فهرست مطالب

فصل اول: مقدمه و مفاهیم پایه

   توزیع نرمال یکی از مهمترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمال است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل از نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. همچنین نقش این توزیع در قضیه حد مرکزیدلیل دیگری بر اهمیت توزیع نرمال می باشد. به زبان ساده، در قضیه حد مرکزی نشان داده می‌شود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون بیان کننده آن است که برآیند نوسان‌های مختلف تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود. به عنوان مثال، با اینکه عوامل زیادی بر میزان خطای اندازه‌گیری یک کمیت اثر می‌گذارند. (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و …) اما با اندازه‌گیری های متعدد، برآیند این خطاها همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است. مثال‌های دیگری از این نوسان‌های طبیعی، طول قد، وزن یا بهره هوشی افراد است.این توزیع گاهی به دلیل استفاده کارل فردریک گاوس[1] (1777- 1855) با نام توزیع گوسی (گاوسی) استفاده می‌شود، همچنین به دلیل شکل تابع چگالی آن به توزیع زنگوله‌ای (زنگدیس) نیز معروف است. با وجود سودمند بودن توزیع نرمال، مقادیر متغیر تصادفی در تئوری این توزیع روی مجموعه اعداد حقیقی تغییر می‌کند. حال آنکه در بسیاری از مطالعات آماری که داده‌ها تمایل به پیروی از توزیع نرمال دارند، دامنه تغییرات آنها تمام مجموعه اعداد حقیقی را در بر نمی‌گیرد. پس استفاده از توزیع نرمال در بررسی این داده‌ها، باعث بوجود آمدن خطای محاسباتی معنی‌داری می‌شود. بنابراین توزیع نرمال با تکیه‌گاه قسمتی از مجموعه اعداد حقیقی، انگیزه‌ای برای تحقیق در مورد توزیع نرمال بریده را بوجود می‌آورد. توزیع نیم نرمال حالت خاصی از توزیع نرمال بریده می‌باشد که نقاط بریدگی در صفر و بی نهایت اتفاق می‌افتد. آزالینی[2] (1985) ثابت کرد، توزیع نیم نرمال می‌تواند حد توزیع نرمال اریب باشد.هنگام تعیین تقریبی میانگین نمونه‌های برداشته شده از یک متغیر تصادفی، توزیع تی‌استودنت مطرح می‌شود. این توزیع اساس آزمونی به نام “آزمون تی” است که تفاوت میانگین جامعه را از روی نمونه‌هایشان بررسی می‌کند.آزالینی و کاپیتانیو[3] (2003) ، جونز و فدی[4] (2003)، ثابت کردند، که توزیع نیم t می تواند حد توزیع t اریب باشد استنباط بیز برای توزیع نرمال اریب توسط لیزو[5] (2004) انجام گرفت.ر این فصل در بخش اول به تعریف توزیع‌های مهم بکار رفته در پایان نامه می‌پردازیم و سپس در بخش دوم پس از تعریف توزیع پیشین و توزیع پسین، توزیع های پیشین آگاهی بخش و توزیع پیشین غیر آگاهی بخش را معرفی نموده و توزیع جفریز را توضیح می‌دهیم. در بخش سوم به معرفی الگوریتم متروپلیس – هستینگز می‌پردازیم و درانتها به چکیده‌ای از کارهایی که در این پایان نامه صورت گرفته است اشاره می‌کنیم.

      1-1  مقدمه ………………………………………………………………………………………………..  2

1-2  برخی از توزیع‌های آماری ……………………………………………………………………………  4

1-2-1  توزیع نرمال  …………………………………………………………………………………………. 4

1-2-2  توزیع تی استیودنت………………………………………………………………………………… 5

1-2-3  توزیع نرمال گامای از راست بریده   ……………………………………………………………… 5

1-2-4  توزیع گوسین گامای تعدیل یافته ………………………………………………………………. 6

1-2-5  توزیع پیشین و توزیع پسین ……………………………………………………………….. 6

1-2-6  توابع چگالی پیشین آگاهی بخش و نا آگاهی بخش  ………………………………………… 6

1-2-7  توزیع پیشین جفریز ……………………………………………………………………………….. 7

1-3  نمونه گیری گیبس ……………………………………………………………………………………….. 7

1-3-1  انتگرال‌گيری مونت کارلو …………………………………………………………………… 8

1-3-2  الگوريتم نمونه­گيری گيبس ………………………………………………………………… 9

1-3-3  تعداد دور ريز در الگوريتم گيبس  …………………………………………………………. 10

1-3-4  همگرايي الگوريتم گيبس  ………………………………………………………………… 11

1-4  فصل بندی رساله  ………………………………………………………………………………………… 13

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل دوم : استنباط کلاسیک و بیز درمورد مدل نیم‌نرمال

   یکی از سودمندترین توزیع‌ها که در ارتباط با داده‌های بزرگ با آن مواجه هستيم، توزیع زنگی شکل یا توزیع نرمال می‌باشد که بواسطه قضیه حد مرکزی، می‌توان از آن در استنباط ویژگی‌های توزیع نمونه‌ای داده‌ها نيز استفاده کرد. با وجود سودمند بودن توزیع نرمال، مقادیر متغیر تصادفی در تئوری این توزیع روی مجموعه اعداد حقیقی تغییر می‌کند، در بسیاری از مطالعات آماری که داده‌ها تمایل به پیروی از توزیع نرمال دارند، دامنه تغییرات آنها تمام مجموعه اعداد حقیقی را در بر نمی‌گیرد، به همین جهت استفاده از توزیع نرمال دربررسی این داده‌ها، باعث بوجود آمدن خطای محاسباتی معنی‌داری می‌شود. بنابراین توزیع نرمال با تکیه‌گاه قسمتی از مجموعه اعداد حقیقی، انگیزه‌ای برای تحقیق در مورد توزیع نرمال بریده را بوجود می‌آورد. توزيع نرمال بریده در فاصله  دارای تابع چگالی زير می‌باشد،   اگر در مطالعه و بررسی داده‌های نرمال استاندارد، به قدر مطلق آنها علاقه‌مند باشیم به استفاده ازتوزیع نیم نرمال احتیاج داریم. در صورتی که متغیر تصادفی Z دارای توزیع نرمال استاندارد باشد، ، آنگاه متغیر تصادفی  دارای توزیع نیم نرمال (استاندارد) مثبت خواهد‌بود. همچنين در اين حالت، متغیرتصادفی  نيز دارای توزیع نیم نرمال منفی می‌باشد.پارامتر مکان را از صفر به  و پارامتر مقیاس را از یک به  تغییر می‌دهیم و در نتيجه متغير جدید  را خواهيم داشت. در اين صورت گفته می‌شود که متغیر تصادفی Y، دارای توزيع ‌نیم نرمال مثبت با پارامتر مکان  و پارامتر مقياس  است، که به صورت  نمايش داده می‌شودبا قرار دادن  و  در تابع چگالی نرمال بريده، تابع چگالی متغير تصادفی Y به صورت زير به دست می‌آيد

   معمولا محاسبه چگالی پسین در بعضی از توزیع‌ها دشوار و پیچیده می‌باشد و ممکن است بخواهیم چگالی پسین را پس از مدتی با جمع آوری داده‌های جدید به عنوان چگالی پیشین برای محاسبه چگالی پسین جدید بکار ببریم، انجام این کار برای خانواده چگالی‌های مزدوج آسان است. برای خانواده F، اگر توزیع پیشین متعلق به خانواده P باشد و توزیع پسین نیز به خانواده P تعلق داشته باشد آنگاه خانواده P، یک خانواده چگالی مزدوج برای خانواده F، تعریف می‌شود. برای مثال برای توزیع نیم نرمال خانواده چگالی RTNG، یک خانواده مزدوج می‌باشد.

2-1  مروری برتوزیع نرمال بریده  …………………………………………………………………………… 15

2-1-1  میانگین و واریانس توزیع نرمال بریده  ……………………………………………………………… 15

2-2  متغیر تصادفی نیم نرمال (HN)……………………………………………………………………….. 19

2-2-1  میانگین و واریانس توزیع نیم نرمال ……………………………………………………………….. 19

2-3  استنباط کلاسیک مبنی بر  برآوردگرهای حداکثر درستنمایی  …………………………………. 22

2-3-1  برآوردگرهای کلاسیک پارامترهای توزیع نیم‌نرمال  …………………………………………….. 22

2-3-2  فاصله اطمینان کلاسیک برای پارامترهای توزیع نیم‌نرمال  …………………………………… 23

2-4  استنباط بیزدر مورد مدل نیم نرمال  ………………………………………………………………….. 27

2-4-1  مقدمه‌ای بر استنباط بیز  ………………………………………………………………………….. 27

2-4-2  توزیع پیشین و توزیع پسین برای مدل نیم نرمال  ……………………………………………… 28

2-4-3  برآورد نقطه‌ای و فاصله‌ای بیز برای پارامترهای مدل نیم‌نرمال  ………………………………. 31

2-4-4  خانواده چگالی مزدوج  ……………………………………………………………………………. 35

فصل سوم:  استنباط کلاسیک و بیز در مدل نیمt

 

یک روش مقایسه مدل‌های نیم‌نرمال و نیم t، بررسی توزیع پسین مدل نیم‌t با درجه آزادی d می‌باشد، بطوریکه اگر توزیع پسین نیم ‌t بر مقادیر بزرگ d متمرکز باشد، آنگاه مدل مطلوب مدل نیم‌نرمال در نظر گرفته می‌شود. یک روش عمومی‌تر نیز استفاده از فاکتور بیز می‌باشد.

4-2   فاکتور بیز[1] برای توزیع پیشین نا آگاهی بخش

فاکتور بیز برای مقایسه مدل‌های تفکیک شده مفید می‌باشد، با استفاده از داده‌ها، برای نمونه‌های مختلف از توزیع‌ها، می‌توان نشان داد هنگامی که چند مدل برای داده‌ها موجود است فاکتور بیز ساده‌ترین و بهترین مدل را انتخاب می‌کند.کاس[2](1961) برای انتخاب مدل، روش بیز را بکار گرفت. در این روش فرض می‌شود داده‌های Y، از توزیع تحت فرض  یا  تبعیت می‌کنند. که در آن احتمال پیشین مدل تحت هر یک از فرض‌های  و  به ترتیب برابر با  و  می‌باشد که در آن

3-1  معرفی توزیع t بریده  ……………………………………………………………………………… 38

3-2  توزیع نیمt ……………………….ا………………………………………………………………….. 39

3-2-1  میانگین و واریانس توزیع نیم t استاندارد   …………………………………………………….. 40

3-3  استنباط کلاسیک توزیع نیم t بر اساس روش حداکثر درستنمایی …………………….. 42

3-3-1  برآورد میانگین توزیع نیم t …………ا……………………………………………………………. 42

3-3-2  برآورد واریانس توزیع نیم t  ………..ا……………………………………………………………. 43

3-4  استنباط بیزی در مورد توزیع نیم t  …………..ا…………………………………………………… 43

فصل چهارم : انتخاب مدل

4-1  مروری بر روشهای انتخاب مدل  …………………………………………………………………… 48

4-2  فاکتور بیز برای توزیع پیشین آگاهی بخش  ………………………………………………………. 48

4-3  فاکتور بیز برای توزیع پیشین ناآگاهی بخش   …………………………………………………… 50

4-3-1: فاکتور بیز جزئی  ………………………………………………………………………………….. 51

4-4  الگوریتم چیب  ……………………………………………………………………………………….. 53

برای دانلود رایگان قسمت های بیشتراز فایل به انتهای مطلب مراجعه کنید

فصل پنجم : شبیه سازی و نتیجه گیری

در فصل دوم این پایان نامه استنباط کلاسیک و بیز را برای توزیع نیم نرمال بکار بردیم و برآوردگرهای نقطه‌ای و فاصله‌ای پارامترهای آن را مشخص نمودیم در این بخش از توزیع نیم‌نرمال استاندارد با  و ، 100000 نمونه به اندازه‌های متفاوت 5 تا 1000 عضوی به کمک برنامهR ، شبیه سازی انجام داده‌ایم و قصد داریم برآوردگر‌های حداکثر درستنمایی، حداکثر درستنمایی تصحیح شده اریبی و فاصله اطمینان کلاسیک، با برآوردگرهای بیز و فاصله اطمینان تحت بهترین تابع توزیع پیشین  را همزمان مورد بررسی قرار دهیم و برای ارزیابی و تحلیل در برآوردگرهای نقطه‌ای دو ملاک اریبی و جذر میانگین توان دوم خطا  را مورد استفاده قرار دادیم، که هر چه مقادیر محاسبه شده این ملاک‌ها برای برآورد کمتر باشند نشان دهنده مزیت و برتری برآوردگر نسبت به برآوردگر های رقیب می‌باشد.برای ارزیابی و تحلیل در برآوردگر‌های فاصله‌ای از دو ملاک طول بازه اطمینان و احتمال پوشش استفاده کرده‌ایم که در یک سطح اطمینان مشخص هر چه مقدار پهنای بازه اطمینان کمتر بدست‌آید دقت برآوردگر در برآورد پارامتر بیشتر می‌شود و هرچه احتمال پوشش برای بازه اطمینان نزدیک به یک محاسبه شود عملکرد برآوردگر نسبت به برآوردگر‌های رقیب بهتر تشخیص داده می‌شود.جدول‌های 1.5 تا 4.5 برای تحلیل بهتر برآوردگرها تدوین شده است.   جدول1.5 برآورد اریبی و ، برای برآوردگر حداکثر درستنمایی ، برآوردگر حداکثر درستنمایی تصحیح شده اریبی ، برآوردگر میانگین توزیع پسین بیز  را نشان می‌دهد.

دقت در این جدول نشان می‌دهد گر‌چه متوسط پهنای بازه اطمینان در فاصله  کمی بزرگتر از پهنای بازه در فاصله اطمینان یک طرفه است اما فاصله  توانسته است سطح پوشش 95% را برای تمام نمونه‌ها حتی نمونه به اندازه 5 را حفظ کند. گرچه فاصله اطمینان کلاسیک خوش تعریف است ولی اگر بخواهیم احتمال پوشش بصورت قطعی 95% باشد میانگین پهنای فاصله بدست آمده بیشتر از میانگین فاصله  می‌شود. مثلا برای نمونه 10 تایی درسطح اطمینان 7/96% احتمال پوشش 95% حاصل می‌شود که متوسط پهنای بازه اطمینان آن برابر با 399/0می‌باشد که از پهنای بازه اطمینان 95% برای فاصله  بزرگتر است. بنابراین باید فاصله اطمینان  را نسبت به فاصله اطمینان کلاسیک یک طرفه ترجیح دهیم ولی برای نمونه‌ها در سایز بزرگ هیچ کدام از فاصله‌ها بر دیگری برتری ندارند.   جدول3.5 برآوردهای اریبی و ، برای برآوردگرهای حداکثر درستنمایی ، حداکثر درستنمایی تصحیح شده اریبی  ، میانگین پسین بیزی ، و نمای چگالی پسین ، ( نقطه‌ای که  را ماکزیمم می‌کند) را نشان می‌دهد.

5-1  مقایسه همزمان برآوردگرهای کلاسیک و بیز در مدل نیم نرمال   ……………………………… 57

5-2  انتخاب مدل  ………………………………………………………………………………………….. 62

5-2-1  مدل نیم نرمال   …………………………………………………………………………………….. 62

5-5-2  مدل نیم t …………………..ا…………………………………………………………………………64

5-3 نتیجه گیری  …………………………………………………………………………………………….. 67

منابع  …………………………………………………………………………………………………………. 68

پیوست ……………………………………………………………………………………………………… 71

 

Abstract

 Half-normal and half–t distributions are special cases of truncated normal and truncated t distributions respectively, whos  supports are nonnegative real valued numbers. These distributions have many applications in statistical studies. In this thesis, half-normal and half-t distributions are introduced. The classic and Bayesian inferences based on maximum likelihood method will be applied on the parameters of these distributions. The Bayesian factor is used to choose the best model and the classic and Bayesian estimators are compared for the simulated data from the half-normal model. Also, half-normal and half-t distributions are compared for real data. It is shown that it is possible to achieve point and interval estimators that have better performances than classic estimators by choosing a related proper prior distribution. Also, using real and simulated data, it is shown that if improper prior distribution is chosen, Bayesian estimators will have lower coverage probabilities.



بلافاصله بعد از پرداخت به ایمیلی که در مرحله بعد وارد میکنید ارسال میشود.


فایل pdf غیر قابل ویرایش

قیمت25000تومان

خرید فایل word

قیمت35000تومان