انتخاب صفحه

فهرست مطالب

فصل اول   تعاریف و قضیه‌های مقدماتی

 1-1 مقدمه

این فصل را به بیان تعاریف اولیه که در سرتاسر رساله به کار خواهیم برد و همچنین بیان قضایای معروفی که از آنها استفاده خواهیم کرد، اختصاص می‌دهیم. قضایایی که بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر یک از آنها مرجعی مناسب معرفی شده است تا خواننده در صورت نیاز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضیه را مشاهده کند.

1-2 تعریف و مفاهیم مقدماتی

تعریف: فرض کنید گروه G روی مجموعه X عمل کند و در این صورت مجموعه   را پایدارساز x در G نامیده و با نماد یا  نشان می‌دهیم.

تعریف: عمل G روی X را انتقالی می‌گوئیم هر گاه به ازای هر  و از X عضوی از G مانند g باشد به طوری که .

تعریف: عمل G روی X را انتقالی است هر گاه به ازای هر دوگانه و که در آن  و برای هر عضوی از G مانند g باشد به طوری که  برای هر .

تعریف: عمل گروه G روی مجموعه X را نیمه‌منظم گوئیم هرگاه برای هر  داشته باشیم

{1}=

قضیه 1-2-1 فرض کنید گروه G روی X به طور نیمه منظم عمل کند آنگاه مرتبه G مقسوم‌علیهی از مرتبه X است.

برهان. به [8] رجوع شود.

برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.

قضیه 1-2-2 فرض کنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

برهان. به [33] رجوع شود.

تعریف: فرض کنید n یک عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است که n را می‌شمارد.

 اگر G یک گروه متناهی باشد،  را همان  تعریف می‌کنیم.

قضیه 1-2-3 فرض کنید G یک گروه متناهی،  فرد باشد همچنین فرض کنید P  یک سیلو  زیرگروه G و  جائیکه . اگر P دوری نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از  است.

برهان. به [24] رجوع شود.

قضیه 1-2-4 فرض کنید G یک گروه متناهی . همچنین فرض کنید G دارای سری نرمال  باشد. اگر  و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتایج زیر برقرار است:

  1. i)
  2. ii) یعنی ؛

iii)  به عبارت دیگر داریم  جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و.

برهان. به [27] رجوع شود.

تعریف: فرض کنید G یک گروه متناهی باشد و  که در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یک زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یک زیر گروه هال گویند در صورتی که  و  نسبت به هم اول باشد.

همچنین اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و  در اینصورت H را یک  هال زیر گروه G می‌نامند.

قضیه 1-2-5 فرض کنید G یک گروه متناهی حلپذیر و، جائیکه و . همچنین فرض کنید  و  تعداد هال زیرگروههای G باشد، آن‌گاه  است که به ازای هر   در شرایط زیر صدق می‌کند:

  1. i) برای یک ؛
  2. ii) مرتبه یکی از فاکتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌کند.

برهان. به [12] رجوع شود.

تعریف: گروه G را با  گروه می‌نامیم هر گاه . اگر G یک گروه ساده و  آن گاه G را یک  گروه ساده می‌نامیم.

قضیه 1-2-6  فرض کنید G یک گروه ساده غیر آبلی باشد در این صورت .

برهان. بنا به قضیه برنساید هر  گروه و هر گروه از مرتبه  حلپذیرند، چون G غیرحلپذیر است پس .

1-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 1

1-2 تعاریف و مفاهیم مقدماتی ………………………………………………………….. 2

1-3 آشنایی با رده بندی گروههای ساده متناهی…………………………………………. 4

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم   تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد عناصر هم‌مرتبه یک گروه

فرض کنید G یک گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت  تعریف می کنند. تامپسون در سال 1978 مسئله زیر را ارائه کرد:

مسئله: فرض کنید جائیکه تعداد عناصر از مرتبه n است. اگر  و G یک گروه حلپذیر متناهی باشد آن‌گاه آیا می‌توان نتیجه گرفت H حلپذیر است؟تاکنون کسی به طور کامل نتوانست این مسئله را حل کند یا یک مثال نقص ارائه کند، در سال 1986، شی روی گروه ساده متناوب  کار کرده و نشان داد که گروه متناهی G با  ایزومورف است اگر و فقط اگر  [31]. بعد از آن گروههای ساده زیادی پیدا شد که فقط با استفاده از مجموعه مرتبه عناصر تشخیص‌پذیر شده‌اند.در سال 2009، شن و همکارانش در [30] ثابت کردند که گروههای ، ،  به طور منحصر به فردی بوسیله مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخیص‌پذیرند. این اولین تشخیص‌پذیری بود که از این طریق انجام شد. در همان سال خسروی و همکارانش در [19] ثابت کردند که گروههای برای  به طور منحصر بفردی بوسیله مجموعه تعداد عناصر هم‌ مرتبه تشخیص‌پذیرند. در این فصل از رساله ما نشان داده‌ایم که گروههای متناوب ساده ،  گروههای متقارن برای  گروههای خطی برای و گروههای ساده ماتیو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخیص‌پذیرند.

2-2 تشخیص‌پذیری گروههای متناوب ساده  و  

قبل از اینکه تشخیص‌پذیری ،  با استفاده از nse را ثابت کنیم ابتدا دو لم بسیار مهم را که در اثبات قضیه‌های این فصل از آنها کمک می‌گیریم را بیان می‌کنیم:

لم 2-2-1 فرض کنید G یک گروه متناهی و m یک عدد صحیح مثبت باشد به طوری که . اگر  آن‌گاه .

برهان. به [9] رجوع شود.

لم 2-2-2. فرض کنید G یک گروه با بیش از دو عضو باشد همچنین فرض کنید  و  تعداد عناصر از مرتبه k در G باشد. اگر  آن‌گاه G یک گروه متناهی است و .

برهان. به [30] رجوع شود.

تذکر: از لم (2-2-2) نتیجه می‌شود اگر G یک گروه و  یک مجموعه متناهی باشد آن‌گاه G گروهی متناهی است. در تمامی قضیه های این فصل چون  یک مجموعه متناهی می باشد نتیجه می شود G گروهی متناهی است. همچنین اگر می‌دانیم که  جائیکه k تعداد زیر گروههای دوری از مرتبه n و  تابع حسابی اویلر است. واضح است که اگر  آن‌گاه  زوج است.

قضیه 2-2-3. فرض کنید G یک گروه  آن‌گاه.

برهان. برای اثبات حکم ابتدا نشان می‌دهیم که . چون  از (*) نتیجه می‌شود که  و . فرض کنید  از (*)داریم  و در نتیجه. فرض کنید  بار دیگر از (*) داریم ، از طرف دیگر از (*) می‌توان نتیجه گرفت که اگر‌ آن‌گاه  برابر 210 یا 630 می باشد و  بنابراین  یا  که در هر صورت یک تناقض است، پس . حالا  روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 با تزویج عمل می‌کند و چون  این عمل یک عمل نیمه منظم است بنا به قضیه (1-2-1) داریم  که یک تناقض است. بنابراین ، به طریق مشابه می‌توان نشان داد که ، در نتیجه . اگر  آن‌گاه از (*) داریم ،  و . اکنون فرض کنید آن گاه با استفاده از (*) داریم در نتیجه از nse(G) نتیجه می شود  از طرف دیگر از (*) داریم که یک تنا قض است. همچنین به آسانی از (*) می‌توان نتیجه گرفت که گروه G هیچ عضوی از مرتبه 81، 64، 96، 125و 343 نمی‌باشد. اگر  آن‌گاه  و اگر آن‌گاه . فرض کنید  چون  نتیجه می شود که  برابر 5 یا 25 است. اگر  آن‌گاه با در نظر گرفتن  در لم (2-2-1) داریم . بنابراین  یعنی سیلو 5- زیرگروههای G دوری‌اند در نتیجه تعداد سیلو 5- زیرگروههای G برابر با  است. چون  در این صورت ، که نتیجه می‌دهد . اگر  از لم (2-2-1) داریم  با توجه به اینکه ‌ آن‌گاه  در نتیجه . بنابراین سیلو 5- زیرگروههای G دور‌ی اند و از آنجا . با توجه به اینکه هر عضو از مرتبه 5 در سیلو 5- زیرگروه G قرار می‌گیرد، نتیجه می‌شود که  که یک تناقض است پس . حال فرض کنید  چون  پس  برابر 7 یا 49 است. اگر  آن‌گاه   در نتیجه  و از آنجا . بنابراین  و حال اگر  با توجه به اینکه  و  نتیجه می شود . بنابراین  برابر 5 یا 12 است که با توجه به قضیه سیلو یک تناقض بدست می آید. از بحث بالا نتیجه می‌شود که اگر  آن‌گاه  و .

اگر  آن‌گاه  و اگر  آن‌گاه . اکنون نشان می‌دهیم که  نمی‌تواند  یا  باشد در نتیجه  باید  باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم.

مورد 1. فرض کنید  آن‌گاه با توجه به اینکه  نتیجه می‌شود . با توجه به فرض قضیه  دارای هفت عضو است که این غیرممکن است.

مورد 2. فرض کنید . چون  آن‌گاه  برابر 3, 9 یا 27 است. اگر  آن‌گاه  در نتیجه .

اگر  آن‌گاه  چون  و  یک تناقض بدست می‌آوریم. حال فرض کنید  چون  نتیجه می‌شود  پس  بنابراین داریم:

جائیکه m و n و  و  و  و  و  اعداد صحیح نامنفی و  واضح است که. اگر می‌توان نتیجه گرفت . با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن که ضمیمه رساله می باشد به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست.اگر  نتیجه می‌شود، در این حالت نیز به آسانی بررسی می‌شود که معادله فوق دارای هیچ جوابی نیست، پس. حال اگر  داریم  چون  آن‌گاه . بنابراین با توجه به اینکه  یک تناقض بدست می‌آید. همچنین اگر  با توجه به اینکه  داریم . اگر  آن‌گاه از  یک تناقض بدست می‌آید و اگر  برابر 81 یا 243 باشد از قضیه (1-2-3) داریم  که یک تناقض است.در نتیجه با توجه به توضیحات قبل . اکنون ثابت می‌کنیم که . چون  گروه  روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 با تزویج عمل می‌کند که این عمل یک عمل نیمه منظم است حالا از قضیه (1-2-1) داریم ، در نتیجه . به طریق مشابه نتیجه می‌شود که . اکنون نشان می دهیم که . فرض کنید می‌دانیم که اگرP و Q سیلو 7- زیرگروههای G باشند آن‌گاه P و Q با هم مزدوجند در نتیجه  و  نیز در G مزدوجند بنابراین  جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 3 در  است. چون  داریم  که یک تناقض است پس . به طریق مشابه می‌توان نشان داد که . چون  گروه  روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 به طور نیمه منظم عمل می‌کند بنابراین  پس . همچنین چون  آن‌گاه  در نتیجه . با توجه به اینکه  نتیجه می‌شود. در [27] ثابت شده که گروههای ساده با  nse و مرتبه تشخیص پذیر هستند چون یک گروه ساده است بنابراین .

2-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 12

2-2 تشخیص‌پذیری گروههای متناوب ساده  و  …………………………………….. 14

2-3 تشخیص‌پذیری گروههای متقارن  ……………………………………………… 20

2-4 تشخیص‌پذیری گروههای خطی  ……………………………………………….. 31

2-5 تشخیص‌پذیری گروههای ماتیو ……………………………………………………. 39

2-6 تشخیص‌پذیری گروههای ساده پراکنده …………………………………………….. 39

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل سوم   تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی

در سال 1992، بی[1] در [1] ثابت کرد که گروههای  می‌تواند با استفاده از مرتبه نرمالساز سیلو زیرگروهها تشخیص‌پذیر باشد. این نوع تشخیص‌پذیری تا بحال برای گروههای  [2]،  [4] ، گروههای متناوب ساده[3]، [5]، [23] و گروههای ساده پراکنده[20] بررسی شده است. فرض کنید S یکی از گروههای ساده فوق باشد و داشته باشیم ،  برای هر عدد اول p آن‌گاه واضح است که گروه G با S ایزومورف است. در این فصل از رساله قصد داریم شرط مرتبه را برداشته و بجای آن شرط بدیهی بودن مرکز گروه را جایگزین کنیم و خواهیم دید که گروههای خطی برای  با استفاده از تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی تشخیص‌پذیر و یا –k تشخیص‌پذیر خواهند بود. باید توجه داشت که همه گروههای ساده الزاماً با این روش تشخیص‌پذیر و یا –k تشخیص‌پذیر نیستند. به عنوان مثال برای گروه ساده  این مطلب درست نیست. زیرا با فرض اینکه G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی باشد و  برای هر، گروه حلپذیری وجود دارد که با  یکریخت نیست. کافی است گروه G را به صورت ، جائیکه D گروه دو جهی از مرتبه 42 و H را یک حاصلضرب نیم مستقیم از فضای برداری V از بعد 3 روی  که بوسیله یک زیر گروه از مرتبه 21 از  روی V بطور طبیعی عمل می‌کند در نظر بگیریم. این گروه در شرایط بالا صدق می‌کند ولی با  یکریخت نیست.

3-2 تشخیص‌پذیری گروههای خطی

قضیه 3-2-1 فرض کنید G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی و  برای هر  آن‌گاه .

برهان. ابتدا ثابت می‌کنیم که G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد با توجه به اینکه  از قضیه (1-2-5) داریم  که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. چون G متناهی است، آن دارای یک سری اساسی است. فرض کنید  سری اساسی G باشد. چون G غیرحلپذیر است بزرگترین عدد طبیعی i وجود دارد بطوری که  یک گروه ساده و یا حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده ایزومورف با هم است و  زیر گروه ماکسیمال حلپذیر G است. حال قرار دهید  و  بنابراین گروه G دارای یک سری نرمال به صورت زیر خواهد بود:

به طوری که  یک گروه ساده غیرآبلی یا  یک حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم است. چون G یک گروه است آن‌گاه  یک  گروه ساده یا حاصلضرب مستقیمی از  گروههای ساده ایزومورف با هم است.

از قضیه (1-2-2) برای هر، داریم، در نتیجه از قضیه (1-3-8)  حال قرار دهید و آن‌گاه داریم:

فرض کنید آن‌گاه ، در نتیجه . فرض کنید ، داریم  و ، چون  این یک تناقض است. بنابراین  نمی‌تواند با  ایزومورف باشد، در نتیجه . حالا فرض کنید  از قضیه (1-2-2) داریم برای هر p،  آن‌گاه می توان نتیجه گرفت K پوچتوان است. از طرفی داریم  و N زیر گروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است از آن نتیجه می‌شود K غیرحلپذیر است که یک تناقض است. بنابراین ، آن‌گاه . ادعا می‌کنیم که . فرض کنید و Q یک سیلو زیرگروه غیربدیهی از N باشد. چون N پوچتوان و زیرگروه نرمال G آن‌گاه Q در G نرمال است. فرض کنید ، واضح است که  و Z هم زیر گروه نرمال G است. فرض کنید P یک سیلو  زیرگروه از G باشد به طوری که و . از اینکه  نتیجه می‌شودP  در نرمالساز Z قرار دارد که به آسانی نتیجه می‌شود. همچنین که از آن نتیجه می‌شود . بنابراین ، آن‌گاه . همچنین از اینکه  نتیجه می‌شود که  زیر گروه نرمال G است. چون N پوچتوان است آن‌گاه . اکنون داریم. با توجه به اینکه P شامل N نیست و  گروهی ساده است نتیجه می‌شود. بنابراین ، در نتیجه  در مرکز G قرار می‌گیرد. با توجه به اینکه طبق فرض قضیه ، این یک تناقض است. بنابراین  که از آن نتیجه می‌شود.

قضیه 3-2-2 فرض کنید G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی و  برای هر، آن‌گاه  یا  به عبارت دیگر .

برهان. ابتدا ثابت می‌کنیم G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، با توجه به اینکه  آن‌گاه  که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. چون G غیرحلپذیر و متناهی است مثل قضیه قبلی G دارای سری نرمال زیر است:

به طوری که  یک گروه ساده غیرآبلی یا  یک حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم هستند. چون G،  گروه است آن‌گاه  یک گروه ساده یا یک حاصلضرب مستقیم از  گروه ساده ایزومورف با هم می‌باشند. از قضیه (1-2-2) داریم برای هر ،  در نتیجه از قضیه (1-3-8) . شبیه قضیه قبلی می‌توان نشان داد که زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که  و . اگر ‌آن‌گاه، نشان می‌دهیم . فرض کنید ، چون  و N زیر گروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است آن‌گاه نتیجه می‌شود K زیرگروه نرمال غیرحلپذیر G است. از طرف دیگر چون  برای هر ، آن‌گاه از قضیه (1-2-2) داریم  برای هر  که نتیجه می شود K زیرگروه پوچتوان G است که یک تناقض است. بنابراین  و آن‌گاه . حالا نشان می‌دهیم . فرض کنید Q یک سیلو –q زیر گروه از N باشد. چون N پوچتوان است آن‌گاه Q در G نرمال است. به آسانی می‌توان دید که اگر  آن‌گاه Q در نرمالساز P قرار دارد. بنابراین اگر  آن‌گاه P و Q در مرکزساز یکدیگر قرار می‌گیرند. فرض کنید  آن‌گاه برای هر ،  و بنابراین  توانی از q خواهد بود. حالا فرض کنید ، آن‌گاه . همچنین اگر  آن‌گاه  غیربدیهی است و  چون  از آن نتیجه می‌شود که . چون q دلخواه بود پس . بنابراین . اگر ، شبیه آنچه که برای حالت در بالا ثابت شده می‌توان بکار برد و نتیجه گرفت که K پوچتوان،  و  بنابراین.

3-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 53

3-2 تشخیص‌پذیری گروههای خطی  ………………………………………………… 55

3-3 پیشنهادات برای ادامه کار………………………………………………………….. 63

مراجع …………………………………………………………………………………….. 64



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان