چکیده

در این جا روشی ارائه شده است که می توان برای بررسی رفتار عددی معادلات انتگرال فردهلم نوعدوم با هسته پیوسته مورد استفاده قرار داد. چون این نوع معادلات انتگرال در بسیاری از برنامه هایکاربردی ظاهر می شود برای مثال وقتی مسائل پتانسیل با روش های معادلات انتگرال مورد بحثباشد.

این روش بر تقریب عملگر انتگرال بنا شده است که در آن تابع چگالی با استفاده از هسته هایگوسین به روش شبه درونیاب تقریب زده شده است.ما نشان می دهیم که تقریب معادلات انتگرالکه با این روش به دست آید به دلیل انتخاب مناسب یک پارامتر معلوم و مطمئن منجر به نتایج عددییکسان می شود که بر اساس روش نیستروم با قاعده ذوزنقه ای به دست می آید.برای این روش یکتحلیل همگرایی انجام می گیرد.

واژه های کلیدی: درونیابی گوسی، معادلات انتگرال فردهلم، هسته های گوسین

فهرست مطالب

فهرست مطالب ثلیست تصاویر چلیست جداول ح1 تاریخچه ……………………………….. 1

1.1 مقدمه…………………………………………………………………………………….. 2

1.2 مروری بر سابقه تحقیق…………………………………………………………………. 2

2 مفاهیم مقدماتی ……………………………………………………………………………. 5

2.1 مقدمه…………………………………………………………………………………….. 6

2.2 انواع معادلات انتگرال………………………………………………………………….. 6

2.2.1 معادلات انتگرال خطی فردهلم…………………………………………………… 7

2.2.2 معادلات انتگرال خطی ولترا……………………………………………………. 8

2.2.3 معادلات انتگرال خطی منفرد……………………………………………………. 8

 

 

       3.2    دسته بندی هسته ها در معادلات انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .        9

1.3.2       هسته جدایی پذیر  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

2.3.2       هسته پیچشی  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

3.3.2      هسته متقارن   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    10

4.3.2       هسته هرمیتی . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

5.3.2      هسته نرمال .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

6.3.2      هسته منفرد ضعیف   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    11

7.3.2        هسته2L .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    12

4.2     جبرخطی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      12

5.2    انتگرال گیری عددی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      27

6.2    درونیابی لاگرانژ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      28

       7.2   قواعد کووادراتور بر پایه درونیابی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      30

1.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    31

2.7.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    32

8.2   انتگرال گیری ضربی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      32

1.8.2       مثال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    34

9.2    روش نیستروم . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     34

10.2   شبه درونیاب  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     41

3   تقریب و حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با استفاده از شبه درونیاب       43

       1.3    تقریب عملگرهای انتگرال  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     45

2.3    کاربرد معادلات انتگرال . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     50

1.2.3      تقریب با روش نیستروم   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    50

                   2.2.3      تقریب با شبه درونیاب  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    52

3.2.3      قضیه 1 . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    57

3.3     مثال های عددی .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     58

4.3  نتیجه گیری .   .         .         .         .         .         .         .         .         .         .         .           .       .         .         60

واژه نامه      .         .         .         .       .         .         .         .         .         .         .         .         .         61

کتابنامه                                                                                                    69

لیست تصاویر

1.2     تابع دلتای دیراک   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      15

لیست جداول

1.3    نتایج عددی مثال 1   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      58

2.3    نتایج عددی مثال 2   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      59

3.3    نتایج عددی مثال 3   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      59

فصل 1

تاریخچه

1.1  مقدمه

نظریه معادلات انتگرال از مهمترین شاخه های آنالیز ریاضی است و بواسطه تبدیل مسائل مقدار مرزیدر تئوری معادلات با مشتقات جزئی و کارایی آن در اکثر شاخه های کاربردی ریاضی و فیزیک وهمچنین در شاخه های مکانیک مانند سازه ها، استخراج معادن، نفت و صنایع مخابرات اهمیت ویژهای به خود اختصاص داده است.

2.1  مروری بر سابقه تحقیق

در ابتدا حل معادله انتگرال تحت عنوان معکوس گیری از انتگرال تلقی می شد ولیکن برای اولین باراصطلاح معادلات انتگرال توسط ریموند، 1 پیشنهاد شد.

از  سال 1782     لاپلاس   ،2   یک   تبدیل   انتگرال  را   بصورت   زیر   بیان   کرد.

(1.1)

در جریان تکامل و پیشرفت ریاضیات، فوریه، 3 در سال1181، روی نظریه حرارت کار کرد و تئوریانتگرال فوریه در این سالها شکل گرفت، لذا معمولا گفته میشود که مبدا معادلات انتگرال به تئوریانتگرال فوریه بر می گردد . در سال 1823 آبل در مسائل خود که به مسائل مکانیکی آبل، 4 معروفاست، کاربرد معادلات انتگرال را در چنین مسائلی مطرح نمود. در سال 1826 پواسون، 5 به معادلهانتگرال زیر دست یافت که این معادله قبلا توسط فوریه نیز بدست آمده بود.(1.2)f(x) = g(x) + λ∫ Γ(x,s)f(s)ds

لیوویل6، در سال 1823 بطور مستقل دسته خاصی از معادلات انتگرال را حل کرد و یک قدممهم در راه توسعه معادلات انتگرال توسط وی برداشته شد و آن چگونگی حل بعضی از معادلات

دیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال بود.

اصطلاح نوع اول ودوم که امروزه در مورد معادلات انتگرال بکار برده می شود، اولین بار توسطهیلبرت، [1] پیشنهاد شد، البته قبل از کار هیلبرت، معادله آبل به فرم زیر مطرح بود.

پوانکاره [2]، در سال 1896 معادله انتگرال زیر را که متناظر با معادلات دیفرانسیل جزئی می باشد،بدست آورد.

حرکت موج:

بعد از گذشت چند سال یعنی در حدود سالهای 1900-1903 یک ریاضیدان سوئدی بنام فردهلم[3]، جهت بدست آوردن جواب مسئله فوق تحقیقاتی را انجام داد و این تحقیقات منجر به ارائه قضایایفردهلم که از قضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند، گردید. و در اواخر قرن نوزدهم ولترا[4]، نظریهعمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود.

ارائه یک سخنرانی توسط اریک هولمگر[5]، در سال1907 روی کارهای فردهلم علاقه هیلبرت رابه تحقیق در مورد معادلات انتگرال بر انگیخت و او در بسیاری از مسائل ریاضی فیزیک از معادلاتانتگرال بهره گرفت. یکی از کارهای مهم او فرموله کردن مسائل مقدار مرزی به صورت یک معادلهانتگرال است.

ارتباط معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال و یا مثالهای دیگری در ریاضی فیزیک، یک تکنیکمهم را جهت حل مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی در تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات بامشتقات جزئی بوجود آورد که یکی از دستاوردهای مهم مطالعه معادلات انتگرال است. ابتدا قضایایفردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شد، لیکن بعدها توسط افراد دیگری نظیرکارلمان12، و ریس13،برای هسته های کلی تر تعمیم یافت.

در اوایل نیمه دوم قرن اخیر، تحقیقات زیادی روی جواب معادله انتگرال بوسیله هرمن ویل، 14در ارتباط با معادله انتگرال صورت گرفت. لیکن از آنجا که در حالت کلی قادر به حل بسیاری ازمعادلات انتگرال که در عمل با آنها مواجه می شویم نیستیم، لذا از آن سالها ، نیاز به روشهای تقریبیو عددی جهت حل معادلات انتگرال آشکار شد.

12F.Carleman

1413F.RiseHerman Weyl

فصل 2

مفاهیم مقدماتی

1.2  مقدمه

در این فصل ما ابتدا تعاریف معادلات انتگرال و متداولترین معادلات انتگرال را بیان می کنیم، و سپسپیش نیاز هایی از معادلات انتگرال را عنوان می کنیم.

تعاریف این بخش بیشتر از مرجع [1، 2، 11، 12] آورده شده است.

تعریف 2.1.1. ([1]). یک معادله انتگرال معادله ای است که در آن تابع مجهول در زیر یک یا چندعلامت انتگرال قرار دارد.

نمونه هایی از معادلات انتگرال عبارتند از:

که در آنها تابع (g(x نامعلوم و توابع دیگر معلوم هستند .

معادلات انتگرال بسته به نوع تابع مجهول از حیث خطی و غیر خطی بودن و همچنین حدودانتگرال گیری و اینکه تابع مجهول به غیر از زیر علامت انتگرال جای دیگری ظاهر می شود یا نه،انواع مختلفی دارد. که با توجه به کاربردهای وسیع و متنوع معادلات انتگرال در صنعت ، فیزیک،بیولوژی ، شیمی ، مهندسی و غیره و با نامهای خاصی ظاهر می شوند. مراجع [3] و [4] منابع خوبیبرای پی بردن به منشا ظهور این گونه معادلات می باشند.

2.2   انواع معادلات انتگرال

تعریف 2.2.1. ([13]). فرم کلی معادلات انتگرال به شکل زیر است :

که در آن (k(x,t هسته معادله انتگرال و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرال (k(x,t و (f(x و (g(x توابع معلوم هستند.

در کتابهای مختلف معادلات انتگرال را بصورتهای گوناگونی تقسیم بندی می کنند که متداولترینتقسیم بندی معادلات انتگرال بصورت زیر است :

1.2.2  معادلات انتگرال خطی فردهلم

تعریف 2.2.2. ([13]). درمعادله (4.2) اگرα(x) = a  وβ(x) = b  توابعی ثابت باشند، معادلهرا معادله انتگرال فردهلم می نامند. که به صورت زیردسته بندی می شوند :

الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.

اگر 0≠ (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن رامعادله انتگرال فردهلم نوع دوم می نامند.

اگر 1=(g(x و 0=(f(xآن رامعادله انتگرال فردهلم همگن نوع دوم می نامند.

2.2.2  معادلات انتگرال خطی ولترا

تعریف 2.2.3. ([13]). درمعادله(4.2) اگرα(x) = a  وβ(x) = x  توابعی بر حسبx  باشند،معادله را معادله انتگرال ولترا می نامند. که به صورت زیردسته بندی می شوند :

الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال ولترا نوع اول می نامند.

اگر ̸0= (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن را معادله انتگرال ولترا نوع دوم می نامند.

اگر1=(g(x و0=(f(x آن را معادله انتگرال ولترا همگن نوع دوم می نامند.

3.2.2  معادلات انتگرال خطی منفرد

تعریف 2.2.4. ([13]). معادلات انتگرالی که در آنها ∞− =(α(x یا ∞+=(β(x و یا هردو ∞ باشند و یا (k(x,t در نقطه ای از بازه انتگرالگیری تعریف نشده یا به سمت ∞ میل کند،آن را معادله انتگرال منفرد می نامند.

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از تقریب و حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با استفاده ازشبه درونیاب

250,000RIAL – اضافه‌کردن به سبدخرید

450,000RIAL – اضافه‌کردن به سبدخرید

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید