فهرست مطالب

فصل اول   تعاريف و قضيه‌هاي مقدماتي

 1-1 مقدمه

اين فصل را به بيان تعاريف اوليه كه در سرتاسر رساله به كار خواهيم برد و همچنين بيان قضاياي معروفي كه از آنها استفاده خواهيم كرد، اختصاص مي‌دهيم. قضايايي كه بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر يك از آنها مرجعي مناسب معرفي شده است تا خواننده در صورت نياز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضيه را مشاهده كند.

1-2 تعريف و مفاهيم مقدماتي

تعريف: فرض كنيد گروه G روي مجموعه X عمل كند و در اين صورت مجموعه   را پايدارساز x در G ناميده و با نماد یا  نشان مي‌دهيم.

تعريف: عمل G روي X را انتقالی مي‌گوئيم هر گاه به ازاي هر  و از X عضوي از G مانند g باشد به طوري كه .

تعریف: عمل G روي X را انتقالی است هر گاه به ازاي هر دوگانه و که در آن  و برای هر عضوي از G مانند g باشد به طوري كه  برای هر .

تعريف: عمل گروه G روي مجموعه X را نيمه‌منظم گوئيم هرگاه براي هر  داشته باشيم

{1}=

قضيه 1-2-1 فرض كنيد گروه G روي X به طور نيمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسوم‌عليهي از مرتبه X است.

برهان. به [8] رجوع شود.

برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.

قضيه 1-2-2 فرض كنيد G يك گروه متناهي و N يك زيرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌عليهی از است و همچنين داريم.

برهان. به [33] رجوع شود.

تعريف: فرض كنيد n يك عدد صحيح باشد. در اين صورت ، مجموعه تمام اعداد اولي است كه n را مي‌شمارد.

 اگر G يك گروه متناهي باشد،  را همان  تعريف مي‌كنيم.

قضيه 1-2-3 فرض كنيد G يك گروه متناهي،  فرد باشد همچنين فرض كنيد P  يك سیلو  زيرگروه G و  جائيكه . اگر P دوري نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربي از  است.

برهان. به [24] رجوع شود.

قضيه 1-2-4 فرض كنيد G يك گروه متناهي . همچنين فرض كنيد G داراي سري نرمال  باشد. اگر  و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتايج زير برقرار است:

  1. i)
  2. ii) يعني ؛

iii)  به عبارت دیگر داریم  جائيكه t يك عدد صحيح مثبت است و.

برهان. به [27] رجوع شود.

تعريف: فرض كنيد G يك گروه متناهي باشد و  كه در آن m و n دو عدد طبيعي متباين‌اند. هر زيرگروه G از مرتبه m را يك زيرگروه هال مي‌نامند. به عبارت ديگر، زيرگروه H از G را يك زير گروه هال گويند در صورتي كه  و  نسبت به هم اول باشد.

همچنين اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و  در اينصورت H را يك  هال زير گروه G مي‌نامند.

قضيه 1-2-5 فرض كنيد G يك گروه متناهي حلپذير و، جائيكه و . همچنين فرض كنيد  و  تعداد هال زيرگروههاي G باشد، آن‌گاه  است كه به ازاي هر   در شرايط زير صدق مي‌كند:

  1. i) براي يك ؛
  2. ii) مرتبه يكي از فاكتورهاي اصلي از سري اصلي گروه G را عاد مي‌كند.

برهان. به [12] رجوع شود.

تعريف: گروه G را با  گروه مي‌ناميم هر گاه . اگر G يك گروه ساده و  آن گاه G را يك  گروه ساده مي‌ناميم.

قضيه 1-2-6  فرض كنيد G يك گروه ساده غير آبلي باشد در اين صورت .

برهان. بنا به قضيه برنسايد هر  گروه و هر گروه از مرتبه  حلپذيرند، چون G غيرحلپذير است پس .

1-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 1

1-2 تعاريف و مفاهيم مقدماتي ………………………………………………………….. 2

1-3 آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي…………………………………………. 4

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم   تشخيص‌پذيري چند گروه ساده از طريق تعداد عناصر هم‌مرتبه يك گروه

فرض كنيد G يك گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت  تعریف می کنند. تامپسون در سال 1978 مسئله زير را ارائه كرد:

مسئله: فرض كنيد جائيكه تعداد عناصر از مرتبه n است. اگر  و G يك گروه حلپذير متناهي باشد آن‌گاه آيا مي‌توان نتيجه گرفت H حلپذير است؟تاكنون كسي به طور كامل نتوانست اين مسئله را حل كند يا يك مثال نقص ارائه كند، در سال 1986، شي روي گروه ساده متناوب  كار كرده و نشان داد كه گروه متناهي G با  ايزومورف است اگر و فقط اگر  [31]. بعد از آن گروههاي ساده زيادي پيدا شد كه فقط با استفاده از مجموعه مرتبه عناصر تشخيص‌پذير شده‌اند.در سال 2009، شن و همكارانش در [30] ثابت کردند كه گروههاي ، ،  به طور منحصر به فردي بوسيله مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخيص‌پذيرند. اين اولين تشخيص‌پذيري بود كه از اين طريق انجام شد. در همان سال خسروي و همكارانش در [19] ثابت کردند كه گروههاي براي  به طور منحصر بفردي بوسيله مجموعه تعداد عناصر هم‌ مرتبه تشخيص‌پذيرند. در اين فصل از رساله ما نشان داده‌ايم كه گروههاي متناوب ساده ،  گروههاي متقارن براي  گروههاي خطي براي و گروههاي ساده ماتيو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخيص‌پذيرند.

2-2 تشخيص‌پذيري گروههاي متناوب ساده  و  

قبل از اينكه تشخيص‌پذيري ،  با استفاده از nse را ثابت كنيم ابتدا دو لم بسيار مهم را كه در اثبات قضيه‌های این فصل از آنها كمك مي‌گيريم را بيان مي‌كنيم:

لم 2-2-1 فرض كنيد G يك گروه متناهي و m يك عدد صحيح مثبت باشد به طوري كه . اگر  آن‌گاه .

برهان. به [9] رجوع شود.

لم 2-2-2. فرض كنيد G يك گروه با بيش از دو عضو باشد همچنين فرض كنيد  و  تعداد عناصر از مرتبه k در G باشد. اگر  آن‌گاه G يك گروه متناهي است و .

برهان. به [30] رجوع شود.

تذكر: از لم (2-2-2) نتيجه مي‌شود اگر G یک گروه و  يك مجموعه متناهي باشد آن‌گاه G گروهي متناهي است. در تمامی قضیه های این فصل چون  یک مجموعه متناهی می باشد نتیجه می شود G گروهی متناهی است. همچنين اگر مي‌دانيم كه  جائيكه k تعداد زير گروههاي دوري از مرتبه n و  تابع حسابي اويلر است. واضح است كه اگر  آن‌گاه  زوج است.

قضيه 2-2-3. فرض كنيد G يك گروه  آن‌گاه.

برهان. براي اثبات حكم ابتدا نشان مي‌دهيم كه . چون  از (*) نتيجه مي‌شود كه  و . فرض كنيد  از (*)داریم  و در نتیجه. فرض كنيد  بار ديگر از (*) داريم ، از طرف ديگر از (*) مي‌توان نتيجه گرفت كه اگر‌ آن‌گاه  برابر 210 یا 630 می باشد و  بنابراين  يا  كه در هر صورت يك تناقض است، پس . حالا  روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 با تزويج عمل مي‌كند و چون  اين عمل يك عمل نيمه منظم است بنا به قضيه (1-2-1) داريم  كه يك تناقض است. بنابراين ، به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه ، در نتيجه . اگر  آن‌گاه از (*) داريم ،  و . اکنون فرض کنید آن گاه با استفاده از (*) داریم در نتیجه از nse(G) نتیجه می شود  از طرف دیگر از (*) داریم که یک تنا قض است. همچنين به آساني از (*) مي‌توان نتيجه گرفت كه گروه G هيچ عضوي از مرتبه 81، 64، 96، 125و 343 نمي‌باشد. اگر  آن‌گاه  و اگر آن‌گاه . فرض كنيد  چون  نتيجه مي شود كه  برابر 5 يا 25 است. اگر  آن‌گاه با در نظر گرفتن  در لم (2-2-1) داريم . بنابراين  يعني سیلو 5- زيرگروههاي G دوري‌اند در نتيجه تعداد سیلو 5- زيرگروههاي G برابر با  است. چون  در اين صورت ، كه نتيجه مي‌دهد . اگر  از لم (2-2-1) داريم  با توجه به اينكه ‌ آن‌گاه  در نتيجه . بنابراين سیلو 5- زيرگروههاي G دور‌ی اند و از آنجا . با توجه به اينكه هر عضو از مرتبه 5 در سیلو 5- زيرگروه G قرار مي‌گيرد، نتيجه مي‌شود كه  كه يك تناقض است پس . حال فرض كنيد  چون  پس  برابر 7 یا 49 است. اگر  آن‌گاه   در نتيجه  و از آنجا . بنابراين  و حال اگر  با توجه به اینکه  و  نتیجه می شود . بنابراين  برابر 5 یا 12 است كه با توجه به قضيه سیلو يك تناقض بدست می آید. از بحث بالا نتيجه مي‌شود كه اگر  آن‌گاه  و .

اگر  آن‌گاه  و اگر  آن‌گاه . اكنون نشان مي‌دهيم كه  نمي‌تواند  يا  باشد در نتيجه  بايد  باشد. موارد زير را در نظر مي‌گيريم.

مورد 1. فرض كنيد  آن‌گاه با توجه به اينكه  نتيجه مي‌شود . با توجه به فرض قضيه  داراي هفت عضو است كه اين غيرممكن است.

مورد 2. فرض كنيد . چون  آن‌گاه  برابر 3, 9 یا 27 است. اگر  آن‌گاه  در نتيجه .

اگر  آن‌گاه  چون  و  يك تناقض بدست مي‌آوريم. حال فرض كنيد  چون  نتيجه مي‌شود  پس  بنابراين داريم:

جائيكه m و n و  و  و  و  و  اعداد صحيح نامنفي و  واضح است كه. اگر مي‌توان نتيجه گرفت . با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن که ضمیمه رساله می باشد به آساني مي‌توان بررسي كرد كه معادله بالا داراي هيچ جوابي نيست.اگر  نتيجه مي‌شود، در اين حالت نيز به آساني بررسي مي‌شود كه معادله فوق داراي هيچ جوابي نيست، پس. حال اگر  داريم  چون  آن‌گاه . بنابراين با توجه به اينكه  يك تناقض بدست مي‌آيد. همچنين اگر  با توجه به اينكه  داريم . اگر  آن‌گاه از  يك تناقض بدست مي‌آيد و اگر  برابر 81 يا 243 باشد از قضيه (1-2-3) داريم  كه يك تناقض است.در نتيجه با توجه به توضيحات قبل . اكنون ثابت مي‌كنيم كه . چون  گروه  روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 با تزويج عمل مي‌كند كه اين عمل يك عمل نيمه منظم است حالا از قضيه (1-2-1) داريم ، در نتيجه . به طريق مشابه نتيجه مي‌شود كه . اکنون نشان می دهیم که . فرض کنید مي‌دانيم كه اگرP و Q سیلو 7- زيرگروههاي G باشند آن‌گاه P و Q با هم مزدوجند در نتيجه  و  نيز در G مزدوجند بنابراين  جائيكه k تعداد زيرگروههاي دوري از مرتبه 3 در  است. چون  داريم  كه يك تناقض است پس . به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه . چون  گروه  روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 به طور نيمه منظم عمل مي‌كند بنابراين  پس . همچنين چون  آن‌گاه  در نتيجه . با توجه به اينكه  نتيجه مي‌شود. در [27] ثابت شده که گروههای ساده با  nse و مرتبه تشخیص پذیر هستند چون یک گروه ساده است بنابراین .

2-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 12

2-2 تشخيص‌پذيري گروههاي متناوب ساده  و  …………………………………….. 14

2-3 تشخيص‌پذيري گروههاي متقارن  ……………………………………………… 20

2-4 تشخيص‌پذيري گروههاي خطي  ……………………………………………….. 31

2-5 تشخيص‌پذيري گروههاي ماتيو ……………………………………………………. 39

2-6 تشخيص‌پذيري گروههاي ساده پراکنده …………………………………………….. 39

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل سوم   تشخيص‌پذيري چند گروه ساده از طريق تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي

در سال 1992، بي[1] در [1] ثابت کرد كه گروههاي  مي‌تواند با استفاده از مرتبه نرمالساز سيلو زيرگروهها تشخيص‌پذير باشد. اين نوع تشخيص‌پذيري تا بحال براي گروههاي  [2]،  [4] ، گروههاي متناوب ساده[3]، [5]، [23] و گروههاي ساده پراكنده[20] بررسی شده است. فرض كنيد S يكي از گروههاي ساده فوق باشد و داشته باشيم ،  براي هر عدد اول p آن‌گاه واضح است كه گروه G با S ايزومورف است. در اين فصل از رساله قصد داريم شرط مرتبه را برداشته و بجاي آن شرط بديهي بودن مركز گروه را جايگزين كنيم و خواهيم ديد كه گروههاي خطي براي  با استفاده از تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي تشخيص‌پذير و يا –k تشخيص‌پذير خواهند بود. بايد توجه داشت كه همه گروههاي ساده الزاماً با اين روش تشخيص‌پذير و يا –k تشخيص‌پذير نيستند. به عنوان مثال براي گروه ساده  اين مطلب درست نيست. زيرا با فرض اينكه G يك گروه متناهي با مركز بديهي باشد و  براي هر، گروه حلپذيري وجود دارد كه با  يكريخت نيست. كافي است گروه G را به صورت ، جائيكه D گروه دو جهي از مرتبه 42 و H را يك حاصلضرب نيم مستقيم از فضاي برداري V از بعد 3 روي  كه بوسيله يك زير گروه از مرتبه 21 از  روي V بطور طبيعي عمل مي‌كند در نظر بگيريم. اين گروه در شرايط بالا صدق مي‌كند ولي با  يكريخت نيست.

3-2 تشخيص‌پذيري گروههاي خطي

قضيه 3-2-1 فرض كنيد G يك گروه متناهي با مركز بديهي و  براي هر  آن‌گاه .

برهان. ابتدا ثابت مي‌كنيم كه G غيرحلپذير است. فرض كنيد G حلپذير باشد با توجه به اينكه  از قضيه (1-2-5) داريم  كه يك تناقض است. بنابراين G غيرحلپذير است. چون G متناهي است، آن داراي يك سري اساسي است. فرض كنيد  سري اساسي G باشد. چون G غيرحلپذير است بزرگترين عدد طبیعی i وجود دارد بطوري كه  يك گروه ساده و يا حاصلضرب مستقيم از گروههاي ساده ايزومورف با هم است و  زير گروه ماكسيمال حلپذير G است. حال قرار دهيد  و  بنابراين گروه G داراي يك سري نرمال به صورت زير خواهد بود:

به طوري كه  يك گروه ساده غيرآبلي يا  يك حاصلضرب مستقيم از گروههاي ساده غيرآبلي ايزومورف با هم است. چون G يك گروه است آن‌گاه  يك  گروه ساده يا حاصلضرب مستقيمي از  گروههاي ساده ايزومورف با هم است.

از قضيه (1-2-2) برای هر، داريم، در نتيجه از قضيه (1-3-8)  حال قرار دهيد و آن‌گاه داريم:

فرض كنيد آن‌گاه ، در نتيجه . فرض كنيد ، داريم  و ، چون  اين يك تناقض است. بنابراين  نمي‌تواند با  ايزومورف باشد، در نتيجه . حالا فرض كنيد  از قضيه (1-2-2) داريم براي هر p،  آن‌گاه می توان نتيجه گرفت K پوچتوان است. از طرفي داريم  و N زير گروه نرمال ماكسيمال حلپذير G است از آن نتيجه مي‌شود K غيرحلپذير است كه يك تناقض است. بنابراين ، آن‌گاه . ادعا مي‌كنيم كه . فرض كنيد و Q يك سيلو زيرگروه غيربديهي از N باشد. چون N پوچتوان و زيرگروه نرمال G آن‌گاه Q در G نرمال است. فرض كنيد ، واضح است كه  و Z هم زير گروه نرمال G است. فرض كنيد P يك سيلو  زيرگروه از G باشد به طوري كه و . از اينكه  نتيجه مي‌شودP  در نرمالساز Z قرار دارد كه به آساني نتيجه مي‌شود. همچنين كه از آن نتيجه مي‌شود . بنابراين ، آن‌گاه . همچنين از اينكه  نتيجه مي‌شود كه  زير گروه نرمال G است. چون N پوچتوان است آن‌گاه . اكنون داريم. با توجه به اينكه P شامل N نيست و  گروهي ساده است نتيجه مي‌شود. بنابراين ، در نتيجه  در مركز G قرار مي‌گيرد. با توجه به اينكه طبق فرض قضيه ، اين يك تناقض است. بنابراين  كه از آن نتيجه مي‌شود.

قضيه 3-2-2 فرض كنيد G يك گروه متناهي با مركز بديهي و  براي هر، آن‌گاه  يا  به عبارت ديگر .

برهان. ابتدا ثابت مي‌كنيم G غيرحلپذير است. فرض كنيد G حلپذير باشد، با توجه به اينكه  آن‌گاه  كه يك تناقض است. بنابراين G غيرحلپذير است. چون G غيرحلپذير و متناهي است مثل قضيه قبلي G داراي سري نرمال زير است:

به طوري كه  يك گروه ساده غيرآبلي يا  يك حاصلضرب مستقيم از گروههاي ساده غيرآبلي ايزومورف با هم هستند. چون G،  گروه است آن‌گاه  يك گروه ساده يا يك حاصلضرب مستقيم از  گروه ساده ايزومورف با هم مي‌باشند. از قضيه (1-2-2) داريم براي هر ،  در نتيجه از قضيه (1-3-8) . شبيه قضيه قبلي مي‌توان نشان داد كه زيرگروه نرمال K وجود دارد به طوري كه  و . اگر ‌آن‌گاه، نشان مي‌دهيم . فرض كنيد ، چون  و N زير گروه نرمال ماكسيمال حلپذير G است آن‌گاه نتيجه مي‌شود K زيرگروه نرمال غيرحلپذير G است. از طرف ديگر چون  براي هر ، آن‌گاه از قضيه (1-2-2) داريم  براي هر  که نتیجه می شود K زيرگروه پوچتوان G است كه یک تناقض است. بنابراين  و آن‌گاه . حالا نشان مي‌دهيم . فرض كنيد Q يك سيلو –q زير گروه از N باشد. چون N پوچتوان است آن‌گاه Q در G نرمال است. به آساني مي‌توان ديد كه اگر  آن‌گاه Q در نرمالساز P قرار دارد. بنابراين اگر  آن‌گاه P و Q در مركزساز يكديگر قرار مي‌گيرند. فرض كنيد  آن‌گاه براي هر ،  و بنابراين  تواني از q خواهد بود. حالا فرض كنيد ، آن‌گاه . همچنين اگر  آن‌گاه  غيربديهي است و  چون  از آن نتيجه مي‌شود كه . چون q دلخواه بود پس . بنابراين . اگر ، شبيه آنچه كه براي حالت در بالا ثابت شده مي‌توان بكار برد و نتيجه گرفت كه K پوچتوان،  و  بنابراين.

3-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 53

3-2 تشخيص‌پذيري گروههاي خطي  ………………………………………………… 55

3-3 پیشنهادات برای ادامه کار………………………………………………………….. 63

مراجع …………………………………………………………………………………….. 64



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان