       3.2    دسته بندي هسته ها در معادلات انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        9

1.3.2       هسته جدایی پذیر  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

2.3.2       هسته پیچشی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

3.3.2      هسته متقارن   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

4.3.2       هسته هرمیتی . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

5.3.2      هسته نرمال .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

6.3.2      هسته منفرد ضعیف   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

7.3.2        هسته2L .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    12

4.2     جبرخطی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      12

5.2    انتگرال گیري عددي .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      27

6.2    درونیابی لاگرانژ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      28

       7.2   قواعد کووادراتور بر پایه درونیابی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      30

1.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    31

2.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    32

8.2   انتگرال گیري ضربی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      32

1.8.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    34

9.2    روش نیستروم . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     34

10.2   شبه درونیاب  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     41

3   تقریب و حل عددي معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با استفاده از شبه درونیاب       43

       1.3    تقریب عملگرهاي انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     45

2.3    کاربرد معادلات انتگرال . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     50

1.2.3      تقریب با روش نیستروم   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    50

                   2.2.3      تقریب با شبه درونیاب  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    52

3.2.3      قضیه 1 . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    57

3.3     مثال هاي عددي .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     58

4.3  نتیجه گیري .   .         .         .         .         .         .         .         .         .         .         .           .       .         .         60

واژه نامه      .         .         .         .       .         .         .         .         .         .         .         .         .         61

کتابنامه                                                                                                    69

لیست تصاویر

1.2     تابع دلتاي دیراك   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      15

لیست جداول

1.3    نتایج عددي مثال 1   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      58

2.3    نتایج عددي مثال 2   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      59

3.3    نتایج عددي مثال 3   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      59

فصل 1

تاریخچه

1.1  مقدمه

نظریه معادلات انتگرال از مهمترین شاخه هاي آنالیز ریاضی است و بواسطه تبدیل مسائل مقدار مرزيدر تئوري معادلات با مشتقات جزئی و کارایی آن در اکثر شاخه هاي کاربردي ریاضی و فیزیک وهمچنین در شاخه هاي مکانیک مانند سازه ها، استخراج معادن، نفت و صنایع مخابرات اهمیت ویژهاي به خود اختصاص داده است.

2.1  مروري بر سابقه تحقیق

در ابتدا حل معادله انتگرال تحت عنوان معکوس گیري از انتگرال تلقی می شد ولیکن براي اولین باراصطلاح معادلات انتگرال توسط ریموند، 1 پیشنهاد شد.

از  سال 1782     لاپلاس   ،2   یک   تبدیل   انتگرال  را   بصورت   زیر   بیان   کرد.

(1.1)

در جریان تکامل و پیشرفت ریاضیات، فوریه، 3 در سال1181، روي نظریه حرارت کار کرد و تئوريانتگرال فوریه در این سالها شکل گرفت، لذا معمولا گفته میشود که مبدا معادلات انتگرال به تئوريانتگرال فوریه بر می گردد . در سال 1823 آبل در مسائل خود که به مسائل مکانیکی آبل، 4 معروفاست، کاربرد معادلات انتگرال را در چنین مسائلی مطرح نمود. در سال 1826 پواسون، 5 به معادلهانتگرال زیر دست یافت که این معادله قبلا توسط فوریه نیز بدست آمده بود.(1.2)f(x) = g(x) + λ∫ Γ(x,s)f(s)ds

لیوویل6، در سال 1823 بطور مستقل دسته خاصی از معادلات انتگرال را حل کرد و یک قدممهم در راه توسعه معادلات انتگرال توسط وي برداشته شد و آن چگونگی حل بعضی از معادلات

دیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال بود.

اصطلاح نوع اول ودوم که امروزه در مورد معادلات انتگرال بکار برده می شود، اولین بار توسطهیلبرت، [1] پیشنهاد شد، البته قبل از کار هیلبرت، معادله آبل به فرم زیر مطرح بود.

پوانکاره [2]، در سال 1896 معادله انتگرال زیر را که متناظر با معادلات دیفرانسیل جزئی می باشد،بدست آورد.

حرکت موج:

بعد از گذشت چند سال یعنی در حدود سالهاي 1900-1903 یک ریاضیدان سوئدي بنام فردهلم[3]، جهت بدست آوردن جواب مسئله فوق تحقیقاتی را انجام داد و این تحقیقات منجر به ارائه قضایايفردهلم که از قضایاي بنیادي معادلات انتگرال هستند، گردید. و در اواخر قرن نوزدهم ولترا[4]، نظریهعمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود.

ارائه یک سخنرانی توسط اریک هولمگر[5]، در سال1907 روي کارهاي فردهلم علاقه هیلبرت رابه تحقیق در مورد معادلات انتگرال بر انگیخت و او در بسیاري از مسائل ریاضی فیزیک از معادلاتانتگرال بهره گرفت. یکی از کارهاي مهم او فرموله کردن مسائل مقدار مرزي به صورت یک معادلهانتگرال است.

ارتباط معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال و یا مثالهاي دیگري در ریاضی فیزیک، یک تکنیکمهم را جهت حل مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزي در تئوري معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات بامشتقات جزئی بوجود آورد که یکی از دستاوردهاي مهم مطالعه معادلات انتگرال است. ابتدا قضایايفردهلم براي هسته هاي پیوسته ارائه شد، لیکن بعدها توسط افراد دیگري نظیرکارلمان12، و ریس13،براي هسته هاي کلی تر تعمیم یافت.

در اوایل نیمه دوم قرن اخیر، تحقیقات زیادي روي جواب معادله انتگرال بوسیله هرمن ویل، 14در ارتباط با معادله انتگرال صورت گرفت. لیکن از آنجا که در حالت کلی قادر به حل بسیاري ازمعادلات انتگرال که در عمل با آنها مواجه می شویم نیستیم، لذا از آن سالها ، نیاز به روشهاي تقریبیو عددي جهت حل معادلات انتگرال آشکار شد.

12F.Carleman

1413F.RiseHerman Weyl

فصل 2

مفاهیم مقدماتی

1.2  مقدمه

در این فصل ما ابتدا تعاریف معادلات انتگرال و متداولترین معادلات انتگرال را بیان می کنیم، و سپسپیش نیاز هایی از معادلات انتگرال را عنوان می کنیم.

تعاریف این بخش بیشتر از مرجع [1، 2، 11، 12] آورده شده است.

تعریف 2.1.1. ([1]). یک معادله انتگرال معادله اي است که در آن تابع مجهول در زیر یک یا چندعلامت انتگرال قرار دارد.

نمونه هایی از معادلات انتگرال عبارتند از:

که در آنها تابع (g(x نامعلوم و توابع دیگر معلوم هستند .

معادلات انتگرال بسته به نوع تابع مجهول از حیث خطی و غیر خطی بودن و همچنین حدودانتگرال گیري و اینکه تابع مجهول به غیر از زیر علامت انتگرال جاي دیگري ظاهر می شود یا نه،انواع مختلفی دارد. که با توجه به کاربردهاي وسیع و متنوع معادلات انتگرال در صنعت ، فیزیک،بیولوژي ، شیمی ، مهندسی و غیره و با نامهاي خاصی ظاهر می شوند. مراجع [3] و [4] منابع خوبیبراي پی بردن به منشا ظهور این گونه معادلات می باشند.

2.2   انواع معادلات انتگرال

تعریف 2.2.1. ([13]). فرم کلی معادلات انتگرال به شکل زیر است :

که در آن (k(x,t هسته معادله انتگرال و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرال (k(x,t و (f(x و (g(x توابع معلوم هستند.

در کتابهاي مختلف معادلات انتگرال را بصورتهاي گوناگونی تقسیم بندي می کنند که متداولترینتقسیم بندي معادلات انتگرال بصورت زیر است :

1.2.2  معادلات انتگرال خطی فردهلم

تعریف 2.2.2. ([13]). درمعادله (4.2) اگرα(x) = a  وβ(x) = b  توابعی ثابت باشند، معادلهرا معادله انتگرال فردهلم می نامند. که به صورت زیردسته بندي می شوند :

الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.

اگر 0≠ (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن رامعادله انتگرال فردهلم نوع دوم می نامند.

اگر 1=(g(x و 0=(f(xآن رامعادله انتگرال فردهلم همگن نوع دوم می نامند.

2.2.2  معادلات انتگرال خطی ولترا

تعریف 2.2.3. ([13]). درمعادله(4.2) اگرα(x) = a  وβ(x) = x  توابعی بر حسبx  باشند،معادله را معادله انتگرال ولترا می نامند. که به صورت زیردسته بندي می شوند :

الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال ولترا نوع اول می نامند.

اگر ̸0= (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن را معادله انتگرال ولترا نوع دوم می نامند.

اگر1=(g(x و0=(f(x آن را معادله انتگرال ولترا همگن نوع دوم می نامند.

3.2.2  معادلات انتگرال خطی منفرد

تعریف 2.2.4. ([13]). معادلات انتگرالی که در آنها ∞− =(α(x یا ∞+=(β(x و یا هردو ∞ باشند و یا (k(x,t در نقطه اي از بازه انتگرالگیري تعریف نشده یا به سمت ∞ میل کند،آن را معادله انتگرال منفرد می نامند.

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از تقریب و حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با استفاده ازشبه درونیاب

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید