انتخاب صفحه

 فهرست مطالب

چکیده…………………………………………………………………………. 1

پیش گفتار…………………………………………………………………… 2

فصل اول  مقدمه

     در این فصل به بررسی انرژی نقطه صفر خلاء می پردازیم. در این فصل به تاریخچه و مفهوم خلا کوانتومی، پیدایش نیروهای وان در والس و در نتیجه ایجاد نیروی کازیمیر پرداخته ایم و نشان داده ایم که نیروهای وان در والس را می توان به انرژی نقطه صفر ربط داد.  سپس به مفهوم نیروی کازیمیر با استفاده از تغییر خلاء کوانتومی و نوسانات خلاء و بحث فشار تابش میدان پرداخته ایم و نشان داده ایم که میدان الکترومغناطیسی کوانتومی دارای انرژی نقطه صفر است و منشاء نیروی کازیمیر، انرژی نقطه صفر می باشد.در بخش پنجم این فصل رهیافت های نیروی کازیمیر که شامل رهیافت انرژی نقطه صفر و رهیافت فشار تابشی نقطه صفر است را مورد بررسی قرار داده و در هر دو رهیافت پس از بررسی اختلاف آنها (چه انرژی و چه فشار تابشی) به نیروی کازیمیر رسیده ایم.در بخش ششم این فصل وابستگی شدید نیروی کازیمیر به شرایط مرزی را همراه با مطالعاتی که در این زمینه انجام شده است قید کرده ایم. در بخش های بعدی درک شهودی مقادیر کازیمیر را با همراه با چند مورد کاربردی آن و سپس اندازه گیری تجربی آن را که توسط فیزیک دانان تجربی بسیاری انجام شده استذکر کرده ایم .در بخش دهم نیروهای کازیمیری که مربوط به دو نوع افت و خیزهای گرمایی و افت و خیزهای کوانتومی می شود را همراه با مطالعات و مقالات مربوط به این مورد توضیح داده ایم.در بخش بعدی به مبحث مهم اثر دینامیک کازیمیر در سه قسمت  وابستگی اثر دینامیک کازیمیرهمچون اثر ‌استاتیک کازیمیر  به  شرایط مرزی ، وابستگی آن به شکل سطح مرزها و اندازه گیری های تجربی این اثر می پردازیم. در هر سه مورد فوق برای اثر دینامیک کازیمیر محاسبات و آزمایشهای گوناگونی را که انجام شده است را ذکر کرده ایم.در بخش دوازدهم این فصل مانسته اثر کازیمیر در فیزیک کلاسیک و در بخش پایانی این فصل نقش اثر کازیمیر را در شاخه های مختلف فیزیک از جمله نظریه میدان کوانتومی ، فیزیک ماده چگال ،‌ فیزیک اتمی،‌ فیزیک مولکولی، کیهان شناسی و ریاضی  فیزیک قید می کنیم.

 3   مفهوم نیروی کازیمیر

    گرچه در نگاه اول نیروی کازیمیر غامض به نظر می رسد، اما در حقیقت به خوبی قابل فهم است.همه میدان ها، خصوصاً میدان های الکترومغناطیسی افت و خیز می کنند. به عبارت دیگر در هر لحظه مقدار حقیقی آنها حول مقدار ثابتی یعنی مقدار متوسط آنها افت و خیز  می کند. حتی یک خلاء کامل در صفر مطلق دارای میدان های متغیری موسوم به نوسانات خلاء است که انرژی متوسط آنها متناسب با نصف انرژی یک فوتون است.نوسانات خلاء نتایج قابل مشاهده ای دارند که به طور مستقیم در آزمایشهای در مقیاس میکروسکوپی قابل مشاهده اند. برای مثال یک اتم برای مدت بی نهایت طولانی نمی تواند در حالت برانگیخته باقی بماند و می تواند با انتشار یک فوتون به صورت خود به خود به حالت پایه اش باز گردد. این پدیده نتیجه ای از نوسانات خلاء است.    نیروی کازیمیر، مشهورترین اثر مکانیکی نوسانات خلاء است[10]. اگر به طور فرض در دو آینه، فضای بین دو صفحه آینه ها را به عنوان یک حفره در نظر بگیریم، تمام میدان مغناطیسی دارای طیف مشخصه ای هستند که شامل بسامد های متفاوتی است. تمام این بسامد ها در خلاء کامل از اهمیت یکسانی برخوردار هستند. اما در داخل حفره، یعنی جائی که میدان بین آینه ها به عقب و جلو بازتاب می کند وضعیت متفاوت می شود.اگر مضرب صحیحی از نصف طول موج بتواند دقیقاً در داحل حفره قرار گیرد میدان آن موج تقویت خواهد شد. این میدان در طول موجهای دیگر به وضوح تضعیف می شود. نوسانات خلاء برحسب اینکه بسامد آنها با بسامد تشدید حفره مطابق باشد یا نه، تقویت یا تضعیف می شوند.   یک کمیت مهم فیزیک در بحث نیروی کازیمیر فشار تابش میدان است. هر میدان حتی خلاء نیز با خود انرژی حمل می کند. تمام میدان های الکترومغناطیسی می توانند در فضا منتشر شوند و روی سطوح فشار وارد کنند. این فشار تابش با انرژی و در نتیجه با بسامد میدان الکترو مغناطیسی افزایش می یابد. در بسامد تشدید (رزونانس) حفره، فشار تابش داخل حفره از بیرون آن قوی تر است و بنابراین آینه ها یکدیگر را به عقب می رانند. برعکس در غیر حالت تشدید، فشار تابش داخل حفره کوچک تر از بیرون است و آینه ها به طرف یکدیگر جذب می شوند.ثابت می شود که در حالت تعادل، مولفه های جاذبه کمی قوی تر از مولفه های دافعه هستند. بنابراین برای دو آیینه تخت کاملاً موازی نیروی کازیمیر جاذبه است.

1-4    نیروی کازیمیر

همان طور که گفته شد میدان الکترومغناطیسی کوانتومی هم دارای انرژی نقطه صفر است. این انرژی نقطه صفر منشاء نیروی کازیمیر است.در سال 1948، کازیمیر که در آزمایشگاه تحقیقاتی فیلیپس بر روی خواص محلول های کلوئیدی مطالعه می کرد، سعی کرد برای نیروهای وان در والس که عامل پایداری کلوئیدها است تعبیر فیزیکی ارائه دهد. کازیمیر پیش بینی کرد که دو صفحه فلزی موازی که در خلاء قرار دارند همدیگر را جذب می کنند[1]. او مستقل و بی اطلاع از کارهای دیگران به نقش اساسی میدان خلاء پی برد. بدین گونه که نیروی جاذبه بین اتم ها و مولکول های خنثی به وسیله نیروهای وان در والس توصیف می شود[11]. در ضمن نیروی بین ذرات کلوئیدی نیروی بلند برد واندروالس است. کازیمیر و همکارانش متوجه شدند که تئوری واندر والس به تنهایی نمی تواند نتایج آزمایشگاهی را توجیه کند. بر این اساس در سال 1948 کازیمیر و پولدر نشان دادند که برای این که نیروی دو اتم به درستی شرح داده شود باید محدود بودن سرعت نور در نظر گرفته شود[9].در همان سال کازیمیر نشان داد نیروی بین  دو صفحه فلزی با ابعاد جانبی بی نهایت را که در خلاء کوانتومی قرار دارند می توان برحسب افت و خیزهای میدان الکترومغناطیسی کوانتومی بیان کرد.کازیمیر به این نتیجه پی برد که گرچه انرژی خلاء هم در فضای آزاد و هم با حضور دو مرز فلزی، بی نهایت است، اما تفاضل این دو مقدار متناهی است. به عبارت دیگر مقدار انرژی را که صرف آوردن یک صفحه به مساحت L2 از فاصله بی نهایت دور به فاصله متناهی d از یک صفحه دیگر می شود، متناهی است و برابر است با:

1-1   تاریخچه و مفهوم خلاء کوانتومی…………………………………………. 7

1-2   نیروهای وان در والس……………………………………………………… 8

1-3   مفهوم نیروی کازیمیر……………………………………………………… 10

1-4    نیروی کازیمیر…………………………………………………………….. 11

1-5  رهیافت های نیروی کازیمیر………………………………………………. 11

1-5-1   رهیافت انرژی نقطه صفر…………………………………………….. 12

1-5-2   رهیافت فشار تابشی نقطه صفر……………………………………. 13

1-6      نیروی کازیمیر و شرایط مرزی……………………………………….. 14

1-7     درک شهودی مقادیر نیروی کازیمیر………………………………… 14

1-8     نیروی کازیمیر و هندسه اجسام. ……………………………………15

1-9     اندازه گیری اثر کازیمیر………………………………………………. 16

1-10     نیروهای کازیمیر و افت و خیزها ……………………………………18

1-10-1    نیروهای مربوط به افت و خیزهای کوانتومی………………….. 18

1-10-2     نیروی کازیمیر مربوط به افت و  خیزهای گرمایی…………… 20

1-11      معرفی اثر دینامیک کازیمیر……………………………………. 20

1-11-1    اثر دینامیک کازیمیر و شرایط مرزی………………………………… 21

1-11-2     اثر دینامیک کازیمیر و شکل سطح مرزها………………………… 22

1-11-3     آزمایش هایی در مورد اثر دینامیک کازیمیر……………………….. 22

1-12    مانسته اثر کازیمیر در فیزیک کلاسیک………………………………… 23

1-13    نقش اثر کازیمیر در شاخه های مختلف فیزیک………………………. 23

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم   کوانتش میدان های اسکالر و الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک

   فصل دوم این پایان نامه  به معرفی دستگاه های مقید، لاگرانژی های تکین، قیود نوع اول و دوم، قیود اولیه و ثانویه کروشه های پواشون و دیراک و کوانتش سیستم های مقید اختصاصی داده شده است،در این فصل روش کلی کوانتش سیستم های مقید را این چنین در کلیه میدان های اسکالر و الکترومغناطیسی به کاربرده ایم:ابتدا شرایط مرزی را به عنوان قیود نوع اول در نظر گرفته و سازگاری قیود مذکور با هامیلتونی کل را محاسبه و سپس این قیود را بر کلی ترین بسط مؤلفه های میدان اعمال کرده ایم. اعمال قیود  سبب حذف بعضی از مؤلفه های میدان و رفتن از فضای فاز نرمال به فضای فاز کاهش یافته می شود،‌ که در مورد فضای فاز نرمال کروشه پواسون ولی در مورد فضای فاز کاهش یافته از کروشه دیراک استفاده شده است و پس از نشان دادن جفت کانونیک بودن و تبدیل کروشه دیراک به جابه جاگرها مؤلفه های میدان را حساب می کنیم.

روش کلی فوق برای کوانتش میدان کلین گوردون و الکترومغناطیس در ادامه این فصل به کار رفته است که این کوانش در حجم محدود و با استفاده از قیود دیراک می باشد، در این بخش از نتایج به دست آمده از  پایان نامه [4] استفاده شده است. سپس از  میدان های به دست آمده در این بخش،  در فصل چهارم استفاده کرده و با توجه به میدان های فوق انرژی خلاء و انرژی کل میدان های مذکور را محاسبه کرده و پس از اعمال فرایند منظم سازی و اختلاف انرژی فضای آزاد و فضای همراه با شرایط مرزی، با مشتق گیری نیروی کازیمیر متناظر برای هر میدان را به دست آورده ایم.

2-1-1       دستگاه های تکین و قیود

      به طور کلی طبیعت در مقیاس میکروسکوپی با مکانیک کوانتومی توصیف می شود. برای بررسی میدان ها و برهم کنش بین آنها باید از تئوری کوانتومی استفاده کرد. موفقیت های نظریه های کوانتومی محدود است . گرچه نظریه های میدان کوانتومی فقط برای میدانهای کوانتومی ساده شناخته شده، با این وجود بیشتر نظریه های کوانتومی را می توان برحسب مدلهای کلاسیک به وجود آورد[69]. به طور کلی یک مدل کلاسیک با یک کنش (و یا لاگرانژی) تعریف می شود.برای ساختن نظریه کوانتومی متناظر با یک مدل کلاسیک به یک دستورالعمل مشخص نیاز است تا بتوان جبر جابجایی عملگرهای کوانتومی نظیر کمیتهای کلاسیک را به وجود آورد[70].

در رهیافت لاگرانژی با یک دستگاه غیر نسبیتی با تعداد درجات آزاد محدود (k تا) ،معادله ، را داریم که S معرف کنش و L لاگرانژی حرکت می باشد و اگر لاگرانژی را به ازای چگالی لاگرانژی £ بیان کنیم  معادله زیر را  معادله (2-2) را تنها در صورتی می توان به طور یکتا برای شتاب ها حل کرد که ماتریس متشکل از مشتق دوم لاگرانژی نسبت به سرعتها (معروف به ماتریس هسیان) یعنی:

 دترمینان غیر صفر() داشته باشد[71]. بنابراین لاگرانژی استاندارد و دستگاه غیر مقید است اگر با حل معادلات حرکت، کلیه شتاب ها بر حسب مختصه ها و سرعت ها به دست آیند. همچنین در رهیافت هامیلتونی با استفاده از تعریف تکانه ها:می توان کلیه سرعتها را به صورت توابعی از مختصه ها و تکانه ها به دست آورد و بدین ترتیب، هامیلتونی دستگاه این گونه تعریف می شود:

اما در صورتی که دترمینال هسیان صفر باشد ( یعنی دستگاه مقید و لاگرانژی دستگاه تکین باشد) به دلیل غیر استاندارد بودن لاگرانژی تکانه ها توابع مستقلی از سرعتها نخواهند بود. به همین دلیل تنها تعدادی از سرعتها به صورت توابعی از مختصه ها و تکانه ها از رابطه (2-4) به دست می آیند.

 بنابراین در لاگرانژی های تکین توابع معینی از مختصه ها و تکانه ها به دلیل عدم استقلال تکانه ها صفر هستند. این توابع (از متغیر های فضای فاز) قیود اولیه نام دارند:

که M تعداد قیود اولیه می باشد.

پس به طور خلاصه در لاگرانژی یک دستگاه تکین، در فرمول بندی لاگرانژی مختصات و سرعتها و نیز در فرمول بندی هامیلتونی مختصات و تکانه ها از هم مستقل نیستند و روابطی به نام “قید” بین آنها به وجود خواهد آمد. برای این دستگاه های مقید و یا لاگرانژی های تکین مساله یکتایی و وجود جواب های معادله حرکت از اهمیت ارزش ویژه ای برخوردار است.در مورد دستگاه های غیر مقید یکی از روشهای کوانتش، کوانتش کانونیک است که در این روش برای کوانتیده کردن دستگاه کروشه پواسون کمیت های کلاسیک به جابجاگرهای کوانتومی نظیر آن ها تبدیل می شود. کروشه پواسون دو تابع ایجاد شده از q و p با نامهای p(q,p) و g(q,p) این گونه تعریف می شود [69]:

ولی در مورد دستگاه های مقید،کوانتیده کردن در مقایسه با دستگاه های غیر مقید اندکی متفاوت است. بحث در مورد دستگاه های مقید زمانی بیشتر اهمیت یافت که کوشش هایی برای کوانتش میدان های پیمانه ای مثل الکترومغناطیس گرانش صورت پذیرفت [69].بحث درباره دستگاه های مقید در سالهای اول دهه  50 قرن بیستم آغاز شد. دیراک و برگمن حین مطالعه درباره فرمول بندی کانونیک میدان های گرانش، این بحث را ارائه کردند. ولی به طور رسمی، دیراک کار فرمول بندی این دستگاه ها را برای لاگرانژی هایی با درجات آزادی محدود انجام داد [4]. هدف او در این کار رسیدن به روشی استاندارد برای هامیلتونی کردن یک لاگرانژی تکین بود تا بتواند در نهایت از این فرمول بندی جدید در کوانتش این دستگاه ها استفاده کند[69].

 اگر از دید نظریه های پیمانه ای به بحث دستگاه های مقید نگاه کنیم مسئله از این قرار است:

یک نظریه پیمانه ای را می توان نظریه ای فرض کرد که متغیرهای دینامیکی آن نسبت به چهارچوب مرجعی توصیف می گردند که انتخاب آن در هر لحظه از زمان اختیاری می باشد. ولی در این بین تنها آن دسته از متغیرها از لحاظ فیزیکی اهمیت پیدا می کنند که نسبت به این انتخاب آزادانه چهارچوب موضعی ناوردا باشند[72]. یک ویژگی مهم یک نظریه پیمانه ای این است که جوابهای کلی معادلات حرکت (در هر دو رهیافت لاگرانژی و هامیلتونی) برای یک نظریه پیمانه ای شامل توابع دلخواهی از زمان است. وجود این توابع سبب می شود که متغیرهای فضای فاز (تکانه ها و یا سرعت ها) از هم مستقل نباشند و قیودی بین آنها برقرار باشد. بنابراین از بحث بالا می توان به این نتیجه رسید که هردستگاه پیمانه ای همواره یک دستگاه مقید است (گرچه عکس این گفته همواره صحت ندارد) [73]. حال به مبحث اصلی خود که دستگاه های مقید بود برمی گردیم.کوانتیده کردن دستگاهی با قیود نوع اول با اعمال شرایط قیدی روی فضای حالتها صورت می پذیرد. از سوی دیگر قیود نوع دوم در مدل کلاسیک باعث حذف برخی درجات آزادی می گردند و کوانتش آنها از طریق در نظر گرفتن کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون و تبدیل آنها به جای جابه جاگرهای کوانتومی انجام می پذیرد.با توجه به معادلات (2-4) و (2-6)، می توان گفت که در نوشتن قیود اولیه از معادلات حرکت (اویلر- لاگرانژ) استفاده نمی شود و تنها تعریف تکانه موردنظر بوده است.  قیود اولیه در طول زمان باید ثابت باشد یعنی تحول زمانی قیود اولیه باید صفر باشد. شرط سازگاری قیود اولیه ما را به سوی یک سری قیود جدید به نام قیود ثانویه هدایت می کند. اگر هامیلتونی کل دستگاه را این گونه تعریف کنیم:

مقدمه…………………………………………………………………………………… 25

2-1    معرفی دستگاه های مقید. …………………………………………………..26

2-1-1     دستگاه های تکین و قیود…………………………………………………. 26

2-1- 2    قیود نوع اول و نوع دوم…………………………………………………….. 29

2-1-3    کروشه دیراک……………………………………………………………….. 30

2-2    کوانتش سیستم های مقید…………………………………………………. 30

2-3     کوانتش میدان کلین گوردون در حجم محدود با استفاده از قیود دیراک     32

2-3-1    حل معادله میدان کلین گوردون…………………………………………….. 32

2-3-2    کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت………………………………. 33

2-3-3     محاسبه میدان کلین گوردون با شرط مرزی نویمان……………………. 37

2-4    کوانتش میدان الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک در حجم محدود  37

2-4-1   اصول کار……………………………………………………………………… 37

2-4-2   کوانتش میدان الکترومغناطیسی…………………………………………… 38

2-4-3    تعریف شرایط مرزی و محاسبه قیود……………………………………… 39

2-4-4    اعمال قیود بر بسط مولفه های میدان……………………………………. 41

فصل سوم  خلاء الکترومغناطیسی.

   در فصل سوم این پایان نامه مفهوم خلاء الکترومغناطیس را به طور اصولی مورد بحث قرار داده و کار خود را با  این نکته که میدان الکترومغناطیسی با مجموعه ای از نوسانگرهای هارمونیک با بسامد مشابه هم ارز می باشد، آغاز می کنیم. پس از بررسی نوسانگر هارمونیک و هامیلتونی و معادلات حرکت آن نشان می دهیم که هر مد میدان با یک نوسانگر هارمونیک هم ارز می باشد و سپس به کوانتش مدهای میدان توسط جایگزینی عملگرهای خلق () و نابودی () در نظریه کوانتومی به جا ی و  در نظریه کلاسیکی می پردازیم و سپس روابط جابه جائی و انرژی و تکانه را برای آنها ارائه می دهیم و به این نتیجه می رسیم که روابط جابه جائی کانونیکی برای یک نوسانگر هارمونیک ایجاب می کند که انرژی نقطه صفر نوسانگر باقی بماند.  در پایان این فصل با نتایج بخش های قبلی این فصل و تعریف میدان متناسب،و استفاده از تابع قطع برای متناهی کردن مقدار انرژی پتانسیل و همچنین فرمول جمع اویلر- ماکلارین نیروی کازیمیر را به دست می آوریم.

3-1     معرفی………………………………………………………………………. 43

3-2     نوسانگر هارمونیک…………………………………………………………. 43

3-3     رابطه مدهای میدان و نوسانگر هارمونیک………………………………. 45

3-4    کوانتش مدهای میدان…………………………………………………….. 46

3-5     میدان در فضای آزاد………………………………………………………… 47

3-6     ضرورت میدان خلاء…………………………………………………………. 49

3-7     اثر کازیمیر…………………………………………………………………… 50

فصل چهارم  نیروی کازیمیر برای میدان های اسکالر و الکترومغناطیس

   در فصل چهارم، در ابتدا  نیروی کازیمیر  برای یک میدان کلین گوردون در یک فاصله محدود را  با استفاده ازمولفه میدان به دست آمده فصل دوم و هم چنین با هنجارسازی و عملگر چگالی انرژی یا تانسور تکانه انرژی و مقدار چشمد اشتی آن به دست می آوریم.پس از به دست آوردن مقدار چشمد اشتی تانسور تکانه – انرژی در دو بعد فضا زمان، به محاسبه انرژی کل خلاء در دو مرحله، یکی در فاصله محدود همراه با شرایط مرزی و دیگری در خلاء مینکوفسکی پرداخته ایم. سپس دو مقدار فوق را با تابع نمائی منظم سازی نموده و در پایان انرژی خلاء باز  به هنجارشده  را در فاصله محدود، محاسبه می کنیم و با مشتق گیری نسبت به با فاصله نیروی کازیمیر میدان اسکالر را محاسبه می کنیم.در بخش دوم این فصل نیروی کازیمیر را برای میدان الکترومغناطیسی همچون روش فوق و با استفاده از مولفه میدان به دست آمده در بخش 2-4 به دست آورده ایم. با این تفاوت که در مبحث های جداگانه به طور مفصل منظم سازی انرژی حالت پایه را با تابع خفیف فرکانسی، تابع زتای ریمان و تابع قطع انجام داده ایم. در مورد منظم سازی با تابع قطع کار خود را از مؤلفه میدان الکترومغناطیسی 2-4،‌شروع کرده و  تابع قطع را برای  متناهی کردن انرژی نقطه صفر به کار برده ایم.

بخش سوم این فصل به  فشار تابشی خلاء که یک توضیح فیزیکی برای نیروی کازیمیر می باشد، اختصاص دارد. در این بخش  با استفاده از اختلاف فشار بیرونی بین صفحات و فشار درونی اعمال شده و به وسیله مدها و نیز استفاده از فرمول اویلر- ماکلارین برای منظم سازی به نتیجه نیروی کازیمیر بر واحد سطح رسیده ایم.

4-1       میدان اسکالر کوانتیده در  فاصله محدود…………………………………… 55

4-1-1     منظم سازی میدان اسکالر با تابع نمایی…………………………………. 56

4-1-2     منظم سازی میدان اسکالر با تابعی دیگر………………………………… 58

4-2      نیروی کازیمیر برای میدان الکترو مغناطیس………………………………… 59

4-2-1       صفحات رسانای موازی……………………………………………………… 59

4-2-2      به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان الکترو مغناطیسی با استفاده از روش بررسی سازگاری قیود ……………………………………………………………………………………………… 62

4-3    فشار تابشی خلاء: توضیح فیزیکی نیروی کازیمیر……………………………. 66

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل پنجم  نیروی کازیمیر برای یک ریسمان باز

5-1    ریسمان باز در حضور میدان مغناطیسی B..ا…………………………………… 69

5-2   معادلات میدان، شرایط مرزی و قیود ریسمان. ……………………………………70

5-3    انرژی نقطه صفر ریسمان………………………………………………………….. 75

5-4   منظم سازی انرژی نقطه صفر و محاسبه نیروی کازیمیر……………………….. 76

5-5   حالت کلی دیگر……………………………………………………………………… 77

5-6    نتیجه گیری…………………………………………………………………………. 78

Abstact:

In this thesis we study the Casimir effect from the point of veiw of constrainted systems. The common point between the two issus is “the boundry conditions”. We consider boundary conditions as Dirac constraints in the process of quantization of  Klein-Gordon, electrodynamics and bosonic string theories. For this reason, we find  infinit chains of  constraints at the boundaries, and impose them on the Furrier modes of  the fields. In this way we reach to the reduced phase space. We then quantize the system by inverting the Dirac brackets to commutators and express the energy operator in terms of  physical modes. The Casimir effect then emerges as a result of  comparission of  vacuum modes in the energy operator with the remaining modes when some boundary conditions are present. Hence we show that the Casimir force is directly a consequence of imposing the Dirac constraints.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان