فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه.

چندک  ام یک تابع توزیع تک متغیره ی ،  می باشد. میانه  توسط  محاسبه می شود و برای  نقاط    و   بازه ای به فرم رابطه (1-1) را شکل می دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه،  باشد. این دیدگاه ما را به سمت تعریف ناحیه درونی چندک  ام به صورت

(1-1)  هدایت می کند که به وضوح دارای احتمال  است.

به عنوان مثال به ازای  ناحیه ی درون چارکی تشکیل می شود و با میل دادن  به سمت صفر میانه حاصل خواهد شد. وقتی که بین  و  رابطه ی   برقرار باشد دو مقدار   به صورت زیر بدست خواهد آمد:

  های  حاصل به عنوان نقاط مرزی ناحیه درونی چندک  ام تلقی خواهند شد.ناحیه ی درونی چندک  ام برای     اطلاعات چندک برای توزیع  را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای  ناحیه درونی چندک  ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک  ام است.برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در ، ، تابع چندکی جهت یافته از میانه  را به صورت زیر تعریف می کنیم:

برای تعریف تابع چندکی  در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش 2-2 به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی  داده شده است و    که  به صورت زیر تعریف می شود:همچنین فرض می کنیم  خانواده ی     که در آن برای ،  و  است، شامل ناحیه های تودرتو حول   باشد. تابع چندکی جهت یافته از میانه  به سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران   ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.

با مشخص کردن نقاط روی ناحیه های مرزی  و  تابع چندکی جهت یافته از میانه حاصل می شود. به طور دقیق تر برای ،   تعریف می شود و آنگاه  توسط نقطه ی مرزی   در جهت  از  مشخص می شود و   یک ناحیه ی درونی چندک  ام را ارائه می کند. کرانه های ، که کانتور نامیده می شود، تفسیر های مفیدی را به عنوان تابع چندکی جهت یافته از میانه دارند. ایده های متفاوت از میانه ی  و شکل های متفاوت برای ناحیه های     ما را به فرم های متفاوت تابع چندکی، سوق می دهند.

1-1-چندک مرتبه  …………………………………………………………………………………..2

1-2-1-تابع چندکی در حالت یک متغیره…………………………………………………………….5

1-2-3-تابع چندکی در حالت چند متغیره……………………………………………………………7

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم: چندک ها بر اساس تابع عمق..

همانگونه که قبلا متذکر شدیم، توسیع مفهوم چندک به داده های چند بعدی می تواند از چند منظر صورت گیرد، ما در این فصل این مفهوم را با استفاده از تابع عمق گسترش         می دهیم. بدین منظور ابتدا تابع عمق را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.

2-2- تابع عمق

تابع حقیقی مقدار و غیر منفی  که بر روی  تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی  ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در  ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.

2-2-1- تابع عمق آماری

فرض کنید   یک تابع توزیع باشد. هر تابع  که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی  بر اساس  ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.فرض کنید  یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای  یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی  به صورت معمول زیر تعریف می شود:

 2-2-1-1- ناحیه ی درونی عمق  

فرض کنید  یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق  به صورتمعرفی می شود. لازم به ذکر است که

در ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.

2-2-1-2- تابع عمق نیم فضا

وقتیکه  یک نیم فضای بسته  باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا،  را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود.  نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه  را داشته باشد.

2-2-1-2-1-  ناحیه ی درونی عمق نیم فضا

فرض کنید  یک تابع احتمال روی  باشد. در صورتیکه  یک نیم فضای بسته  باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:برای مثال، فرض کنید  است، آنگاه ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از  بزرگتر است، مشترک است.شکل (2-1)،  را برای توزیع نرمال دو متغیره با  های متفاوت و شکل (2-2)،  را برای توزیع نمایی دو متغیره با   های متفاوت نشان می دهد.

2-1-مقدمه……………………………………………………………………………………………..11

2-2-تابع عمق…………………………………………………………………………………………..11

2-2-1-تابع عمق آماری………………………………………………………………………………..12

2-2-1-1-ناحیه ی درونی عمق ……………………………………………………………………..12

2-2-1-2-تابع عمق نیم فضا……………………………………………………………………………12

2-2-1-2-1-ناحیه ی درونی عمق نیم فضا…………………………………………………………..13

2-2-1-3-ناحیه ی مرکزی  ام………………………………………………………………………….15

2-2-1-4-ناحیه ی بیرونی  ام………………………………………………………………………….16

2-2-1-5-سطوح چندکی بر اساس عمق……………………………………………………………17

2-3-نتیجه گیری………………………………………………………………………………………17

فصل سوم: چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم.

نسبت ، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوری به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (3-1) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.

3-2-1- روش ابدوس و تئودورس[1] (1992)

از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این   می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 برای  و  تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند: که در آن  نرم اقلیدسی  روی  است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:چندک  ام، ، زمانیکه  باشد از مینیمم کردن   ، بدست می آید. بنابراین برای هر  در نرم ، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط  دسته بندی می شوند و برای ثابت ، با در نظر گرفتن متغیر  در بازه  و قرار دادن  به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در  با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار ، ، تولید می شوند که در بخش 3-2-2 بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر = 1 و  باشد، آنگاه:

باید (3-2) را روی  مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:

از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:بنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن  در رابطه 3-2 چندک  ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.برای  ،  را بردار چندک های  ام تک متغیره کناری می نامیم. برای =  ، به  میانه ی فضایی گفته می شود.

3-2-2-  بررسی تابع چندکی  توسط چندک های

در این بخش وجود تابع چندکی  توسط چندک های  برای  ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا    می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های   برای  را در نظر بگیرید. برای  ثابت،   یک منحنی در  است. بنابراین برای  ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا  می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک  ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی  توسط چندک های   داشته باشیم.

  3-1-مقدمه……………………………………………………………………………………………19

3-2-1-روش ابدوس و تئودورس……………………………………………………………………..19

3-2-2-بررسی تابع چندکی  توسط چندک های ………………………………………………..22

3-3-1-روش چادوری………………………………………………………………………………….23

3-3-2-بررسی تابع چندکی  توسط چندک های ( )………………………………………………25

3-4-نتیجه گیری………………………………………………………………………………………26

فصل چهارم: چندک های چند متغیره داده ای بر اساس شیب

4-1-مقدمه………………………………………………………………………………………………..28

4-2-بکارگیری روش شیب در بدست آوردن چندک های چند متغیره………………………………….28

4-3-آماره ی آزمون علامت…………………………………………………………………………………29

4-3-1-آماره آزمون علامت برای حالت تک متغیره……………………………………………………….29

4-3-2-آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره……………………………………………………..30

4-3-2-1-آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره…………………………………………………31

4-4-میانه جهت داده شده به تابع چندکی بر اساس روش شیب…………………………………..32

4-5-نتیجه گیری………………………………………………………………………………………….32

فصل پنجم: چندک تعمیم یافته..

برای یک تابع احتمال  روی ، زیر کلاس  از مجموعه های برل و تابع مجموعه ای حقیقی مقدار  را در نظر بگیرید. تابع چندکی حقیقی مقدار  را به صورتتعریف می کنیم. از تابع  به عنوان تابع چندکی تعمیم یافته یاد می­شود. به طور خاص رفتار مجانبی ، که بر اساس  (تابع احتمال تجربی)،  و  تعریف می شود، با توجه به توزیع مجانبی فرایند چندکی تعمیم یافته   ، ، مشخص می شود.فرایند های چندکی تعمیم یافته، ضمایم مفید و درک بهتری را در ارتباط با بعضی از روش های مبتنی بر عمق در آنالیز ناپارامتری چند متغیره فراهم می کنند که در زیر چند مثال از کاربرد این روش را مورد بررسی قرار می دهیم.

5-1-1-  حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی

برای یک تابع عمق داده شده  مجموعه های  وقتیکه مقدار  کاهش می یابد به شکل کانتورهای تو در تو دیده می شوند. بنابراین می توانیم یک منحنی مقیاس را با استفاده از رسم  در مقابل  بدست آوریم زمانیکه:در اینجا  ناحیه ی مرکزی  ام است. منحنی های مقیاس شاخصی برای تشخیص توزیع های چند متغیره می باشند. به عبارت دیگر، در مقایسه دو مجموعه از داده ها که یکی چگال تر از دیگری است منحنی مقیاس دسته چگال تر پایین تر از منحنی مقیاس دسته دیگر قرار می گیرد (به شکل 5-1 مراجعه کنید).نکته : هرچقدر پراکندگی توزیع بیشتر باشد حجم ناحیه مرکزی هم بیشتر می شود. فرض کنید تابع عمق  داده شده است که ترتیب نقاط  در  را بر اساس نقطه مرکزی توزیع  در نظر می گیرد. ناحیه های درونی مجموعه های ،را در نظر بگیرید. یاد آور می شویم که ناحیه مرکزی که احتمال بیش از  را دارد توسط  نشان داده می شود (برای توضیحات بیشتر به بخش 2-2-1-2 مراجعه کنید). فرض کنید:

  • و  توابعی پیوسته هستند.
  • تابعی کاهشی نسبت به  است.

آنگاهو از        نتیجه می شود:چندک تعمیم یافته   تذکر: برای  و کلاس  از نیم خط ها یعنی =  آنگاه تابع چندکی یک متغیرمعمولی می باشد.همگرایی فرایند چندکی تعمیم یافته توسط سرفلینگ[1] در سال 2001 مورد بررسی قرار گرفته است که اثبات آن از حوصله این پایان نامه خارج است. وی نشان داده است حجم نمونه ای ناحیه مرکزی  ام بطور مجانبی نرمال با میانگین  و واریانس  است، وقتیکه   مشتق نسبت به  می باشد.

5-1-2-  منحنی های  لورنز[2] بعنوان توابع چندکی تعمیم یافته

به طور کلی منحنی لورنز توسط رسم   وقتی   تابع توزیع تجمعی باشد تعریف شده است که   =  می باشد. منحنی لورنز را بصورت عکس تابع توزیع احتمال نیز می توان تعریف کرد:بطوریکه  .  ناحیه بین منحنی لورنز و خط              را ناحیه ی تمرکز گویند.

در سال1999، لیو، پارلیوس و سینگ[3] با تفسیر عمق به عنوان ارزش توانستند چولگی را در منحنی لورنز، که با تابع توزیع عمق  درارتباط است، اندازه بگیرند.هرچقدر دمهای   چند متغیره سنگین تر شود ناحیه ی بیرونی  برای    ثابت، احتمال بالاتری می گیرد. از طرف دیگر   . برای  ثابت هر چقدر  کم شود، سنگینی دم و  کاهش می یابند و از اینرو مقدار   برای  ثابت کم می شود. بنابراین هر چقدر دم توزیع های چند متغیره سنگین تر باشد ناحیه ی تمرکز بیشتری داریم.نکته: توزیع های چند متغیره نسبت به سنگینی دمهایشان توسط منحنی لورنز در یک منحنی دوبعدی مقایسه می شوند.برای تابع عمق دلخواه  یک تابع چندکی به فرم (5-1) با کلاس  که توسط ناحیه های بیرونی ساخته می شود و  روی  است بصورت زیر تعریف می کنیم:  به طور دقیق تر،    منحنی لورنز توزیع عمق  است.

کاربرد منحنی لورنز در اقتصاد:

وقتی در منحنی لورنز از توزیع های درآمدی، ، استفاده شود  نسبت کلی درآمد متعلق به نسبت  اشخاصی که درآمد پایینی دارند را ارائه می کند. این منحنی یک ابزار گرافیکی برای اندازه و نمایش درجه نابرابری در توزیع درآمد را فراهم می کند.

5-1-3- چندک های سطوح تابع عمق

یک تابع عمق   داده شده، اطلاعات مفیدی روی متغیر عمق  به طور مناسبی توسط تابع چندکی ، ، از عمق تابع توزیع  تک متغیره، می دهد. سطح کرانه عمق که یک ناحیه ی بیرونی با احتمال بزرگتر یا مساوی  را مشخص می کند به ما می دهد و آماره ی L[4] برای  و  میانه و برد میان چارکی عمق بعنوان یک متغیر تصادفی  را می دهد.یک تابع چندکی مناسب به فرم (5-1) با کلاس  از ناحیه های بیرونی   و    را معرفی می کنیم:

5-1-معرفی  به عنوان چندک تعمیم یافته…………………………………………………………………34

5-1-1-حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی…………………………………………………35

5-1-2-منحنی های  لورنز به عنوان توابع چندکی تعمیم یافته……………………………………………37

5-1-3-چندک های سطوح تابع عمق……………………………………………………………………..39

فصل ششم: آماره های مکان و مقیاس در

چندک  ام چند متغیره ی  تعریف شده در بخش 3-3-1 برای 2  ممکن است از طریق معکوس یک نگاشت دیده شود. برای متغیر تصادفی  که یک توزیع اکیدا پیوسته در  دارد،  (چندک  ام) از جواب منحصر به فرد  از برابری   حاصل می شود:   نابراین  یک چندک توزیع    روی  است. برای  توزیع قبلی به یک نگاشت ساده ی تابع توزیع متغیر تصادفی  تنزل می یابد. برای تعمیم به ابعاد بالاتر ، تابعک  و برآوردگرهای ، یک نظریه عمومی برای توزیع های  و چندک های  را فراهم می کنند. در توزیع های ،  پارامتر وجود دارد و برآورد پارامترهای آنها و محاسبه چندک در این حالت منجر به تولید چندک   می شود. تعریف دقیق چندک  از حوصله این پایان نامه خارج است و برای مطالعه بیشتر می توانید به مقاله کولچینسکی[1] مراجعه کنید.برآوردگرهای : برآوردگرهای  بر اساس یک تابع (مانند )که در شرایط  و  و غیر ثابت، پیوسته و غیر نزولی در ، صدق کند ساخته می شود و برابر است بابرای پارامتر مقیاس    برای پارامتر مکان       که  مجموعه کلیه برآوردگرهای مورد نظر است، واضح است که برآوردگرهای  وابسته به تابع  می باشند.

6-2-3- آماره L مکانی براساس چندک های  

در سال 1997، کولچینسکی بر اساس تابع چندکی ، ، تابعک  چند متغیره   را که در آن  یک اندازه مشخص روی  با تغییرات متناهی و  یک تابع برداری است تعریف کرده است بطوریکه  انتگرال پذیر باشد.حالت خاص  و  داده شده در برابری (6-4)، توسط چادوری در سال 1996 بررسی شده است. او همچنین  را بعنوان یک نسخه ای از میانگین بریده شده چند متغیره پیشنهاد داده است. میانگین بریده شده  ام در این حالت برابر است با:وقتیکه:   و 

6-3- آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره

در این بخش ما چندین اندازه ی مقیاس ماتریس مقدار و یک روش حقیقی مقدار را بررسی می کنیم.

-3-1- آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع چندکی

فرض کنید  یک تابع چندکی باشد. برای هر ، تابع (6-5) یک اندازه مقیاس ماتریس مقدار است که بر اساس آن و با توجه به اندازه احتمال  روی  می توان حالت کلی تری از تابعک مقیاس را به صورت زیر تعریف کرد:به طور خاص مقیاس بریده شده تابعی  ام با در نظر گرفتن  در بخش 6-2-1، به عنوان میانگین  روی ناحیه درون چندکی  ام تفسیر شده است.

 6-3-2-  آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق

وقتی  در رابطه (6-5) بر اساس تابع عمق بدست آمده باشد و  دارای تابع چگالی  باشد، آنگاه  بدست آمده از رابطه (6-6)، آماره مقیاس ماتریس مقدار بر اساس تابع عمق است برای مطالعه بیشتر به مقاله لیو، پارلیوس و سینگ (1999) مراجعه کنید.در این حالت مقیاس بریده شده تابعی  ام، میانگین روی نسبت  از نقاط با بیشترین عمق است.

6-1-مقدمه…………………………………………………………………………………………………..42

6-2-آماره مکانی L  در ……………………………………………………………………………………….42

6-2-1-آماره مکانی L  براساس توابع چندکی………………………………………………………………42

6-2-2-آماره مکانی L براساس توابع عمق…………………………………………………………………43

6-2-3-آماره L مکانی براساس چندک های ………………………………………………………………46

6-3-آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره……………………………………………………………..46

6-3-1-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس میانه ی جهت داده شده به توابع چندکی ………………………………………………………………………………………………………………….47

6-3-2-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق…………………………………………….47

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل هفتم: شبیه سازی

در این فصل برخی از روش های تابع چندکی معرفی شده در فصل های گذشته را شبیه سازی کرده و نشان می دهیم که چندک ها در حالت چند متغیره قابل محاسبه هستند. بدین منظور با استفاده از نرم افزار شبیه سازیها انجام شده و برنامه ها در پیوست قابل مشاهده هستند.

7-2-1- روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال

50 مشاهده از توزیع نرمال دو متغیره استاندارد تولید کرده ایم. شکل 7-1 نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره را نشان می دهد که با استفاده از تابع عمق نیم فضا، ناحیه های درونی را با  های 1/0، 2/0 و 4/0 محاسبه کرده و در این تصویر نمایش داده شده است. شکل 7-2 عمق نقاط را نشان می دهد.

7-1-مقدمه…………………………………………………………………………………………………….49

7-2-شبیه سازی روش تابع عمق……………………………………………………………………………49

7-2-1-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال…………………………………………………………..49

7-2-2-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نمایی…………………………………………………………52

7-2-3-روش تابع عمق با استفاده از توزیع یکنواخت………………………………………………………54

7-3-شبیه سازی منحنی مقیاس…………………………………………………………………………..56

7-3-1-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع مستطیلی……………………………………………………56

7-3-2-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره……………………………………………….58

منابع………………………………………………………………………………………………………..60

پیوست……………………………………………………………………………………………………..65

 

 

ABSTRACT

The order statistics and quantiles play a central and significant roles in nonparametric statistics. In the univariate case, the quantiles of the underlying distribution function , we defined based on the concept of order statistics on the real line . The straightforward generalization of quantiles to multivariate case is thwarted by the absence of a natural order in , . Consequently, new definitions and concepts are required to induce ordering to the multidimensional spaces and the depth function can be pointed out as one the most important ones. The first chapter of this thesis is devoted to basic definition and concepts required in introducing multivariate quantiles. And, in the the second chapter, using a special form of depth function, called half-space depth function the multivariate quantiles are introduced. In 1967, Ferguson introduced univariate quantile with a different point of the past, and in 1992, Abdous and Theodorecue following the work of Ferguson, defined multivariate quantile , and in 1996, Choudhury introduced multivariate quantile with a different look from Abdous and Theodourecue, to the work presented by Ferguson. These contents have been collected in the third chapter. Multivariate quantiles, using the derivative function, are discussed in Chapter four. In the fifth chapter, we introduce generalized quantile function, and in this way we will achieve another the generalization of multivariate quantile. In chapter six is devoted to the scale and location parameters in multi-dimensional space based on the quantile function, depth functions and M-quantiles. Finally, by providing appropriate simulations, multivariate quantiles for some of the mentioned methods have been presented in Chapter seven.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان