انتخاب صفحه

مقدمه
بدون استفاده از روشها و تکنیکهای عددی، حل بسیاری از مسایل پیچیده مهندسی تقریباً غیرممکن می باشد و روشهای تحلیلی در بسیاری از موارد پاسخگو نمیباشند. بیشتر تکنیک های عددی در مکانیک محیطهای پیوسته بر این اصل استوارند که میتوان روابط و معادلاتی نوشت که بتوانند با دقت مناسب رفتار اجزاء کوچک یک جسم را بررسی نمایند.[1]
با تقسیم کردن کل جسم به تعداد زیادی از این اجزاء و استفاده از روابطی که این اجزاء را به هم مرتبط سازد، امکان پیشبینی دقیق مقادیر و متغیرهای موردنظر در نقاط مختلف جسم مانند تنش ها و تغییر مکانها میسر می شود. هرقدر اندازه این اجزاء کوچکتر انتخاب گردد، حل عددی دقیق تر میگردد. لیکن هزینه و وقت صرف شده برای انجام محاسبات ممکن است غیرقابل توجیه گردد. در اینجا »تجربه« نقش مهمی را ایفا می کند چراکه برای این سؤال که ”اندازه بهینه اجزاء چقدر باید باشد“ هنوز پاسخ مشخصی وجود ندارد.
.به منظور تحلیل عددی مسائل ترکیبی آب و سازه، لازم است دو بخش تشکیل دهنده سیستم از یکدیگر تفکیک گردند. روش المان محدود برای مدل کردن سازه های پیچیده با رفتار غیر خطی و مانند آن بکار میرود. حال آن که مدل سازی محیطهای نیمه بینهایت مانند دریاچه سد و نظایر آن توسط این روش با دقت مناسب انجام نمیگیرد. علت آن است که امواج منتشر شده به سمت بینهایت پس از برخورد با مرز های انتهایی منعکس میشوند و میرایی امواج به طور کامل صورت نمیپذیرد. در مقابل روش المان مرزی در این مورد بسیار مناسب است زیرا در حل پایه ای روش المان مرزی اثر انتشار امواج در محیط های نیمه بینهایت منظور میگردد.
با ترکیب این دو روش در مسائل مختلط، از نقاط قوت آنها به بهترین نحو استفاده میشود. همچنین با استفاده از روش حل در حوزه زمان(Time Domain) نه تنها میتوان مسائل دینامیکی با تحریک های غیر هارمونیک را حل کرد، بلکه موارد غیر خطی نیز قابل بررسی خواهند بود.

تحلیل اندر کنش آب و سازه توسط ترکیب روش المان مرزی و المان محدود غیر خطی

تحلیل اندر کنش آب و سازه توسط ترکیب روش المان مرزی و المان محدود غیر خطی

فهرست مطالب

چکیده ………………………………………………………………………………………………………………1

مقدمه …………………………………………………………………………………………………………….2

فصل اول:مقدمه ای بر روش المان مرزی

1- روشهای عددی در مکانیک محیطهای پیوسته ………………………………………………………………4
1- 1- روش تفاضل محدود (FD)…ا……………………………………………………………………………….4
1- 2- روش اجزاء محدود (FE)……ا………………………………………………………………………………..5
1- 3- روش المان مرزی (BE)…..ا…………………………………………………………………………………6
2- نگاهی کلی به تاریخچه پیشرفت روش المان مرزی…………………………………………………………9
3- مقایسه روش المان مرزی و روش المان محدود …………………………………………………………….12
3- 1- نقاط قوت روش المان مرزی…………………………………………………………………………………12
3- 2- نقاط ضعف روش المان مرزی……………………………………………………………………………….13
4- المان مرزی یا المان محدود؟ ……………………………………………………………………………………14

فصل دوم:مروری بر روش المان محدود

1- فرمولاسیون روش المان محدود در تحلیل های خطی مکانیک جامدات ………………………………………17
1- 1مقدمه……………………………………………………………………………………………………………….17
1- 2- المان محدود به روش تغییر مکان……………………………………………………………………………..17
1- 3- معادلات المان محدود………………………………………………………………………………………….18
2- فرمولاسیون و محاسبه ماتریس های المان محدود هم پارامتر ……………………………………………….24
2- 1- محاسبه ماتریس سختی المان میله ای توسط المان های هم پارامتر……………………………………25
2- 2- فرمولاسیون المان های پیوسته ……………………………………………………………………………….27

فصل سوم: روابط ریاضی حاکم بر روش المان مرزی مسایل دو بعدی پتانسیل

1- فرمول بندی تحلیلی…………………………………………………………………………………………………37
2- راه حل عددی ………………………………………………………………………………………………………..41

گام 1: تقسیم مرز به المانهای مرزی………………………………………………………………………………….42

گام 2: انتگرال گیر ی عدد ی ضرایب ………………………………………………………………………………….44

گام 3: ارضاء شرایط مرزی ………………………………………………………………………………………………49

گام 4: حل معادلات جبری ……………………………………………………………………………………………….50

گام 5: محاسبه متغیرهای داخلی ……………………………………………………………………………………….50

مسایل پتانسیل وابسته به زمان…………………………………………………………………………………………..51

حل پایه ای وابسته به زمان ……………………………………………………………………………………………..52

ترکیب روش المان محدود و المان مرزی……………………………………………………………………………………55

1- شرایط موجود در مرز مشترک……………………………………………………………………………………………57
2- رابطه بین نیرو و نیروی کششی ……………………………………………………………………………………..57
3- ایجاد ماتریس سختی معادل المان مرزی……………………………………………………………………………..59
4- تبدیل نیروهای المان محدود به کشش………………………………………………………………………………..61

فصل چهارم: نمونه ای از مسائل حل شده توسط روش ترکیبی المان محدود و المان مرزی

1- ترکیب روش المان محدود و روش المان مرزی منقطع در تحلیل مسائل اندر کنش آب و سازه…………………..64
1- 1- مقدمه :…………………………………………………………………………………………………………………64
1- 2- روش المان مرزی منقطع در دینامیک سیالات :……………………………………………………………………65
1- 3- حل مثال عددی ……………………………………………………………………………………………………….71
2- تحلیل اندر کنش آب و سازه توسط ترکیب روش المان مرزی و المان محدود غیر خطی …………………………72
2- .1-مقدمه:…………………………………………………………………………………………………………………72
2- 2- مدل سازی سازه :…………………………………………………………………………………………………….73
2- 3- مدل ساز ی سیال :……………………………………………………………………………………………………74
2- 4- ترکیب سازه و سیال :………………………………………………………………………………………………….75
2- 5- مطالعات عددی :………………………………………………………………………………………………………..76
2- 5- 1-سد بتنی تحت تاثیر زلزله :………………………………………………………………………………………….76
2- 5- 2-سازه حلقه ای شکل تحت تاثیر فشار داخلی :…………………………………………………………………..79
2- 5- 3- مخزن پر از آب :……………………………………………………………………………………………………….82
2- 6-نتی جه گیری :……………………………………………………………………………………………………………85
3- تحلیل اندر کنش آب و سازه در مورد مخازن سه بعد ی مستطیل شکل توسط ترکیب روش های المان
محدود (FEM) و المان مرزی (BEM) و مقایسه نتایج آزمایشگاهی ……………………………………………………..86
3- 1- مقدمه :……………………………………………………………………………………………………………………86
3- 2- روابط ریاضی :…………………………………………………………………………………………………………….87
3- 3- مقایسه با نتایج آزمایشگاهی :……………………………………………………………………………………….93

فصل پنجم: حل مساله نمونه حل مساله

تحلیل توسط نرم افزار ANSYS….ا……………………………………………………………………………………………101

1- محی ط الاستیک بدون حضور سیال:……………………………………………………………………………………..101
2- محی ط الاستیک با حضور سیال…………………………………………………………………………………………..104
2- 1- المان مورد استفاده برا ی سیال ……………………………………………………………………………………..105
2- 2- شرط ها ی مرزی ……………………………………………………………………………………………………….106
2- 2- 1- شرط مرزی مربوط به مرز ها ی عمود ی محیط الاستیک:………………………………………………………106
2- 2- 2- شرط مرزی مربوط به مرز مشترک سازه و سیال:………………………………………………………………..106
2- 2-3 شرط مرزی مربوط به مرز ها ی عمود ی سیال:…………………………………………………………………….106
2-2-4 شرط مرزی مربوط به مرز انتها یی محیط سیال:……………………………………………………………………..106

حل مساله توسط برنامه رایانه ا ی تهیه شده در محیط MATLAB.ا………………………………………………………..109
روش گام ها ی زمان ی نیومارک……………………………………………………………………………………………….111

فصل ششم: بحث و نتیجه گیری

بحث و نتیجه گیری ………………………………………………………………………………………………………….117

نی از ها ی پژوهش ی آینده ……………………………………………………………………………………………….122

فهرست منابع لاتین:………………………………………………………………………………………………………….124

فهرست منابع فارسی:………………………………………………………………………………………………………126
شکل ها

شکل 1- 1 انواع روش های عددی در مکانیک محیط های پیوسته…………………………………………………………..4
شکل2- 1-جسم سه بعدی به همراه المان سه بعدی……………………………………………………………………….19

شکل2- 2-المانی در مختصات محلی و کلی………………………………………………………………………………….25

شکل2- 3-توابع شکل مربوط به المان یک بعدی دو گره ای تا چهار گره ای ……………………………………………..28

شکل-2-4- توابع شکل مربوط به المان دو بعدی چهار تا نه گره ای…………………………………………………………29 شکل-2-5- المان سه بعدی هشت تا بیست گره ای ………………………………………………………………………..30 شکل-2-6-المان هایی با ژاکوبین های منفرد …………………………………………………………………………………33
شکل-3-1- نمونه ای از یک محیط فیزیکی دو بعدی………………………………………………………………………….37 شکل-3-2- روش های انتگرل گیری در مسایل پتانسیل دو بعدی……………………………………………………………49

شکل3- 3-المان بندی ترکیب شده مربوط به روش های المان محدود و المان مرزی ……………………………………..56
شکل 4-3-پاسخ تغییر مکان مربوط به نقطه واقع در وسط دهانه تیر کنسول محاسبه شده توسط روش پیشنهادی (نقاط پر) و حل تحلیلی(خطوط منحنی) تحت اثر بار ضربه ای(شکل A ) و بار سینوسی(شکل B )..ا…………………………………72

شکل 4-4-الگوریتمی برای محاسبه تغییر مکان های گره ای U..ا……………………………………………………………..76

شکل 4-5-سدی با دریاچه پشت آن ……………………………………………………………………………………………..77

شکل 4-6- جابجایی تاج سد در اثر زلزله………………………………………………………………………………………….78

شکل 4-7-کرنش های پلاستیک معادل در سه زمان مختلف…………………………………………………………………79

شکل 4-8-سازه حلقه ای شکل در ترکیب با محیط نیمه بینهایت سیال……………………………………………………80

شکل 4-9-توزیع کرنش پلاستیک در سطح مقطع حلقه………………………………………………………………………81

شکل 4-10-رفتار انتقالی فشار سیال در موقعیت های مختلف………………………………………………………………82

شکل 4-11-مخزن پر از آب…………………………………………………………………………………………………………83

شکل 4-12-تغییر مکان در نقطه A و نیروی فنر در همان نقطه ……………………………………………………………….84

شکل 4-13-تغییر مکان دیواره مخزن و توزیع فشار در سیال……………………………………………………………………85

شکل 4-14-نمایی سه بعدی از مقطع مخزن آب مکعب شکل ……………………………………………………………….88

شکل 4-15-ناحیه محدود سیالΩ با مرز S واقع در درون ناحیه بزرگ سیال با مرز S*..ا………………………………………90

شکل 4-16-مدل سه بعدی مخزن مکعبی……………………………………………………………………………………….94

شکل 4-17-مقایسه تاریخچه زمانی شتاب اندازه گیری شده در وسط ضلع بزرگ مخزن با مقادیر………………………..95 محاسبه شده توسط روش تحلیلی…………………………………………………………………………………………………95

شکل 4-18- مقایسه فشار هیدرو دینامیک اندازه گیری شده در تقاطع دال زیرین مخزن و دیواره با مقادیر…………………96 محاسبه شده توسط روش تحلیلی…………………………………………………………………………………………………96

شکل 4-19-مقایسه پروفیل سطح آب در وسط ضلع بزرگ مخزن با مقادیر محاسبه شده توسط روش تحلیلی ………….97

شکل-5-1هندسه, المان بندی و بارگذاری محدوده الاستیک در ترکیب با سیال………………………………………………..99 شکل-5-2منحنی های پاسخ در حالت های وجود سیال و عدم وجود آن…………………………………………………………100 شکل-5-3-حالت بدون وجود سیال در فاصله زمانی اول(بار اعمال شده است)………………………………………………….101 شکل-5-4 -حالت بدون وجود سیال در فاصله زمانی دوم(بدون اعمال بارگذاری)………………………………………………..102 شکل-5-5-پاسخ زمانی تغییر مکان نقطه A در اثر بار گذاری پله ای………………………………………………………………..103 شکل-5-6- مدل اندر کنش آب و سازه ………………………………………………………………………………………………104 شکل-5-7- هندسه و دستگاه مختصات المان 29 FLUID….ا……………………………………………………………………..105 شکل-5-8- مشخصات المان 129FLUID ……ا…………………………………………………………………………………..108 شکل-5-9- پاسخ تغییر مکان نقطه A در حالت وجود سیال تحت اثر بار ضربه ای…………………………………………..109 شکل-5-10- نحوه المان بندی مساله نمونه …………………………………………………………………………………….110

شکل 5-11-روش ذوزنقه ای در حل نیومارک ……………………………………………………………………………………..112 شکل-5-12پاسخ تغییر مکان نقطه A در اثر بار ضربه ای محاسبه شده توسط برنامه رایانه ای……………………………..114 شکل 5-13- تحقیق صحت نتایج در حالت بدون سیال……………………………………………………………………………115 شکل 5-14- تحقیق صحت نتایج در حالت وجود سیال……………………………………………………………………………115
شکل 6-1- پاسخ تغییر مکان نقاط A و B در حالت اولیه…………………………………………………………………………..117 شکل-6-2-هندسه, المان بندی و بارگذاری محدوده الاستیک در حالت دوم……………………………………………………118 شکل 6-3پاسخ تغییر مکان نقاط A و B در حالت دوم………………………………………………………………………………118 شکل-6-4- هندسه, المان بندی و بارگذاری محدوده الاستیک در حالت سوم………………………………………………….119 شکل 6-5پاسخ تغییر مکان نقاط A و B در حالت سوم ……………………………………………………………………………119
شکل 6-6- پاسخ تغییر مکان نقطه A بدون سیال با استفاده از گامهای زمانی 00125/0 و 0025/0 ثانیه ………………..120 شکل 6-7- پاسخ تغییر مکان نقطه B بدون سیال با استفاده از گامهای زمانی 00125/0 و 0025/0 ثانیه ………………..120 شکل 6-8- پاسخ تغییر مکان نقطه A با وجود سیال با استفاده از گامهای زمانی 00125/0 و 0025/0 ثانیه………………121 شکل 6-9- پاسخ تغییر مکان نقطه B با وجود سیال با استفاده از گامهای زمانی 00125/0 و 0025/0 ثانیه ………………121

 

فصل اول مقدمه ای بر روش المان مرزی
1- 1-روش تفاضل محدود (FD)
در این روش، مشتق های موجود در معادلات دیفرانسیل جزئی حاکم بصورت معادلات تفاضلی نوشته می شود. بنابراین برای یک محدوده دو بعدی ، شبکه ای از »سلولها« درون محدوده قرار داده میشود و تقریبهای تفاضلی برای هریک از نقاط داخلی اعمال می گردد. این کار منجر به ایجاد یک سری معادلاتجبری خطی می شود که با در نظر گرفتن شرایط مرزی جواب منحصر به فردی خواهند داشت.
روش تفاضل محدود آسان ترین راه حل میان سه روش پیشگفته می باشد که به راحتی قابل تبدیل به برنامه کامپیوتری است. اشکال اساسی این روش در مسایل عملی مهندسی این است که این روش برای مسایلی که هندسه نامنظمی دارند کاربرد مناسبی ندارد. علاوه بر این، از آنجائیکه تغییر اندازه »سلولها« در مناطق بخصوص مشکل می باشد، برای مسأله هایی که تغییرات متغیرها سریع است مانند تمرکز تنش و غیره، راه حل مناسبی نیست. امروزه روش تفاضل محدود برای حل مسایل انتقال حرارت و جریان های سیال کاربرد فراوانی دارد.
1- 2-روش اجزاء محدود (FE)
در این روش محدوده حل به یک سری المان بنام »المان محدود« تقسیم میگردد. رفتار هر المان توسط معادلات دیفرانسیل حاکم بر آن المان تعریف میگردد. تمام این المانها در نهایت کنار هم قرار داده می شوند (Assembling) و روابط و شرایط لازم برای المانهای مجاور یکدیگر برآورده می شود. در صورت ارضاء شرایط مرزی، جواب منحصر به فردی برای معادلات جبری خطی حاصل موجود می باشد.
روش اجزاء محدود، راه حل مناسبی برای مسایل عملی مهندسی فراهم میسازد. به منظور دستیابی به دقت مناسب در مناطقی که تغییرات متغیرهای مسأله سریع میباشد ، تعداد زیادی المان باید بکار گرفته شود.
خلاصه عملکرد روش المان محدود به شکل زیر قابل بیان می باشد:
1- محدوده حل را به المانهایی تقسیم بندی کنید (المانهای محدود). برای مسایل دو بعدی ، این المانها می توانند مثلثی یا مربعی و برای مسایل سه بعدی می توانند مکعبی یا چهار وجهی باشند.
2- رفتار متغیرهای مربوط به هر المان را به وسیله توابع شکل (Shape function) مناسب مشخص کنید. متغیری مانند تغییر مکان را برای هریک از نقاط گرهای المان مجهول فرض کنید و برای تعیین تغییرات هندسی روی کل المان از توابع شکل استفاده کنید. توابع شکل می توانند خطی یا از درجات بالاتر باشند. هرچه درجه تابع شکل بالاتر باشد، تعداد نقاط گره ای بکار رفته در هر المان بیشتر
خواهد بود. دقت حل را میتوان با بکار بستن تعداد بیشتری المان خطی یا استفاده از توابع شکل با درجات بالاتر، بهبود بخشید.
3- برای تغییر مکانها، تنش ها و کرنش های موجود در هر المان را توسط روابط حاکم بر تنش و کرنش و قانون هوک، بدست آورید. معادلات سازگاری در هر المان خود به خود ارضاء می گردد چون تغییر مکانها به عنوان مجهول انتخاب شده بودند.
4- برای محاسبه سختی هر المان، روشهای انرژی و یا نیرو را بکار ببرید تا به رابطه زیر برسید:
∑[ ] [ ]K m δ m =[ ]F (1-1)
mکه در آن m بیانگر تعداد المانها، [k]m سختی المان، δ]m] بردار تغییر مکان المان و [F]m بردار شامل تمام نیروهای خارجی میباشد. برای تعیین ضریب مربوط به تغییر مکان هر گره از المان ، حاصل جمع سختی المانهای مشترک در آن گره بکار گرفته می شود.
5- برای حل کل محدوده، تمام سیستم معادلات حاصل را سر هم (Assemble) کنید. از آنجائیکه حاصل جمع سختی ها تنها برای المانهایی که یک گره را شامل می شوند کاربرد دارد، ماتریس سختی کل، ماتریسی »پر صفر« خواهد بود.
6- شرایط مرزی را اعمال کنید. این شرایط میتوانند بصورت تغییر مکانهای اعمال شده، لغزش روی سطح صلب، تکیه گاه فنری، فشار یا تنش اعمال شده و مانند آن باشند. شرایط مرزی پیچیده در »مسایل برخورد« (Contact Problems) پیش میآید. 7- سیستم معادلات خطی را برای تعیین تغییر مکانهای گره ای حل کنید.
8- سایر مجهولات موجود در مسأله را محاسبه کنید. از آنجائیکه تغییر مکانها در هر گره محاسبه شده است ، سایر نتایج را میتوان بدست آورد از قبیل تنش های گره ای، انرژی کرنشی و غیره.
1- 3-روش المان مرزی (BE)
در این روش، معادلات دیفرانسیل حاکم به انتگرالهایی تبدیل می شوند که روی مرز یا سطح المان بصورت عددی حل میشوند. برای حل، مرز یا سطح به المانهایی موسوم به »المانهای مرزی« تقسیم می شوند. مانند سایر روشهای عددی، به شرط ارضاء شرایط مرزی، سیستمی از معادلات جبری خطی حاصلمی شود که پاسخ منحصر به فردی خواهد داشت.
روش المان مرزی به راحتی می تواند مسایلی که مرزهایی با اشکال پیچیده دارد را حل نماید. بعلاوه، از آنجائیکه تمام تقریب ها به سطح جسم محدود میشود، مدلسازی مناطقی که تغییرات سریع در متغیرهای آن وجود دارد به راحتی انجام میپذیرد. برای حل مسایل به روش المان مرزی بطور خلاصه گامهای زیر باید برداشته شود:
1- معادلات دیفرانسیل حاکم بر تغییر مکانهای مسأله را تعیین کنید. برای این منظور روابط حاکم بر تنش- تغییر مکان را در معادلات مربوط به قانون هوک و سپس در معادلات دیفرانسیل تعادل جای گذاری کنید.
2- حل پایه ای (Fundamental Solution) را از معادلات دیفرانسیل بدست آورید. این حل ، باید برای هر شکل هندسی مسأله قابل کاربرد باشد. اساس حل بر پایه یک بار نقطه ای در محیط بینهایت
استوار است (حل کلوین). حل پایهای از مرتبه r1 یا Log ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠1r می باشد که r فاصله بین نقطه اثر نیروی P (یا به عبارت دیگر نقطه نیرو) و هر نقطه دیگری روی مرز جسم، Q (یا به عبارت دیگر نقطه مرزی) می باشد.
3- تئوری کار مجازی ( تئوری بتی) را بکار ببرید. این تئوری بیان میکند که اگر دو سیستم نیروی a و b در تعادل باشند، کار انجام شده توسط نیروهای سیستم a روی تغییر مکانهای سیستم b برابر است با کار انجام شده توسط نیروهای سیستم b روی تغییر مکانهای سیستم a.

∑Fp( a ) .u p( b ) =∑Fp( b ) .u p( a ) (1-2)
P P

که در آن P نقطه ای است که نیروی F روی آن اثر کرده است. اگر نیروهای خارجی تنها محدود به سطح S باشند، معادله انتگرالی زیر حاصل می شود:
∫ti ( a )ui ( b )ds =∫ti ( b )ui ( a )ds (1-3)
s s
که در آن i=1, 2, 3 ، بیانگر مختصات کارتزین x, y, z است و بردار کنش سطحی (Traction) بصورت ti = σij . nj تعریف می گردد که nj بردار نرمال واحد مربوط به سطح sدر نقطه مورد نظر می باشد. سیستم (a) را به عنوان حل پایه و معلوم (Fundamental Solution) و سیستم b را به عنوان مسأله اصلی (مجهول) در نظر بگیرید. نتیجه حاصل یک معادله انتگرالی مرزی است که تغییر مکانها و نیروها را روی مرز مسأله به هم مربوط می سازد.
4- سطح مسأله را به المانهایی تقسیم بندی کنید. برای تعیین هندسه و متغیرهای مسأله روی هر المان، توابع شکل را تعریف نمایید. این توابع شکل می توانند خطی یا از درجات بالاتر باشند. از آنجائیکه حل تحلیلی انتگرالها به دلیل پیچیدگی توابع غیرعملی است، حل عددی انتگرالها با استفاده از روش عددی گاوس بکار گرفته میشود. روشهای حل بخصوصی برای حل کردن حالتهای منفرد (Singular) بکار گرفته میشود. این مسأله هنگامی اتفاق می افتد که نقاط گره ای خیلی نزدیک یکدیگر باشند یا اینکه نقطه بار P روی نقطه مرزی Q قرار گیرد. علت منفرد شدن مسأله وجود جمله r1 در حل پایه می باشد. حاصل جمع انتگرالها روی هر المان، انتگرال کلی روی سطح را نتیجه میدهد.
5- ماتریس حل را با تکرار فرآیند انتگرال گیری تشکیل دهید. به این صورت که بار P را به نوبت روی هر گره مرزی اعمال کنید. ابتدا بار P (حل پایهای) روی نقطه شماره 1 قرار داده می شود که منجر به ایجاد یک سری معادلات می گردد که تمام N مجهول را در بر می گیرد. سپس بار P روی نقطه 2 قرار داده میشود و سری دیگری از معادلات حاصل می گردد. به همین ترتیب N سری معادله تشکیل می شود. نتیجه حاصل به شکل ماتریسی بصورت زیر درمی آید:
[ ][ ] [ ][ ]A u = B t (1-4)
6- شرایط مرزی را اعمال کنید. شرایط مرزی می تواند بصورت اعمال تغییر مکان، اعمال کشش یا تنش یا یک رابطه خطی میان تنش و تغییر مکان (مانند فنر) باشد. پس از مرتب کردن معادله های خطی بطوریکه مجهول ها سمت چپ و معلوم ها در سمت راست معادله قرار گیرند، حل ماتریسی اصلاح شدهزیر حاصل میشود:
(5-1) A*][ ] [x = B* ][ ] [ ]y = C] که در آن بردار مجهول [x] شامل ترکیبی از تغییر مکانها و نیروهای مجهول و بردار [y] شامل تمام مقادیر اعمال شده و پیش بینی شده مربوط به نیروها و تغییر مکانها می باشد. بردار [C]، مربوط به ضرایب معلوم میباشد. 7- سیستم کلی معادلات خطی را حل کنید. از آنجائیکه ماتریس حل نامتقارن و کم صفر میباشد، تکنیک های حل مستقیم (مانند روش گاوس) باید بکار گرفته شود.
8- سایر مجهولات را محاسبه کنید. پس از بدست آمدن مقادیر مرزی نیروها و تغییر مکانها، مقادیر تنش، کرنش ، انرژی کرنشی و مانند آن قابل محاسبه خواهند بود. مقادیر نیرو و تغییر مکان یا تنش های مربوط به نقاط داخلی محدوده مسأله به راحتی با در دست داشتن مقادیر مرزی بدست میآید.

فصل دوم مروری بر روش المان محدود

1- فرمولاسیون روش المان محدود در تحلیل های خطی مکانیک جامدات[4]
1- 1مقدمه
یکی از کاربردهای مهم روش المان محدود، تحلیلهای خطی جامدات و سازهها میباشـد . در اینجاسـتکه نخستین روشهای عملی در المان محدود بکار گرفته شد که سرمنشأ پیـشرفتهای حاصـل شـده در روش المان محدود به شمار می رود.
امروزه انواع زیادی از تحلیلهای خطی سازهها را میتوان مورد استفاده قرار داد. روش المان محدود نیـزاز آن دسته است که مورد توجه اکثر مهندسان قرار دارد و در برنامه های رایانهای نیز از آن استفاده میشود.
فرمولاسیون استاندارد که در روش المان محدود استفاده می شود بر اساس روش تغییر مکان میباشد.
1- 2-المان محدود به روش تغییر مکان
روش المان محدود بر اساس تغییر مکان را میتوان ادامه روش تغییر مکان در تحلیـل تیرهـا، خرپاهـا وسایر سازه ها قلمداد نمود. به همین جهت لازم است نحوه تحلیل بر اساس تغییر مکان دوباره مرور گردد.
مراحل اولیه تحلیل تیرها و سازه های خرپایی در روش تغییر مکان به شرح زیر میباشد.
1- کل سازه را بصورت چیدمانی از تیرها و المانهای خرپایی که در گرههایی به هم متصل میباشند در نظر بگیرید.
2- تغییر مکان گره ای که بیانگر پاسخ تغییر مکان کل سازه می باشد را تعیین نمایید.
3- معادلات تعادل نیرو را بر حسب تغییر مکان مجهول تشکیل داده و حل نمایید.
4- پس از تعیین تغییر مکانهای انتهایی المانها، تنش های داخلی را محاسبه کنید.
5- نتایج حاصل از تنش و تغییر مکانها را بر اساس شرایط مرزی و دادههای ورودی ترجمه و تفسیر نمایید.
در مسایل عملی مهمترین گامها در حل یک مسأله بطور کامل عبارتند از ساده سازی عنوان شده در گـام1 و تفسیر نتایج مطابق با گام 5.
بسته به پیچیدگی مسأله، اطلاعات قابل توجهی از مشخصات سیستم و رفتار مکانیکی آن لازم اسـت تـانتیجه مورد نظر حاصل گردد.
در یک مسأله المان محدود، پس از تبدیل مسأله به ترکیبی از المـانهـای متـصل در گـره هـا، مـاتریسسختی هر المان بر اساس درجات آزادی کلی محاسبه میشود و پس از آن ماتریس سختی کل سازه توسـطچیدن درآیههای ماتریس سختی تکتک المانها در محل مناسب با توجه به مؤلفـههـای درجـات آزادی آنهـاتشکیل میشود.
پس از حل سیستم معادلات خطی حاصل شده، تغییر مکان گرههای المان و بعد از آن تنشهای داخلیالمانها محاسبه می شود.
1- 3-معادلات المان محدود
در روش المان محدود، جسم نشان داده شده در شکل 2- 1به تعدادی المان که در گرههایشان بـه هـممتصل میباشند تقسیم می شود. گره های هر المان روی مرز آن قـرار مـی گیـرد . فـرض مـی شـود کـه تغییـرمکانهایی که در نقاط داخلی هر المان طبق مختصات محلیx وy وz اندازهگیری میشوند، تابعی از تغییـرمکان گره های المان می باشند. بنابراین برای المان m از جسم خواهیم داشت:
(2-1) ˆu(m) (x, y, z) = H(m) (x, y, z) U که در آنH(m) ماتریس تبدیل تغییر مکان است و اندیسm نشاندهنده المـانUˆ .m بـرداری اسـتشامل مؤلفه های سهگانه تغییر مکان Vi ،Ui و Wi در تمام گره های تکیهگاهی. بنابراین داریم: U^ T =[U1V1W1 U 2V2W2… U NVNWN ] (2-2) :و بطور کلی خواهیم نوشت U^ T =[U1 U 2… U N ] (2-3)
که در آنUi نشاندهنده تغییر مکان در هر سه جهتX وY وZ و حتی جهات مایل، نسبت به محورهایمختصات فعلی می باشد.
از آنجایی که ˆU شامل تغییر مکانها (و چرخشها) در نقاط تکیهگاهی سازه میباشد، لازم اسـت قبـل ازحل مسأله برای تغییر مکانهای مجهول، مقادیر معلوم ˆU را شناسایی کنیم.
در شکل2-1 یک المان محدود نمونه نشان داده شده است. این المان 8 گره دارد که در 8 رأس آن قرارگرفته اند و به المان آجری (Brick Element) معروف است. بایـد اینطـور در نظـر گرفتـه شـود کـه تمـاممحدوده جسم توسط چنین المانی تقسیم بندی میگردد بدون اینکه فضای خالی باقی بماند.
این المان 8 گرهای نمونهای از انواع المانهـایی اسـت کـه در حـل مـسائل مختلـف مـورد اسـتفاده قـرارمیگیرد. انتخاب نوع المان و ایجاد درآیههای ماتریسH(m) (که بستگی دارد به هندسه المان، تعداد گرههـایا درجات آزادی و نیازهای همگرایی مسأله) جزو اولین گامهایی است که در حل هر مسأله المـان محـدودیباید برداشته شود.
گرچه تمام مؤلفههای تغییر مکان گرهها در ماتریس ˆU موجود هستند، توجه به این نکته ضروری اسـتکه برای هر المان، تنها تغییر مکانهای مربوط به گرهها در کرنشهـا و تغییـر مکانهـای نقـاط داخلـی المـانتأثیر گذار هستند.
با توجه به رابطه 1-2 اکنون می توان کرنشهای المان را بصورت زیر مشخص نمود:
(4-2) ˆε(m) (x, y, z) = B(m) (x, y, z) U که B(m) ماتریس کرنش- تغییر مکان است. سطرهای B(m) از انجام عملیات مشتق گیری و ترکیب سطرهای ماتریس H(m) حاصل میگردد.
ممکن است هدف از تعیین کرنشها و تغییر مکانهای المان بر حسب تغییر مکانهای گرهای کـل سـازه درحال حاضر مشخص نباشد اما خواهیم دیـد کـه اسـتفاده از روابـط 1-2 و4- 2مـیتوانـد مـا را بـه سـاختماتریسهای مورد نیاز کل سازه توسط ماتریسهای هـر المـان کمـک کنـد. چنـین فرآینـدی را روش سـختیمستقیم ( Direct Stiffness Method) نامگذاری کرده اند.
تنش در هر المان محدود بستگی دارد به کرنش آن المان و تنش اولیه ای که در آن وجود داشته است.
(5-2) (τ(m) = C (m)ε(m) +τI (m که C(m) ماتریس الاستیسیته المان m و (τI (m تنش اولیه موجود در المان می باشد. ماتریس C(m) می تواند از ایزوتروپیک به غیر ایزوتروپیک تغییر نماید و حتی از المانی به المان دیگر نیز متغیر باشد.
با استفاده از فرضیات موجود در مورد هـر المـان محـدود نـشان داده شـده در رابطـه 1-2 ، مـیتـوانیممعادلات تعادل را در مورد گره های کل سازه بنویسیم.


مقطع : کارشناسی ارشد

فایل pdf
25000 تومان

فایل Word
35000تومان

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید