چکیده

در این جا مفهوم آشوب مقاوم با ارائه ی مثال های متعدد مورد بررس قرار م گیرد. ثابتم شود تمام اعضای ی خانواده نگاشت های هموار ی کوهان با آشوب مقاوم با هم مزودجتوپولوژی هستند. اما در مورد نگاشت های چند کوهان این مطلب برقرار نیست. و به طور کلهذلولوی بودن در خانواده نگاشت های نوع چ ال است.

کلید واژهها: آشوب مقاوم ، تزویج توپولوژی         ، نگاشت ی      کوهان     ، ناوردای نیدینگ.

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                                             صفحه

  • آشوب ١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    • تعاریف ٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • آشوب مقاوم ٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

١.٢ تعاریف ١٠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • مثال ها ١٣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

٣.٢     مثال   از ی خانواده با آشوب مقاوم ۵١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • قضایایی مرتبط با آشوب مقاوم ۶٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

١.٣ تعاریف ٢٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

٢.٣ قضایا ٢٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • مثال از خانواده نگاشت هایی با درجه ی بالاتر ۶٣ . . . . . . . . . . . . . .

۴       مجموعه های هذلولوی ٣٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

١.۴      تعاریف ٣٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

٢.۴ قضایا ٠۴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

٣.۴ نتیجه ٧۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ب

مقدمه

آشوب پدیده ای است که در بسیاری از سیستم های دینامی رخ م دهد . با بررس دینامیی سیستم م توان ام ان رخ دادن این پدیده را در آن بررس نمود. اصطلاح آشوب برای اولینبار در سال ۵١٩٧، توسطLi  وY orke  معرف شد.[٩] پس از آن تعاریف مختلف برای آشوب ارائهشد. تعریف دوین از آشوب در تحقیقات بسیاری مورد استفاده قرار م گیرد.[۴]

اگر به بررس دینامی ی خانواده از نگاشت ها بپردازیم ، مم ن است در برخ از این خانواده هامشاهده شود، در ی همسای از فضای پارامتر این خانواده، به ازای هر پارامتر در آن همسای ،نگاشت ها همچنان آشوبناک هستند. به عبارت دی ر در آن بازه، آشوب در این خانواده از نگاشتها مقاوم است[١].

اصطلاح آشوب مقاوم برای اولین بار در سال ١٩٩٨ مطرح شد[٣]. در همان مقاله حدس زده شدآشوب مقاوم روی خانواده نگاشت های هموار رخ نم دهد. اما در [١] مثال از ی خانواده ازنگاشت های هموار ارائه شد که دارای آشوب مقاوم هستند. همچنین توانستند ی مولد کل برایچنین خانواده هایی معرف کنند.[٢]. آن چه در ادامه ذهن را به خود مشغول م سازد این است کهآیا تمام نگاشت های ی خانواده با آشوب مقاوم، با هم مزدوج توپولوژی هستند؟Demelo وV.Strien  در [۵] پس از بررس مثال هایی که در متن خواهید دید، به بررس این سوالپرداختند که در این جا به بیان آن م پردازیم.

در فصل نخست با تعریف آشوب و نگاه به برخ نگاشت های آشوبناک، زمینه ی ورود به مبحثاصل را فراهم م نماییم. در فصل دوم به بررس برخ از خانواده های سیستم های دینامی باآشوب مقاوم پرداخته و تلاش م کنیم خانواده ای از نگاشت ها با آشوب مقاوم ارائه دهیم[١].در فصل سوم با ارائه ی قضایایی بر آشوب مقاوم به بررس ی سؤال اساس ، یعن وجود تزویجتوپولوژی میان نگاشت های این خانواده ها م پردازیم[۵]. و در نهایت در فصل چهارم از دیدیکل تر به سیستم های دینامی م نگریم و با ارائه ی قضایایی نتیجه م گیریم هذلولوی بودندر سیستم های دینامی چ ال است[۵]، [۶]، [٧] و [٨].

ج

فصل ١آشوب

١.١      تعاریف

تعریف ١.١ نقطه ی ثابت:

فرض کنید,٠]=I  وf : I −→ I .

نقطه ی ثابت ٠x در شرط ٠f(x٠) = x صدق م         کند.

توجه داشته باشید که ٠f٢(x٠) = f(f(x٠)) = f(x٠) = x و به همین ترتیب ٠fn(x٠) = x.

بنابراین مدار ی      نقطه ی ثابت معادل توسط ی             دنباله ی ثابت …,٠x٠,x نمایش داده م           شود.

مثلا نقاط ١,٠ نقاط ثابت نگاشت ٢f(x) = x هستند.

تعریف ١.٢ نقطه ی تناوبی:

نقطه ی ٠x ی نقطه ی تناوبی است است هرگاه ٠fn(x٠) = x برای ی ٠n > . کوچ ترینnای که در این شرط صدق کند تناوب اولیه نامیده م شود.

توجه داشته باشید که اگر نقطه ی ٠x نقطه ی تناوبی از دوره تناوبn  باشد آن گاه مدار ٠x دنباله

ی تکراری از نقاط …,(٠x٠,f(x٠),…,fn١(x٠),x٠,f(x خواهد بود. به عنوان مثال ٠ =x برای نگاشت ١− ٢f(x) = x ی نقطه ی تناوبی از دوره تناوب ٢ م باشد و مدار آن به صورت…,١−,٠,١−,٠ خواهد بود.

به طور کل یافتن نقاط تناوبی برای ی نگاشت بسیار مش ل خواهد بود. مثلا نگاشت =(f(x٢ − ٢x را در نظر ب یرید. برای یافتن نقاط تناوبی با دوره تناوب ۵ این نگاشت بایست به حلمعادله ی ٠ =f۵(x) − x  بپردازیم. این معادله ی چند جمله ای از درجه ی ٣٢ = ٢۵ خواهدبود که حل دقیق چنین معادله ای نامم ن خواهد بود.

توجه داشته باشید که اگر نقطه ی تناوبی ٠x دارای دوره تناوبk  باشد،k ٢ و وnk  نیز دورههای تناوب ٠x خواهند بود.

همچنین اگر دوره تناوب ٠k ،x باشد آن گاه هر نقطه ی دی ری که در مدار ٠x قرار م گیرد دارایدوره تناوبk  خواهد بود.

٢

تعریف ١.٣ فرض کنیدf  ی همسانریخت باشد. مجموعه نقاط …,(O+(x) = x,f(x),f٢(x،مدار پیشروx  نامیده م شود.

…,(O(x) = x,f١(x),f٢(x مدار پسروx  م           باشد.

استفاده از کلمه ی آشوب در سیستم های دینامی ابتدا در سال ۵١٩٧ توسطLi  وY orke  صورتگرفت[٩]. آن ها نشان دادند اگر تابع پیوسته یf  روی خط حقیق دارای نقطه تناوبی با دوره تناوب

٣ باشد، آنگاه مجموعه ی ناوردایS  تحتf  وجود دارد که به ازای هرp,q S  کهp ̸= q ، داریم:

limsupn−→∞ |fn(p) − fn(q)| > ٠,liminfn−→∞ |fn(p) − fn(q)| = ٠

و نگاشت هایی که دارای خاصیت بالا بودند را آشوبناک نامیدند.

اما ما دنباله رو تعریف    خواهیم بود که دوین      از آشوب ارائه داد.

تعریف ١.۴ فرض کنیدV  ی                  مجموعه باشد. نگاشتf : V −→ V  آشوبناک خواهد بود هرگاه

:

١−f  دارای وابستگ      حساس به شرایط اولیه باشد.

٢−f  ترایای توپولوژی       باشد.

٣− نقاط تناوبیf  رویV  چ ال باشند.

تعریف ١.۵ نگاشتf : J −→ J  دارای وابستگ حساس به شرایط اولیه است هرگاه بتوان٠δ >  به گونه ای یافت که برای هرx J  و هر همسای از آن، بتوان ی نقطهy  در همانهمسای و ی on> یافت که

|fn(x) − fn(y)| > δ

در واقf  وابستگ حساس به شرایط اولیه دارد هرگاه نقاط در نزدیx  سرانجام تحت تکرارهایمتوال حداقل به اندازهδ  از تکرار متناظرx  دور شوند. لازم نیست هر نقطه ای در نزدیx  تحت

٣

تکرار از تکرار متناظرx  دور شود اما بایست در هر همسای ازx ، حداقل ی نقطه با این شرایطیافت شود.

تعریف ١.۶ نگاشتf : J −→ J  ترایای توپولوژی               خواهد بود هرگاه به ازای هر دو مجموعه

ی بازU,V J ، عدد ٠k >  به گونه ای یافت شود کهfk(U) ∩ V ̸= ϕ .

به طور مستقیم ی نگاشت متعدی توپولوژی ، دارای نقاط است که تحت تکرار از یهمسای به همسای دی ر حرکت م کنند و در ادامه این سیستم دینامی قابل تفکی بهدو مجموعه ی باز مجزا که تحت نگاشت ناوردا هستند، نم باشد.

مثال ١.٧ نگاشت ١f : S١ −→ S آشوبناک است.

f(θ) = ٢θ

١− همانگونه که از ضابطه ی نگاشت پیداست، فاصله ی بین هر دو نقطه تحت هر تکرار دوبرابر م        شود. بنابراینf  وابستگ   حساس به شرایط اولیه دارد.

٢− مشاهده م      کنید که هر کمان کوچ       در دایره ی ١S سرانجام تحت تکرارfk ، کلدایره ی ١S را فرا م  گیرد و طبیع      است که هر کمان دی ری را هم در بر ب یرد. پسf  ترایایتوپولوژی      نیز هست.

٣− بایست      نشان دهیم در هر بازه ی دلخواه کوچ          به طولδ ، حداقل ی          نقطه ی تناوبی

وجود دارد. ریشه معادله یθ = ٢٢n − ١ ،fn(θ) = θ  م باشد. با انتخابn  به قدر کافبزرگ، حتما حداقل ی نقطه ی تناوبی داخل هر بازه به طولϵ  یافت خواهد شد چرا که به ازایهرn − ١ ،n ٢ نقطه روی محیط دایره قرار خواهند گرفت. لذاn  را به گونه ای انتخاب م کنیمکه

٢n − ١ > ٢πϵ

٢n > ٢πϵ + ١

n > log٢πϵ + ١)

تعریف ١.٨ فرض کنیدf : A −→ A  وg : B −→ B  دو نگاشت باشند. گوییمf  وg  مزدوجتوپولوژی هستند هرگاه ی همسانریختh : A −→ B  موجود باشد به گونه ای کهhof = goh .

همسانریخت ی      تزویج توپولوژی       نامیده م     شود.

نگاشت هایی که مزدوج توپولوژی هستند دارای دینامی ی سان هستند. دارای تعدادی سان نقاط ثابت و تناوبی، مدارهای تناوبی و مجانبا تناوبی و …هستند.

(١.١)

مثال ١.٩ نگاشت لاجستی         با پارامتر ۴ را در نظر ب یرید.

F۴ : [٠,١] −→ [٠,١] F۴(x) = ۴x(١ − x)

ش ل ١.١: (F۴(x) = ۴x(١−xاین نگاشت روی,٠]=I  آشوبناک است.

نگاشت ١g : S١ −→ S را در نظر ب یرید.

g(θ) = ٢θسپس نگاشت

h١ : S١ −→ [−١,١]

h١(θ) = cosθرا در نظر ب یرید و قرار دهید

q(x) : [−١,١] −→ [−١,١]

q(x) = ٢t٢ − ١

آنگاه م     بینید که داریم

h١og(θ) = cos(٢θ) = ٢cos٢ θ − ١ = qoh١(θ)

۶

مشاهده م      کنید که ١g ،h وq  را با ی دی ر مرتبط م       سازد و نمودار

S١             −−−gS١ h١y          q                     yh١    (٢.١)

,١−] →−−− [١,١−]جابجایی م باشد.

حال نگاشت

را در نظر ب یرید.

م    بینید که داریم

٢F۴oh٢(t) = ۴(٢١(١ − t))(١ − (٢١(١ − t)) = (١ − t)(١ + t) = ١ − t٢h٢oq(t) = h٢t٢ − ١) = ٢١(١ − (٢t٢ − ١)) = ١ − tهمین طور که م بینید ٢q ،h و ۴F را با ی دی ر مرتبط م سازد و نمودار(٣.١)

نیز جابجایی م     باشد.

و در نهایت نمودار

S١       −−−g→      S١

y y,١]          (۴.١) h١                        h١

٧

 

جابجایی خواهد بود.

١− ۴F وابستگ      حساس به شرایط اولیه دارد.

توجه داشته باشید از آنجا که (h٢oh١(x پیوسته است، برای هر همسایU  ازx I ، ی کمانˆU در ١S وجود دارد به گونه ای که (ˆgn(U، تمام ١S را م پوشاند. از آنجا که (h٢oh١(x پوشاست،

(F۴(U نیز کل بازه یI  را م پوشاند. بنابراین نقاط در هر همسای ازx  وجود دارند که حداقلبه اندازه ی ١٢ =δ  تحتF۴n  از نقطه متناظر در مدارx  دور شوند.

٢− ۴F ترایای توپولوژی       است.

برای هر دو مجموعه ی بازU  وV  درI ،م         توان کمان های باز ˆU و ˆV را از ١S به گونه ای انتخاب

نمود که تحت (h٢oh١(x بهU  وV  بروند. از آنجا کهk  ای یافت م شود کهgk(Uˆ) ∩ Vˆ ̸= ϕ در نتیجه خواهیم داشت

٣− از آنجا که نقاط تناوبیg  در ١S چ ال هستند، نقاط تناوبی ۴F نیز درI  چ ال خواهد بود.

مم ن است در ابتدا این سؤال مطرح شود که طبق نمودار م توان از تزویج توپولوژی ۴F وg آشوبناک بودن ۴F را نتیجه گرفت. اما همانگونه که م بینید ١h ی به ی نیست و همسانریختنبودن ١h٢oh مان از این م شود که نتیجه ب یریم این دو نگاشت مزدوج توپولوژی است.

فصل ٢آشوب مقاوم

برای اولین بار در سال ١٩٩٨ مفهوم آشوب مقاوم مطرح شد. تعریف که برای این مفهوم بهکار برده شد، عدم وجود پنجره های تناوبی و بیش از ی رباینده در ی همسای از فضایپارامتر بود. بدین معنا که بتوان در ی خانواده از نگاشت ها، ی همسای در فضای پارامترآن یافت که به ازای هر پارامتر در این همسای ، نگاشت آشوبناک باق بماند.

١.٢      تعاریف

تعریف ٢.١ فرض کنید مجموعه یN ⊂ Rn  ی                    مجموعه ی بسته باشد.N  ناحیه ی تله ای

نگاشتf  است اگر (f(N) ⊂ int(N.

(f(N بسته است وf(N) ⊂ N . لذا برای هرn  مجموعه ی (fn(N نیز بسته است. بنابراین

Λ = ∩n≥٠ fn(N)

بسته است.

Λ مجموعه نقاط       است که تحت هر تکرار، هموار مدار پیشرو و پسرو آن ها درN  باق       م      ماند.

Λ ی      رباینده نام دارد.

تعریف ٢.٢ گوییم ی رباینده آشوبناک مقاوم است هر گاه ی همسای در فضای پارامترشموجود باشد که در این همسای هیچ رباینده ی تناوبی ای وجود نداشته باشد و رباینده ی آشوبناکدر این همسای منحصر به فرد باشد.

همان طور که مشاهده نمودید، نگاشت هموار لاجستی با پارامتر ۴ دارای آشوب م باشد. اما باتغییر کوچ در این پارامتر، برای مقادیر بزرگتر از ۴ آشوب روی بازه یI  از بین خواهد رفت.

به عبارت دی ر آشوب در این خانواده ار نگاشت ها مقاوم نیست.

 

تعریف ٢.٣ مشتق شوارتزی:

فرض کنیدf : I −→ I  ی نگاشت ٣C و ٠ ≠ (Df(x باشد. مشتق شوارتزیf  درx  به صورتزیر تعریف م شود.

٢((Sf(x) = D٣f(x)Df(x) − ٣٢(D٢f(x)Df(xبرای مثال تابع لاجستی با پارامتر ۴ را در نظر ب یرید.

SF۴(x) = −۶(١ − ٢x)٢ < ٠

گزاره ٢.۴ فرض کنید (P(x ی               چند جمله ای باشد. اگر تمام ریشه های (P (x حقیق           و

متمایز باشند آن گاه ٠ < (SP(x.

فرض کنید باشد کهai  ها متمایز و حقیق                       هستند. آن گاه

P ′′(x) = ∑∑jN=Nj١=P∑′(xjN)=xk=− ajNi== ∑jN=١∏i Ni=١(x j ai)x kaj

P ′′′(x) =          ١        ̸            ١              ١(x a )(x a )(x a )

بنابراین خواهیم داشت

٢

گزاره ٢.۵ فرض کنیدf  وg  دو نگاشت ٣C باشند و ٠ ≠ (Df(x و ٠ ≠ (Dg(x. اگر ٠Sf <

و ٠Sg <  باشند آن گاه ٠ < (S(fog.

با به کار بردن قاعده ی زنجیری در محاسبه ی مشتقات دوم و سوم خواهیم داشت

(fog)′′(x) = f′′(g(x)).(g(x))٢ + f(g(x)).g′′(x).

(fog)′′′(x) = f′′′(g(x)).(g(x))٣ + ٣f′′(g(x)).g′′(x)g(x) + f(g(x)).g′′′(x)

مهم ترین نتیجه ای که از گزاره ی بالا م                  توان گرفت این است که اگر ٠Sf <  آن گاه ٠ <Sfn .

قضیه ٢.۶ قضیه سینگر:

فرض کنیدf : I −→ I  ی نگاشت ٣C با مشتق شوارتزی منف باشد. در این صورت پهنه یجذب بلافصل هر رباینده ی تناوبی شامل ی نقطه ی بحران از نگاشتf  و یا ی نقطه مرزیاز بازه یI  م باشد.

فرض کنیدp  ی            نقطه ی تناوبی جاذب با دوره تناوبn  باشد که ی       نقطه ی مرزیI  درپهنه ی جذب بلافصل آن قرار دارد وT  مولفه ی همبندی از پهنه ی جذب باشد کهp  در آن قراردارد. در این صورتfn(T) T  و از آنجا کهp  ی  از نقاط مرزیI  را جذب نم            کند داریم

fn(∂T) ⊂ ∂T. اگرx T  وجود داشته باشد به طوری که ٠ =(Dfn(x در این صورت به ازاییfj(x) ،٠ ≤ j n − ١ ، ی        نقطه ی بحران     م           باشد که به (fj(T تعلق دارد که پهنه یجذب بلافصل (fj(p شامل این بازه م           باشد و قضیه برای این حالت اثبات م           شود.

حال فرض کنید برای هرDfn(x) ̸= ٠،x T . قرار دهیدm = n  اگربرای هرx T ،٠ > (Dfn(x وm = ٢n  اگر برای هرDfn(x) < ٠ x T . از آن جا کهT  ی مولفه از پهنه

ی جذب (O(p م                     باشد خواهیم داشتDfm(T) = T  و برای هرDfm(x) > ٠ ،x T  و برای

fm(x) = x ،x ∂T.(اگرx ∂T  باشد آن گاه ١ ≥ (Dfm(x زیرا در غیر اینصورتx  یرباینده ی دوطرفه خواهد بود). با توجه به اصل م نیمم، به ازای هرx T  باید داشته باشیم١ > (Dfm(x. که غیر مم ن است زیرا ١ < (Dfm(p. پس در پهنه ی جذب بلافصل مدارp بایست ی نقطه ی بحران وجود داشته باشد.

اصل م    نیمم.

فرض کنید [T = [a,b وf : T −→ R  ی          نگاشت با مشتق شوارتزی منف        باشد. اگر برای هر

Df(x) ̸= ٠ ،x T باشد آن گاه برای هرx  در (a,b) داریم

|Dfn(x)| > min{|Dfn(a)|,Dfn(b)|}

فرض کنید ٠Sf <  باشد. اگرf  دارایn  نقطه ی بحران باشد بنا به قضیه ی سینگرf  حداکثردارای ٢+n مدار تناوبی جاذب خواهد بود. با استفاده از نکته ی بالا م توان نشان داد که نگاشت

لاجستی        (Fµ = µx(١−x، برای هرµ  م       تواند حداکثر دارای ی          مدار تناوبی جاذب باشد[۴].

فرض کنیدf : I −→ I  ی             تابع مشتق پذیر باشد. پایدار بودن نقاط ثابت سیستم دینامی

(f,t) کاملا تحت تاثیر مشتقات نگاشتf  م باشد. برای مثال اگر ١x ی نقطه ی ثابت نگاشتf باشد و ١f′(x١) = a > ، آن گاه مدار هر نقطه یx  در نزدی ١x تحت تکرارهای متوالسرانجام از مدار ١x دور م شود.

حال نقطه ی تناوبیp  با دوره تناوبk  را در نظر ب یرید. در این جا بایست مشتقاتk امین تکرارنگاشت را در نقطه یp  در نظر ب یرید که با استفاده از قاعده ی زنجیری برابر است با حاصلضربمشتقاتk  نقطه از مدارp . فرض کنید حاصلضرب این مشتقات برابر با ١A >  باشد. آن گاهمدار هر نقطهx  در همسای نقطه ی تناوبی ١x حداقل تحتk  تکرار از نقطه ی ١x به اندازه یA دور م شود. در واق م توان تخمین زد تحت هر تکرار مدارx  به اندازه ی ١Ak از ١x دور مشود.

برای استفاده از این مقدار عددی به ارائه ی نمای لیاپانوف م پردازیم. عدد لیاپانوف برای تخمینمیانگین فاصله ی نقاط مدارx  از مدار ١x کهx  در همسای ١x قرار دارد ب ار م رود و نمایلیاپانوف ل اریتم این عدد م باشد.

مثلا اگر عدد لیاپانوف ی نگاشت برای مدار ی نقطه ٢ باشد این بدان معناست که فاصله یمیان مدار ١x و مدار نقطه یx  در همسای آن تحت هر تکرار به طور میانگین دو برابر م شود.

یعن                             برای نقطه ی ١x از دوره تناوبk  داریمfk)(xi)| = |f(x١)||f(x٢)||f(xk)| = ٢k)|

همان طور که م دانید ی از خاصیت های مدارهای آشوبناک، وابستگ حساس آن ها به شرایطاولیه است. با توجه به آن چه در بالا ذکر شد، م توانیم ب وییم ی مدار آشوبناک مداری استکه به ی نقطه ی تناوبی جذب نشود و نمای لیاپانوف آن مثبت باشد.

حال به ارائه ی تعریف دقیق نمای لیاپانوف م       پردازیم.

تعریف ٢.٧ فرض کنیدf : R −→ R  ی                    نگاشت ١C باشد. برای هرx٠ ∈ R  نمای لیاپانوف

٠x، با علامت (٠λ(x به صورت زیر تعریف م      شود:

که بنا به قاعده ی زنجیری برابر است با

٢.٢      مثال ها

مثال ٢.٨ نگاشت خیمه را در نظر ب یرید:

T٢(x) =

اگر ٠x نقطه ای باشد که به ازای یxj = T٢j(x٠) = ١٢ ،j  آنگاه (٠λ(x تعریف نشده است.که چنین نقاط ی مجموعه ی شمارا را تش یل میدهند و برای دی ر نقاط,٠] ∈ ٠x، به ازایهرf′(xj)| = ٢ ،j |. لذا نمای لیاپانوف تمام این نقاط برابر با (٢log( خواهد بود.

 

ش ل ٢.١: نگاشت خیمه

مثال ٢.٩ نگاشت لاجستی           با پارامتر ۴ را در نظر ب یرید.

F۴(x) = ۴x(١ − x)

برای آن دسته از نقاطx٠ I  که ١٢ =(٠xj = F۴j(x برای یj                 ،

log|F۴(xj)| = log|F۴(١٢)| = log(٠) = −∞

لذا در این نقاط ∞− =(٠λ(x خواهد بود.

برای آن دسته از نقاطx٠ I  که هیچ گاه به مقادیر ٠ یا ١ نخواهند رسید، از تزویج توپولوژینگاشت با نگاشت خیمه که با همسانریخت ( ٢h(y) = sin٢(πy به دست م آید استفاده م کنیم. ازآنجا کهh  روی,٠] نگاشت مشتق پذیر است، بنابراین م توان ٠K >  را به گونه ای یافت که

برای هر,٠] ∈y  داشته باشیمh′(y)| < K |. همچنین در بازه ی باز,٠) داریم ٠ > (h′(y.پس برای هر ٠δ >  کرانKδ  به گونه ای وجود دارد که برای هر [h(y) ∈ [δ,١ − δ داریم|(kδ < |h′(y . لذا برای ٠x خواهیم داشت

λ(x٠) = limsupn−→∞ ١nlog(|(F۴n)(x٠)|) = limsupn−→∞ ١nlog(|(hoTnoh١)(x٠)|)

= limsupn−→∞ ١n[log(|h(yn)|) + log(|(Tn)(y)|) + log(|(h١)(x٠)|)]

≤ limsupn−→∞ ١n(log(k) + nlog(٢) + (h١)(x٠))

(٢= log(از طرف دی ر برای این دنباله ها، م         توانیم ی دنباله از اعداد صحیحnj  را به گونه ای انتخاب

نماییم که به سمت بی نهایت میل کند و [xnj ∈ [δ,١−δ باشد. آن گاه با قرار دادن (٠y٠ = h١(x

 


مقطع : کارشناسی ارشد

دانلود بخشی از آشوب مقاوم در خانواده نگاشت های یک پارامتری که در بازه حقیقی تعریف شده است

قبل از خرید فایل می توانید با پشتبانی سایت مشورت کنید